[微分方程]二次線性常係數微分方程 - 尼斯的靈魂

今天我想要跟大家談談$latex ay''+by'+cy=0$ (*) 的解。

首先，我們來複習一下，… 跳至內容區 今天我想要跟大家談談   (*) 的解。

首先，我們來複習一下，一次微分方程的解。

我們寫，利用(形式上)的分離變數法，我們可以推得。

兩邊同時積分之後可以得到。

我們可以考慮非齊次方程的解。

而解決的方法可以利用積分因子法。

將兩邊同乘之後推得兩邊同時積分之後可得 是否我們可以利用一階微分方程的解去解二階微分方程呢?我們來看以下的例子。

範例1:試解出 其實我們可以利用因式分解的方法來思考這問題。

我們把表示成一次微分，那麼 利用因式分解的方法，我們知道。

所以如果我們令，那麼我們可以推得，換句話說，。

因此。

利用可推得。

再利用積分因子法，可知。

同時積分之後推得。

換句話說， 。

問題:因此我們便開始去思考，這樣的方法能不能推廣到一般的上呢? 定義:我們令多項式，稱為(*)的特徵多項式。

這特徵多項式的判別式為。

為了方便起見，我們不仿假設。

所以我們來討論一下特徵多項式的解與微分方程的解的關係。

如果多項式有兩個實根。

令表示為相異根。

則原來的微分方程可以分解成 利用上述類似的方法，令，所以。

從此可以推得。

利用線性非齊次的方法，可以解得 。

接著我們來研究一下，當時候的情況。

首先我們來看一個例子: 範例2.試解出。

同理，我們知道。

所以令則。

也就是說。

解出來之後可知。

在利用可推得。

同乘積分因子之後可推得。

兩邊同時積分之後可得。

同乘可推得 。

當時，我們能否推廣這種方法呢?可以的。

假設是特徵多項式的重根。

那麼。

令與上述的想法可以解出來， 當時，我們有共軛複數根。

令與微特徵多項式的共軛複數根。

利用上述的想法，我們可以解得。

這時候我們希望把方程表成實數的形式。

這時候要利用到歐拉恆等式: 用此等式，我們可以把中有與的分別整理成一項得到: 這就是當時候(*)的一般解。

範例3.試解出 解:特徵多項式為解出來之後得到所以且。

如此一來，微分方程的一般解為 附註:這個方法只有在常係數的線性為分方程才可以這樣作。

當係數不是常數的時候，有時候可以利用類似因式分解的方法解，但是並不是像常係數的那麼簡單。

更一般的: 如果是實數(複數)且 那麼我們可以令稱為上述微分方程的特徵多項式。

附註:如果，這特徵多項是分解成個相異根則此微分方程的解為。

當有重根的時候，就必須面臨Jordanform(或rationalcanonicalform)的分解方式，在此不詳談。

結論: (1)當時，微分方程的解為其中是特徵多項式的兩相異根。

(2)當時，微分方程的解為其中是特徵多項式的重根。

(3)當時，微分方程的解為其中是特徵多項式的兩共軛複根。

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