【组合数学】递推方程( 特解形式| 特解求法| 特解示例)
文章推薦指數： 80 %
一、特解形式与求法、二、特解形式与求法示例、
【组合数学】递推方程(特解形式|特解求法|特解示例)
韩曙亮
于 2020-10-2410:48:46 发布
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数学
#组合数学
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1024程序员节
递推方程
特解
特解形式
特解求法
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数学
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一、特解形式与求法二、特解形式与求法示例
一、特解形式与求法
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
f
(
n
)
H(n)-a_1H(n-1)-\cdots-a_kH(n-k)=f(n)
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n),
n
≥
k
,
a
k
≠
0
,
f
(
n
)
≠
0
n\geqk,a_k\not=0,f(n)\not=0
n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧与“常系数线性齐次递推方程”是一样的,但是右侧不是
0
0
0,而是一个基于
n
n
n的函数
f
(
n
)
f(n)
f(n),这种类型的递推方程称为“常系数线性非齐次递推方程”;
H
(
n
)
‾
\overline{H(n)}
H(n)是上述递推方程对应“常系数线性齐次递推方程”
H
(
n
)
−
a
1
H
(
n
−
1
)
−
⋯
−
a
k
H
(
n
−
k
)
=
0
H(n)-a_1H(n-1)-\cdots-a_kH(n-k)=0
H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=0的通解,
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)是一个特解,
“常系数线性非齐次递推方程”的通解是
H
(
n
)
=
H
(
n
)
‾
+
H
∗
(
n
)
H(n)=\overline{H(n)}+H^*(n)
H(n)=H(n)+H∗(n)
在【组合数学】递推方程(无重根递推方程求解实例|无重根下递推方程求解完整过程)博客中介绍了“常系数线性齐次递推方程”的通解求法;
本博客中开始介绍特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)的求法;
特解与“常系数线性非齐次递推方程”中的右部
f
(
n
)
f(n)
f(n)有关,
f
(
n
)
f(n)
f(n)为
n
n
n的
t
t
t次多项式,
特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)也是
n
n
n的
t
t
t次多项式;
1.特解形式:
(1)特解形式:特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)是
n
n
n的
t
t
t次多项式,
n
n
n的幂取值从
0
0
0到
t
t
t,因此其项数有
t
+
1
t+1
t+1项;
(2)特解每项组成:
①项数:
t
+
1
t+1
t+1项②组成:特解项由常数乘以
n
n
n的次幂组成,常数是未知的;③常数:
t
+
1
t+1
t+1个常数,使用下标标识好;④
n
n
n的幂:幂取值从
0
0
0到
t
t
t;
(3)举例:特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)是
n
n
n的
2
2
2次多项式;
特解项数:则特解项数是
2
+
1
=
3
2+1=3
2+1=3项;
特解每项组成:特解每一项由常数乘以
n
n
n的次幂组成,
3
3
3个常数设为
P
1
,
P
2
,
P
3
P_1,P_2,P_3
P1,P2,P3,
3
3
3个
n
n
n的次幂,幂取值从
0
0
0到
2
2
2,
因此特解的形式为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
1
+
P
3
n
0
H^*(n)=P_1n^2+P_2n^1+P_3n^0
H∗(n)=P1n2+P2n1+P3n0,
化简后为:
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n)=P_1n^2+P_2n+P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
2.特解求法:
(1)先写出特解的形式:特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)也是
n
n
n的
t
t
t次多项式;如:
f
(
n
)
f(n)
f(n)为
n
n
n的
2
2
2次多项式,则特解为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n)=P_1n^2+P_2n+P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
(2)特解代入递推方程:然后将特解代入递推方程,将特解中的系数确定下来;
二、特解形式与求法示例
递推方程:
a
n
+
5
a
n
−
1
+
6
a
n
−
2
=
3
n
2
a_n+5a_{n-1}+6a_{n-2}=3n^2
an+5an−1+6an−2=3n2;
1.特解形式:
上述递推方程左侧是“常系数线性齐次递推方程”形式,不用管,
右侧的
3
n
2
3n^2
3n2与特解相关,
3
n
2
3n^2
3n2为
n
n
n的
2
2
2次多项式,
因此特解
H
∗
(
n
)
H^*(n)
H∗(n)也是
n
n
n的
2
2
2次多项式;
2.写出特解形式:
特解项数:则特解项数是
2
+
1
=
3
2+1=3
2+1=3项;
特解每项组成:特解每一项由常数乘以
n
n
n的次幂组成,
3
3
3个常数设为
P
1
,
P
2
,
P
3
P_1,P_2,P_3
P1,P2,P3,
3
3
3个
n
n
n的次幂,幂取值从
0
0
0到
2
2
2,
因此特解的形式为
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
1
+
P
3
n
0
H^*(n)=P_1n^2+P_2n^1+P_3n^0
H∗(n)=P1n2+P2n1+P3n0,
化简后为:
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n)=P_1n^2+P_2n+P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3
3.将特解代入递推方程:
将特解
H
∗
(
n
)
=
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
H^*(n)=P_1n^2+P_2n+P_3
H∗(n)=P1n2+P2n+P3,
代入到递推方程
a
n
+
5
a
n
−
1
+
6
a
n
−
2
=
3
n
2
a_n+5a_{n-1}+6a_{n-2}=3n^2
an+5an−1+6an−2=3n2中,
得到:
(
P
1
n
2
+
P
2
n
+
P
3
)
+
5
(
P
1
(
n
−
1
)
2
+
P
2
(
n
−
1
)
+
P
3
)
+
6
(
P
1
(
n
−
2
)
2
+
P
2
(
n
−
2
)
+
P
3
)
=
3
n
2
(P_1n^2+P_2n+P_3)+5(P_1(n-1)^2+P_2(n-1)+P_3)+6(P_1(n-2)^2+P_2(n-2)+P_3)=3n^2
(P1n2+P2n+P3)+5(P1(n−1)2+P2(n−1)+P3)+6(P1(n−2)2+P2(n−2)+P3)=3n2
4.分析
n
n
n的幂写出方程组:
左右两侧是相等的,这里根据
n
n
n的次幂前的系数,写出方程组;
分析
n
n
n的次幂的系数:
n
2
n^2
n2系数分析:右侧是
3
n
2
3n^2
3n2,因此
n
2
n^2
n2前的系数是
3
3
3;将左侧展开,
n
2
n^2
n2前的系数相加,最终等于
3
3
3;
12
P
1
n
2
=
3
n
2
12P_1n^2=3n^2
12P1n2=3n2
n
1
n^1
n1系数分析:右侧没有
n
1
n^1
n1,即没有
n
n
n项,因此左侧的
n
n
n项之前的系数为
0
0
0;将左侧展开,
n
n
n前的系数相加,最终等于
0
0
0;
−
34
P
1
n
+
12
P
2
n
=
0
n
-34P_1n+12P_2n=0n
−34P1n+12P2n=0n
n
0
n^0
n0系数分析:右侧没有
n
0
n^0
n0,即没有
1
1
1项(纯数字项),因此左侧的数字项为
0
0
0;将左侧展开,数字项最终等于
0
0
0;
29
P
1
−
17
P
2
+
12
P
3
=
0
29P_1-17P_2+12P_3=0
29P1−17P2+12P3=0
最终得到方程组:
{
12
P
1
=
3
−
34
P
1
+
12
P
2
=
0
29
P
1
−
17
P
2
+
12
P
3
=
0
\begin{cases}12P_1=3\\\\-34P_1+12P_2=0\\\\29P_1-17P_2+12P_3=0\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧12P1=3−34P1+12P2=029P1−17P2+12P3=0
解上述方程组,得到结果:
{
P
1
=
1
4
P
2
=
7
24
P
3
=
115
288
\begin{cases}P_1=\cfrac{1}{4}\\\\P_2=\cfrac{7}{24}\\\\P_3=\cfrac{115}{288}\end{cases}
⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧P1=41P2=247P3=288115
特解是:
H
∗
(
n
)
=
1
4
n
2
+
7
24
n
+
115
288
H^*(n)=\cfrac{1}{4}n^2+\cfrac{7}{24}n+\cfrac{115}{288}
H∗(n)=41n2+247n+288115
最终通解是:
H
(
n
)
=
c
1
(
−
2
)
n
+
c
2
(
−
3
)
n
+
1
4
n
2
+
7
24
n
+
115
288
H(n)=c_1(-2)^n+c_2(-3)^n+\cfrac{1}{4}n^2+\cfrac{7}{24}n+\cfrac{115}{288}
H(n)=c1(−2)n+c2(−3)n+41n2+247n+288115
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其实我在
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第二十九讲求方程组通解和特解的公式（矩阵指数）
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递推方程求解的几种方法
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总结一下递推方程的求解方法。
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有时候直接迭代可能不太方便，可以使用换元迭代。
下面以二分归并排序迭代方程为例进行求解。
2、差消法
差消法一般应用在递归方程右边不仅仅只依赖于当前项的前一项，而是前很多项，这种递归方程直接用迭代法很麻烦。
属于高阶递归方程，因此要先把高阶递归方程进行差消，再进行迭代。
以快速排序的递归方程为例。
3、递归树
建立递归
微分方程类型总结
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微分方程基本概念
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含任意常数的个数与微分方程的阶数相同的解叫做微分方程的通解
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积分
微分方程设特解步骤
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递推方程的特征方程解法
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1.首先把其简化为齐次的
f(n)=2f(n-1)
对于齐次的，
1.构建特征方程x^2-2*x=0
2.x1=0;x2=2
3.构建通解f(n)=c1*x1^n+c2*x2^n（若是出现相同解：
c1*x1^n+c2*n*x2^n+c3*n^2*x3^n
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第十三讲二阶非齐次常系数线性ODE的特解
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二，通解：
三，将方程化成特殊形式：
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四，代换法则：
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【微分方程】微分算子法求微分方程特解
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求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。
AX=b的解=特解+矩阵零空间向量
特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。
矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。
矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。
我们可以简单记为：
X=X*+
零空间向量：
关于可解性：
通解、特解：
对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX...
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mymsimple:
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hnjcxy:
可以了，我参照你截图上面的模拟器版本，使用Android9模拟器可以点击打开插件apk中的PluginActivity了
【Android插件化】“插桩式“插件化框架(运行应用|代码整理)
韩曙亮:
在8.0模拟器上运行，4.4肯定蹦啊，都是基于8.0的源码进行的Hook操作
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