拉普拉斯變換的本質意義(好文!通俗易懂) - 人人焦點
文章推薦指數: 80 %
拉普拉斯變換在工程學上的應用:應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化爲代數方程,使問題得以解決。
在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在於:將一個 ...
人人焦點
影視
健康
歷史
數碼
遊戲
美食
時尚
旅遊
運動
星座
情感
動漫
科學
寵物
家居
文化
教育
故事
拉普拉斯變換的本質意義(好文!通俗易懂)
2021-01-14FPGA之家
點擊藍字關注我們FPGA之家-中國最好最大的FPGA純工程師社羣本文將從通俗的角度看待拉普拉斯變換。
奧列弗.赫維賽德,維多利亞時期英國人,全靠自學,聽力殘疾。
很多人熟悉赫維賽德是因爲MATLAB有一個赫維賽德(Heaviside)函數。
赫維賽德簡化了麥克斯韋方程組:即變化的電場產生磁場,變化的磁場產生電場。
讓20個方程組便成了4個。
**赫維賽德另一個貢獻就是我們今天要說的運算微積分-它可以將常微分方程轉換爲普通代數方程。
**赫維賽德是怎麼解微分方程的呢?他把微分、積分運算用一個簡單的算子來代替。
也就是說,在某種算子下,積分和微分對應的是倒數關係,至於算子p代表什麼,赫維賽德也沒有多解釋,在缺乏嚴密數學基礎的情況下,人家直接放在文章就用了,還發表了。
比如常見的一個二階常微分方程,如果用赫維賽德的微分算子變換一下,就變成了代數表達式。
赫維賽德之所以這麼做,是因爲他的「物理直覺」告訴他這麼做,就是這麼硬。
這顯然是一種開外掛的行爲,因此也受到當時的主流數學家們們的攻訐,他們認爲赫維賽德就是十足的「民科」,文章沒什麼理論依據,自己在那空想呢。
當然,赫維賽德也不是弱雞,科學家懟起人來,也是毫不含糊:「因爲我不能理解消化過程就拒絕晚餐嗎?不,只要我滿意這個結果。
」好了,扯了那麼遠,有童鞋已經不耐心了:這些和拉普拉斯變換有什麼關係?謎底就是:赫維賽德的微積分算子,就是拉普拉斯變換的前身。
在說拉普拉斯變換以前,我們要先提一下傅立葉變換,這可以看成是輕量版的拉普拉斯變換。
傅立葉變換說的是什麼事?說的是自然界的很多現象,都可以用三角函數進行分解。
clc;clear;h=animatedline;xl=xlabel('cos(\omegat)');%yl=ylabel('sin(\omegat)');%gridon;title('\omega=1rad/sMadebyJPan')axis([-1,1,-1,1]);axissquare;N=100;t=linspace(0,2*pi,N);w=1;x=cos(w*t);y=sin(w*t);a=tic;%starttimerfork=1:Naddpoints(h,x(k),y(k));holdonquiver(0,0,x(k)*1.1,y(k)*1.1)b=toc(a);%checktimerifb>(1/90)drawnow%updatescreenevery1/30secondsa=tic;%resettimerafterupdatingendend123456789101112131415161718192021222324你能想像到很多曲線,都可以用這些不同頻率,連續旋轉的圓,通過線性疊加得到,而傅立葉定律,就是對這個結論的數學描述。
傅立葉定律說:只要一個函數滿足如狄利赫里條件,都能分解爲復指數函數之和,哪怕是如拉格朗日提到的帶有稜角的方波函數。
狄利赫里條件爲:其中可去間斷點和跳躍間斷點屬於第一類間斷點於是就可以很好的解釋拉格朗日和傅立葉之間的爭論了——拉格朗日是對的:正弦曲線無法組合成一個帶有稜角的信號,稜角處會有很小高頻波動(吉布斯現象)。
但是,我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它,逼近到兩種表示方法不存在能量差別,基於此,傅立葉也是對的。
一個從數學家的角度,一個從工程師的角度。
clc;clear;h=animatedline;h1=gcf;view(3);xl=xlabel('cos(\omegat)');%yl=ylabel('sin(\omegat)');%zl=zlabel('t');%set(xl,'Rotation',30);%set(yl,'Rotation',-30);%gridon;title('\omega=1rad/sMadebyJPan')axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])N=200;t=linspace(0,4*pi,N);w=1;x=cos(w*t);y=sin(w*t);a=tic;%starttimerfork=1:Naddpoints(h,x(k),y(k),t(k));holdonline([0x(k)],[0y(k)],[t(k)t(k)],'Color','red')b=toc(a);%checktimerifb>(1/90)drawnow%updatescreenevery1/30secondsa=tic;%resettimerafterupdatingendend12345678910111213141516171819202122232425262728clc;clear;h=animatedline;h1=gcf;view(3);xl=xlabel('cos(\omegat)');%yl=ylabel('sin(\omegat)');%zl=zlabel('t');%set(xl,'Rotation',30);%set(yl,'Rotation',-30);%gridon;title('\omega=1rad/sMadebyJPan')axis([-1,1,-1,1,0,4*pi])N=200;t=linspace(0,4*pi,N);w=1;sig=-0.2;x=exp(sig*t).*cos(w*t);y=exp(sig*t).*sin(w*t);a=tic;%starttimerfork=1:Naddpoints(h,x(k),y(k),t(k));holdonline([0x(k)],[0y(k)],[t(k)t(k)],'Color','red')b=toc(a);%checktimerifb>(1/90)drawnow%updatescreenevery1/30secondsa=tic;%resettimerafterupdatingendend12345678910111213141516171819202122232425262728螺旋曲線和衰減函數的乘積:一個半徑不斷減小的螺旋曲線。
從不同的平面看,就是不斷衰減的正弦或者餘弦曲線,從複平面來看,是一個半徑不斷減小的圓。
歡迎FPGA工程和嵌入式等工程師關注公衆號歡迎大家加入全國FPGA微信技術羣,這個羣體擁有數萬工程師、一羣熱愛技術的工程師,這裡的FPGA工程師相互幫助,相互分享,技術氛圍濃厚!趕緊叫上小夥伴一起加入吧!!用手指按住就可以加入FPGA全國技術羣哦FPGA之家元器件芯城優勢元器件服務,有需求請掃碼聯繫羣主:金娟郵箱:[email protected] 歡迎推薦給採購ACTEL、AD部分優勢訂貨(經營全系列):XILINX、ALTERA優勢現貨或訂貨(經營全系列):(以上器件爲部分型號,更多型號請諮詢羣主金娟)服務理念:FPGA之家元器件自營芯城,旨在方便工程師快速方便購買器件服務,經過數年竭誠服務,我們的客服遍布國內大型上市公司、軍工科研單位、中小企業、最大的優勢是強調服務至上的理念、並且做到快速交貨、價格優惠!直營品牌:XilinxALTERAADITINXPSTE2V、鎂光等百餘元器件品牌,尤其擅長歐美對華禁運器件,歡迎工程師朋友把我們推薦給採購或者親自諮詢我們!我們將一如既往提供業內最佳服務!FPGA技術羣官方鳴謝品牌:Xilinx、intel(Altera)、microsemi(,Actel)、LattICe,Vantis,Quicklogic,Lucent等
相關焦點
傅立葉變換,拉普拉斯變換和Z變換的意義
簡介:本文介紹了在實際工程中常用到的傅立葉變換和Z變換之間的關係、各自的意義等內容。
拉普拉斯變換在工程學上的應用:應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化爲代數方程,使問題得以解決。
在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在於:將一個信號從時域上,轉換爲復頻域(s域)上來表示;在線性系統,控制自動化上都有廣泛的應用。
在數位訊號處理中,Z變換是一種非常重要的分析工具。
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫是什麼?爲什麼要進行這些變換?
導讀:在知乎上看到一個問題,傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫是什麼?爲什麼要進行這些變換?我覺得這是一個非常好的問題,貌似一下子也回答不上來,所以整理學習並分享一下。
什麼是數學變換?從前文我們知道,拉普拉斯本質上也是一種積分變換,那麼上面公式,將
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換最全攻略
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫?他們的本質和區別是什麼?爲什麼要進行這些變換。
研究的都是什麼?從幾方面討論下。
傅立葉變換,拉普拉斯變換,Z變換的意義 【傅立葉變換】在物理學、數論、組合數學、信號處理、概率論、統計學、密碼學、聲學、光學、海洋學、結構動力學等領域都有著廣泛的應用(例如在信號處理中,傅立葉變換的典型用途是將信號分解成幅值分量和頻率分量)。
拉普拉斯變換的物理意義是什麼?
在電路分析中使用這種方法建立系統的數學模型也十分簡便,而且電容電感可以寫成等效容抗感抗值,之後寫迴路方程,按照Cramer法則求解即可。
這種方法雖然實用,卻受到了數學家的質疑,因爲缺少嚴謹的數學論證,後來人們在Laplace的著作中找見了可靠的依據,這種方法便被稱爲拉普拉斯變換法。
拉普拉斯變換4:單邊拉普拉斯變換
單邊拉普拉斯變換在分析具有非零初始條件的因果系統時,有很大的價值。
拉普拉斯變換是做什麼用的
拉普拉斯變換是針對系統的,傅立葉變換是針對信號的。
從工程意義上說,拉普拉斯變換並不是簡單的傅立葉變換推廣!
【E課堂】傅立葉變換拉普拉斯變換的物理解釋及區別
拉普拉斯變換在工程學上的應用:應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化爲代數方程,使問題得以解決。
在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在於:將一個信號從時域上,轉換爲復頻域(s域)上來表示;在線性系統,控制自動化上都有廣泛的應用。
在數位訊號處理中,Z變換是一種非常重要的分析工具。
傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換的聯繫是什麼?爲什麼要進行這些變換?
,多年過去了,用的多了發現也就是那麼回事,儘管其內部的數學推論是複雜的(其實也就那樣),但真的要說,仍然可以用最簡單的幾句話和最通俗易懂的語言把它的原理和作用講清楚。
不是很複雜吧,你是不是很疑惑,爲什麼長得和傅立葉變換的標準公式差的有點多呢,標準公式不是長得是這樣麼:你看,最終還不是換湯不換藥,無非就是多了個複數,這個複數其實沒有別的其它意義,作用就是在計算中和cos區分開來,扯到複平面上繞圈圈?沒必要!真的,傅立葉搞懂了拉普拉斯變換基本上一句話就能講完,如果不扯點傅立葉變換的東西,我估計會因爲回答問題過於簡短待會答案都被摺疊了。
拉普拉斯變換及其逆變換表拉普拉斯變換及其逆變換表
打開APP拉普拉斯變換及其逆變換表拉普拉斯變換及其逆變換表發表於2017-12-0518:30:31 拉普拉斯變換應用領域定理 有些情形下一個實變量函數在實數域中進行一些運算並不容易,但若將實變量函數作拉普拉斯變換,並在複數域中作各種運算,再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果, 在經典控制理論中,對控制系統的分析和綜合,都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。
學不到的數學經典:拉普拉斯本人是如何推導出拉普拉斯變換公式的
傅立葉變換和拉普拉斯變換是高等數學的重要內容,這兩大變換貫穿於各個自然學課,傅立葉變換雖然好用,而且物理意義明確,但有一個最大的問題是其存在的條件比較苛刻,比如時域內絕對可積的信號才可能存在傅立葉變換。
用冪級數推導出「拉普拉斯變換」
我們知道數學中的三大變換:傅立葉變換,拉普拉斯變換,Z變換貫穿於整個信號處理與複變函數,拉普拉斯將傅立葉在頻域不能解決的問題推廣到復頻域,所以其應用也更爲廣泛。
他是如何得到的呢?首先來看冪級數和形式:冪級數在數學分析中很重要,其簡單的形式曾導出了重要的泰勒公式。
拉普拉斯變換中的S是個什麼鬼?
——ArthurMattuck(MIT數學系返聘教授,原MIT數學系主任)一個比較好的關於Laplace變換的解釋方法是從冪級數(PowerSeries)入手。
他也是拉普拉斯變換和拉普拉斯方程的發現者,對數學和物理學的發展具有傑出貢獻。
學過控制的都知道拉普拉斯變換(LaplaceTransform),但是你們是不是也有疑問,拉普拉斯變換中的S到底是個什麼鬼?皮埃爾-西蒙·拉普拉斯侯爵當年爲啥就能想出個這樣的數學變換公式?
拉普拉斯變換——也就這麼回事
拉普拉斯變換是在現代工程學中使用最廣泛的數學工具,它通過數學變換將微積分方程轉化成代數方程,極大地簡化了用一般方法去求解微積分方程。
拉普拉斯變換在許多工程技術和科學研究領域中有著廣泛的應用,特別是在力學系統、電學系統、自動控制系統、可靠性系統以及隨機服務系統等系統科學中都起著重要作用。
拉普拉斯變換的基本定理
本節介紹拉普拉斯變換(也稱爲拉氏變換)的基本性質,了解掌握了這些性質,可以更加方便地求解各種拉普拉斯正反變換。
例9-2-1求、和的拉氏變換。
拉普拉斯變換的應用在電路設計
拉普拉斯變換是工程數學中常用的一種積分變換,又名拉氏變換。
拉氏變換是一個線性變換,可將一個有引數實數t(t≥0)的函數轉換爲一個引數爲複數s的函數。
信號與系統公式大全(傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、卷積...)
今天大家整理了信號與系統的公式大全,主要包括傅立葉變換、拉普拉斯變換、Z變換、卷積...相信我,收藏起來,今後用得上
模擬電路設計系列講座二:拉普拉斯變換和傳遞函數
本文將簡單介紹信號處理技術最基本的知識,拉普拉斯變換,傳遞函數以及零極點。
任何線性時不變系統的傳遞函數以及零極點都可以用電子元器件在拉普拉斯變換域(或者s域)內的阻抗形式進行表示。
從電路到拉普拉斯變換域(或者s域)內的轉換形式如下表所示:另外s域還代表著微分方程,替代關係如下:任何線性時不變系統的傳遞函數都可以用含有s的多項式方式進行表述
我們用拉普拉斯變換求一個常見函數的積分
本篇我們用拉普拉斯變換求積分,開闊下你的數學視野我們很容易發現如下被積函數是偶函數,所以它的積分是一個奇函數我們將上式改寫下得到:x趨於無窮大時:其中等式右側的積分叫做狄利克雷積分(Dirichletintegral),現在我們用拉普拉斯變換對上式積分進行推導,首先根據頻域導數與時域的關係這個正弦函數sint/t就變成了如下形式再次利用三角函數的的拉普拉斯變換得到:我們對上式兩邊積分得到:爲了確定常數C,對上述的等式兩邊求極限
傅立葉變換、拉氏變換、z變換的含義
傅立葉變換把信號由時域轉爲頻域,因此把不同頻率的信號在時域上拼接起來進行傅立葉變換是沒有意義的——實際情況下,我們隔一段時間採集一次信號進行變換,才能體現出信號在頻域上隨時間的變化。
我的語言可能比較晦澀,但我已盡我所能向你講述我的一點理解——真心希望能對你有用。
對傅立葉變換、拉氏變換、z變換詳細剖析
傅立葉變換把信號由時域轉爲頻域,因此把不同頻率的信號在時域上拼接起來進行傅立葉變換是沒有意義的——實際情況下,我們隔一段時間採集一次信號進行變換,才能體現出信號在頻域上隨時間的變化。
我的語言可能比較晦澀,但我已盡我所能向你講述我的一點理解——真心希望能對你有用。
延伸文章資訊
- 1拉普拉斯轉換(Laplace Transform) - 非線性與適應性系統實驗室
通常來說,一般我們日常生活中所接觸到的信號,大都是以時間的函數來表. 示,因為這具有一般人可以理解的物理上直觀的意義。可是因為信號在系統中相. 關的分析與應用上 ...
- 2拉普拉斯變換的本質意義(好文!通俗易懂) - 人人焦點
拉普拉斯變換在工程學上的應用:應用拉普拉斯變換解常變量齊次微分方程,可以將微分方程化爲代數方程,使問題得以解決。在工程學上,拉普拉斯變換的重大意義在於:將一個 ...
- 3拉普拉斯轉換
變換及其性質的應用實例
- 4拉普拉斯轉換- 維基百科,自由的百科全書
變換及其性質的應用實例
- 5拉普拉斯变换- 维基百科,自由的百科全书