常微分方程- 维基百科，自由的百科全书

在数学分析中，常微分方程（英語：ordinary differential equation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、 ... 常微分方程 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 系列條目微积分学 函数 极限论 微分学 积分 微積分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基础概念（含极限论和级数论） 實數性質 函数 ·单调性 ·初等函数 ·數列 ·极限 ·实数的构造（1=0.999…） ·无穷大（衔尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定义（英语：(ε,δ)-definitionoflimit） ·实无穷（英语：Actualinfinity） ·大O符号 ·上确界 ·收敛数列 ·芝诺悖论 ·柯西序列 ·单调收敛定理 ·夹挤定理 ·波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 ·斯托尔兹－切萨罗定理 ·上极限和下极限 ·函數極限 ·渐近线 ·邻域 ·连续 ·連續函數 ·间断点 ·狄利克雷函数 ·稠密集 ·一致连续 ·紧集 ·海涅－博雷尔定理 ·支撑集 ·欧几里得空间 ·内积 ·外积 ·混合积 ·拉格朗日恒等式 ·等价范数 ·坐标系 ·多元函数 ·凸集 ·压缩映射原理 ·级数 ·收敛级数（英语：convergentseries） ·几何级数 ·调和级数 ·项测试 ·格兰迪级数 ·收敛半径 ·审敛法 ·柯西乘积 ·黎曼级数重排定理 ·函数项级数（英语：functionseries） ·一致收敛 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的线性（英语：linearityofdifferentiation） ·导数（流数法 ·二阶导数 ·光滑函数 ·高阶微分 ·莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） ·幽灵似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（罗尔定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求导法则（乘法定则 ·广义莱布尼茨定则（英语：GeneralLeibnizrule） ·除法定则 ·倒数定则 ·链式法则） ·洛必达法则 ·反函数及其微分 ·FaàdiBruno公式（英语：FaàdiBruno'sformula） ·对数微分法 ·导数列表 ·导数的函数应用（单调性 ·切线 ·极值 ·驻点 ·拐点 ·求导检测（英语：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲线的曲率 ·埃尔米特插值） ·达布定理 ·魏尔斯特拉斯函数 一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧（换元积分法 ·三角换元法 ·分部积分法 ·部分分式积分法 ·降次积分法）微元法 ·积分第一中值定理 ·积分第二中值定理 ·牛顿-莱布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函数 ·Γ函数 ·古德曼函数 ·椭圆积分） ·数值积分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森积分法 ·牛顿-寇次公式） ·积分判别法 ·傅里叶级数（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏尔斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦尔定理 ·刘维尔定理 多元微积分 偏导数 ·隐函数 ·全微分（微分的形式不变性） ·二阶导数的对称性 ·全导数 ·方向導數 ·标量场 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘数 ·海森矩阵 ·鞍点 ·多重积分（逐次积分（英语：iteratedintegral） ·积分顺序（英语：Orderofintegration(calculus)）） ·积分估值定理 ·旋转体 ·帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小号 ·雅可比矩阵 ·广义多重积分（高斯积分） ·若尔当曲线 ·曲线积分 ·曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若尔当测度 ·隐函数定理 ·皮亚诺-希尔伯特曲线 ·积分变换 ·卷积定理 ·积分符号内取微分(莱布尼茨积分定则（英语：Leibnizintegralrule）) ·多变量原函数的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰当形式） ·向量值函数 ·向量空间内的导数推广（英语：generalizationsofthederivative）（加托导数 ·弗雷歇导数（英语：Fréchetderivative） ·矩阵的微积分（英语：matrixcalculus）） ·弱导数 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亚诺存在性定理 ·分离变数法 ·级数展开法 ·积分因子 ·拉普拉斯算子 ·欧拉方法 ·柯西-欧拉方程 ·伯努利微分方程 ·克莱罗方程 ·全微分方程 ·线性微分方程 ·叠加原理 ·特征方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯变换法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施图姆-刘维尔理论 ·N体问题 ·积分方程 相关数学家 牛顿 ·莱布尼兹 ·柯西 ·魏尔斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·欧拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴罗 ·波尔查诺 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若尔当 ·达布 ·傅里叶 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·约翰·伯努利 ·阿达马 ·麦克劳林 ·迪尼 ·沃利斯 ·费马 ·达朗贝尔 ·黑维塞 ·吉布斯 ·奥斯特罗格拉德斯基 ·刘维尔 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·玛达瓦（英语：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦罗第二 ·阿涅西 ·阿基米德 历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析学教程（英语：Coursd'Analyse） ·无穷小分析引论 ·用无穷级数做数学分析（英语：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微积分（英语：CalculusonManifolds(book)） ·微积分学教程 ·纯数学教程（英语：ACourseofPureMathematics） ·机械原理方法论（英语：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支学科 实变函数论 ·复变函数论 ·傅里叶分析 ·变分法 ·特殊函数 ·动力系统 ·微分几何 ·微分代数 ·向量分析 ·分数微积分 ·玛里亚温微积分（英语：Malliavincalculus） ·随机分析 ·最优化 ·非标准分析 查论编 在数学分析中，常微分方程（英語：ordinarydifferentialequation，簡稱ODE）是未知函数只含有一个自变量的微分方程。

对于微积分的基本概念，请参见微积分、微分学、积分学等条目。

很多科学问题都可以表示为常微分方程，例如根据牛顿第二运动定律，物体在力的作用下的位移 s {\displaystyles} 和时间 t {\displaystylet} 的关系就可以表示为如下常微分方程： m d 2 s d t 2 = f ( s ) {\displaystylem{\frac{d^{2}s}{dt^{2}}}=f(s)} ； 其中 m {\displaystylem} 是物体的质量， f ( s ) {\displaystylef(s)} 是物体所受的力，是位移的函数。

所要求解的未知函数是位移 s {\displaystyles} ，它只以时间 t {\displaystylet} 为自变量。

精确解总结[编辑] 一些微分方程有精确封闭形式的解，这里给出几个重要的类型。

在下表中， P ( x ) , Q ( x ) ; P ( y ) , Q ( y ) {\displaystyleP(x),Q(x);P(y),Q(y)} 和 M ( x , y ) , N ( x , y ) {\displaystyleM(x,y),N(x,y)} 是任意关于 x , y {\displaystylex,y} 的可积（英语：Integrable）函数， b , c {\displaystyleb,c} 是给定的实常数， C , C 1 , C 2 … {\displaystyleC,C_{1},C_{2}\ldots} 是任意常数(一般为复数)。

这些微分方程的等价或替代形式通过积分可以得到解。

在积分解中， λ {\displaystyle\lambda} 和 ϵ {\displaystyle\epsilon} 是积分变量（求和下标的连续形式），记号 ∫ x F ( λ ) d λ {\displaystyle\int^{x}F(\lambda)d\lambda} 只表示 F ( λ ) {\displaystyleF(\lambda)} 对 λ {\displaystyle\lambda} 积分，在积分以后 λ = x {\displaystyle\lambda{}=x} 替换，无需加常数（明确说明）。

微分方程 解法 通解 可分离方程 一阶，变量 x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 均可分离（一般情况,下面有特殊情况）[1] P 1 ( x ) Q 1 ( y ) + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y d x = 0 {\displaystyleP_{1}(x)Q_{1}(y)+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,{\frac{dy}{dx}}=0\,\!} P 1 ( x ) Q 1 ( y ) d x + P 2 ( x ) Q 2 ( y ) d y = 0 {\displaystyleP_{1}(x)Q_{1}(y)\,dx+P_{2}(x)Q_{2}(y)\,dy=0\,\!} 分离变量（除以 P 2 Q 1 {\displaystyleP_{2}Q_{1}} ）。

∫ x P 1 ( λ ) P 2 ( λ ) d λ + ∫ y Q 2 ( λ ) Q 1 ( λ ) d λ = C {\displaystyle\int^{x}{\frac{P_{1}(\lambda)}{P_{2}(\lambda)}}\,d\lambda+\int^{y}{\frac{Q_{2}(\lambda)}{Q_{1}(\lambda)}}\,d\lambda=C\,\!} 一阶，变量 x {\displaystylex} 可分离[2] d y d x = F ( x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F(x)\,\!} d y = F ( x ) d x {\displaystyledy=F(x)\,dx\,\!} 直接积分。

y = ∫ x F ( λ ) d λ + C {\displaystyley=\int^{x}F(\lambda)\,d\lambda+C\,\!} 一阶自治，变量 y {\displaystyley} 可分离[2] d y d x = F ( y ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F(y)\,\!} d y = F ( y ) d x {\displaystyledy=F(y)\,dx\,\!} 分离变量（除以 F {\displaystyleF} ）。

x = ∫ y d λ F ( λ ) + C {\displaystylex=\int^{y}{\frac{d\lambda}{F(\lambda)}}+C\,\!} 一阶，变量 x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 均可分离[2] P ( y ) d y d x + Q ( x ) = 0 {\displaystyleP(y){\frac{dy}{dx}}+Q(x)=0\,\!} P ( y ) d y + Q ( x ) d x = 0 {\displaystyleP(y)\,dy+Q(x)\,dx=0\,\!} 整个积分。

∫ y P ( λ ) d λ + ∫ x Q ( λ ) d λ = C {\displaystyle\int^{y}P(\lambda)\,{d\lambda}+\int^{x}Q(\lambda)\,d\lambda=C\,\!} 一般一阶微分方程 一阶，齐次[2] d y d x = F ( y x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=F\left({\frac{y}{x}}\right)\,\!} 令 y = u x {\displaystyley=ux} ，然后通过分离变量 u {\displaystyleu} 和 x {\displaystylex} 求解. ln ⁡ ( C x ) = ∫ y x d λ F ( λ ) − λ {\displaystyle\ln(Cx)=\int^{\frac{y}{x}}{\frac{d\lambda}{F(\lambda)-\lambda}}\,\!} 一阶，可分离变量[1] y M ( x y ) + x N ( x y ) d y d x = 0 {\displaystyleyM(xy)+xN(xy)\,{\frac{dy}{dx}}=0\,\!} y M ( x y ) d x + x N ( x y ) d y = 0 {\displaystyleyM(xy)\,dx+xN(xy)\,dy=0\,\!} 分离变量（除以 x y {\displaystylexy} ）。

ln ⁡ ( C x ) = ∫ x y N ( λ ) d λ λ [ N ( λ ) − M ( λ ) ] {\displaystyle\ln(Cx)=\int^{xy}{\frac{N(\lambda)\,d\lambda}{\lambda[N(\lambda)-M(\lambda)]}}\,\!} 如果 N = M {\displaystyleN=M} ,解为 x y = C {\displaystylexy=C} . 恰当微分,一阶[2] M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {\displaystyleM(x,y){\frac{dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!} M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {\displaystyleM(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!} 其中 ∂ M ∂ x = ∂ N ∂ y {\displaystyle{\frac{\partialM}{\partialx}}={\frac{\partialN}{\partialy}}\,\!} 整个积分。

F ( x , y ) = ∫ y M ( x , λ ) d λ + ∫ x N ( λ , y ) d λ + Y ( y ) + X ( x ) = C {\displaystyle{\begin{aligned}F(x,y)&=\int^{y}M(x,\lambda)\,d\lambda+\int^{x}N(\lambda,y)\,d\lambda\\&+Y(y)+X(x)=C\end{aligned}}\,\!} 其中 Y ( y ) {\displaystyleY(y)} 和 X ( x ) {\displaystyleX(x)} 是积分出来的函数而不是常数，将它们列在这里以使最终函数 F ( x , y ) {\displaystyleF(x,y)} 满足初始条件。

反常微分,一阶[2] M ( x , y ) d y d x + N ( x , y ) = 0 {\displaystyleM(x,y){\frac{dy}{dx}}+N(x,y)=0\,\!} M ( x , y ) d y + N ( x , y ) d x = 0 {\displaystyleM(x,y)\,dy+N(x,y)\,dx=0\,\!} 其中 ∂ M ∂ x ≠ ∂ N ∂ y {\displaystyle{\frac{\partialM}{\partialx}}\neq{\frac{\partialN}{\partialy}}\,\!} 积分变量 μ ( x , y ) {\displaystyle\mu(x,y)} 满足 ∂ ( μ M ) ∂ x = ∂ ( μ N ) ∂ y {\displaystyle{\frac{\partial(\muM)}{\partialx}}={\frac{\partial(\muN)}{\partialy}}\,\!} 如果可以得到 μ ( x , y ) {\displaystyle\mu(x,y)} ： F ( x , y ) = ∫ y μ ( x , λ ) M ( x , λ ) d λ + ∫ x μ ( λ , y ) N ( λ , y ) d λ + Y ( y ) + X ( x ) = C {\displaystyle{\begin{aligned}F(x,y)&=\int^{y}\mu(x,\lambda)M(x,\lambda)\,d\lambda+\int^{x}\mu(\lambda,y)N(\lambda,y)\,d\lambda\\&+Y(y)+X(x)=C\\\end{aligned}}\,\!} 一般二阶微分方程 二阶,自治[3] d 2 y d x 2 = F ( y ) {\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}=F(y)\,\!} 原方程乘以 2 d y d x {\displaystyle{\frac{2\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}} ,代换 2 d y d x d 2 y d x 2 = d d x ( d y d x ) 2 {\displaystyle2{\frac{dy}{dx}}{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac{d}{dx}}\left({\frac{dy}{dx}}\right)^{2}\,\!} ,然后两次积分. x = ± ∫ y d λ 2 ∫ λ F ( ϵ ) d ϵ + C 1 + C 2 {\displaystylex=\pm\int^{y}{\frac{d\lambda}{\sqrt{2\int^{\lambda}F(\epsilon)\,d\epsilon+C_{1}}}}+C_{2}\,\!} 线性方程(最高到 n {\displaystylen} 阶) 一阶线性，非齐次的函数系数[2] d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)\,\!} 积分因子: e ∫ x P ( λ ) d λ {\displaystylee^{\int^{x}P(\lambda)\,d\lambda}} . y = e − ∫ x P ( λ ) d λ [ ∫ x e ∫ λ P ( ϵ ) d ϵ Q ( λ ) d λ + C ] {\displaystyley=e^{-\int^{x}P(\lambda)\,d\lambda}\left[\int^{x}e^{\int^{\lambda}P(\epsilon)\,d\epsilon}Q(\lambda)\,{d\lambda}+C\right]} 二阶线性，非齐次的常系数[4] d 2 y d x 2 + b d y d x + c y = r ( x ) {\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}+b{\frac{dy}{dx}}+cy=r(x)\,\!} 余函数 y c {\displaystyley_{c}} :设 y c = e α x {\displaystyley_{c}=\mathrm{e}^{\alphax}} ，代换并解出 α {\displaystyle\alpha} 中的多项式，求出线性无关函数 e α j x {\displaystylee^{\alpha_{j}x}} 。

特解 y p {\displaystyley_{p}} ：一般运用常数变易法（英语：methodofvariationofparameters），虽然对于非常容易的 r ( x ) {\displaystyler(x)} 可以直观判断。

[2] y = y c + y p {\displaystyley=y_{c}+y_{p}} 如果 b 2 > 4 c {\displaystyleb^{2}>4c} ,则: y c = C 1 e ( − b + b 2 − 4 c ) x 2 + C 2 e − ( b + b 2 − 4 c ) x 2 {\displaystyley_{c}=C_{1}e^{\left(-b+{\sqrt{b^{2}-4c}}\right){\frac{x}{2}}}+C_{2}e^{-\left(b+{\sqrt{b^{2}-4c}}\right){\frac{x}{2}}}\,\!} 如果 b 2 = 4 c {\displaystyleb^{2}=4c} ,则: y c = ( C 1 x + C 2 ) e − b x 2 {\displaystyley_{c}=(C_{1}x+C_{2})e^{-{\frac{bx}{2}}}\,\!} 如果 b 2 < 4 c {\displaystyleb^{2}<4c} ,则: y c = e − b x 2 [ C 1 sin ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) + C 2 cos ⁡ ( | b 2 − 4 c | x 2 ) ] {\displaystyley_{c}=e^{-{\frac{bx}{2}}}\left[C_{1}\sin{\left({\sqrt{\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac{x}{2}}\right)}+C_{2}\cos{\left({\sqrt{\left|b^{2}-4c\right|}}{\frac{x}{2}}\right)}\right]\,\!} n {\displaystylen} 阶线性，非齐次常系数[4] ∑ j = 0 n b j d j y d x j = r ( x ) {\displaystyle\sum_{j=0}^{n}b_{j}{\frac{d^{j}y}{dx^{j}}}=r(x)\,\!} 余函数 y c {\displaystyley_{c}} ：设 y c = e α x {\displaystyley_{c}=\mathrm{e}^{\alphax}} ，代换并解出 α {\displaystyle\alpha} 中的多项式，求出线性无关函数 e α j x {\displaystylee^{\alpha_{j}x}} . 特解 y p {\displaystyley_{p}} ：一般运用常数变易法（英语：methodofvariationofparameters），虽然对于非常容易的 r ( x ) {\displaystyler(x)} 可以直观判断。

[2] y = y c + y p {\displaystyley=y_{c}+y_{p}} 由于 α j {\displaystyle\alpha_{j}} 为 n {\displaystylen} 阶多项式的解： ∏ j = 1 n ( α − α j ) = 0 {\displaystyle\prod_{j=1}^{n}\left(\alpha-\alpha_{j}\right)=0\,\!} ，于是： 对于各不相同的 α j {\displaystyle\alpha_{j}} ， y c = ∑ j = 1 n C j e α j x {\displaystyley_{c}=\sum_{j=1}^{n}C_{j}e^{\alpha_{j}x}\,\!} 每个根 α j {\displaystyle\alpha_{j}} 重复 k j {\displaystylek_{j}} 次， y c = ∑ j = 1 n ( ∑ ℓ = 1 k j C ℓ x ℓ − 1 ) e α j x {\displaystyley_{c}=\sum_{j=1}^{n}\left(\sum_{\ell=1}^{k_{j}}C_{\ell}x^{\ell-1}\right)e^{\alpha_{j}x}\,\!} 对于一些复数值的αj，令α=χj+iγj，使用欧拉公式，前面结果中的一些项就可以写成 C j e α j x = C j e χ j x cos ⁡ ( γ j x + ϕ j ) {\displaystyleC_{j}e^{\alpha_{j}x}=C_{j}e^{\chi_{j}x}\cos(\gamma_{j}x+\phi_{j})\,\!} 的形式，其中ϕj为任意常量（相移）。

参见[编辑] 微分方程 偏微分方程 参考资料[编辑] ^1.01.1MathematicalHandbookofFormulasandTables(3rdedition),S.Lipschutz,M.R.Spiegel,J.Liu,Schuam'sOutlineSeries,2009,ISC_2N978-0-07-154855-7 ^2.02.12.22.32.42.52.62.72.8ElementaryDifferentialEquationsandBoundaryValueProblems(4thEdition),W.E.Boyce,R.C.Diprima,WileyInternational,JohnWiley&Sons,1986,ISBN0-471-83824-1 ^FurtherElementaryAnalysis,R.Porter,G.Bell&Sons(London),1978,ISBN0-7135-1594-5 ^4.04.1Mathematicalmethodsforphysicsandengineering,K.F.Riley,M.P.Hobson,S.J.Bence,CambridgeUniversityPress,2010,ISC_2N978-0-521-86153-3 规范控制 NDL:00574993 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=常微分方程&oldid=70570101” 分类：​常微分方程微分学隐藏分类：​使用ISBN魔术链接的页面含有英語的條目包含NDL标识符的维基百科条目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 العربيةAsturianuAzərbaycancaБашҡортсаБългарскиCatalàČeštinaЧӑвашлаDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiفارسیFrançaisGalegoעבריתहिन्दीՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語한국어МонголBahasaMelayuPolskiPortuguêsRomânăРусскийScotsසිංහලSimpleEnglishSlovenčinaСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்TagalogTürkçeУкраїнськаTiếngViệt粵語 编辑链接