拉普拉斯方程- 維基百科，自由的百科全書

拉普拉斯方程，又名調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程。

因為由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。

求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學、熱力學和流體 ... 拉普拉斯方程 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·一致連續 ·緊緻集 ·海涅－博雷爾定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·一致收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（羅爾定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·鏈式法則） ·洛必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·拐點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一中值定理 ·積分第二中值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·劉維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分變換 ·卷積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變量原函數的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程 ·伯努利微分方程 ·克萊羅方程 ·全微分方程 ·線性微分方程 ·疊加原理 ·特徵方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯變換法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施圖姆-劉維爾理論 ·N體問題 ·積分方程 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·劉維爾 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動力系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最優化 ·非標準分析 閱論編 皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 拉普拉斯方程，又名調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程。

因為由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。

求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學、熱力學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題，因為這種方程以勢函數的形式描寫電場、引力場和流場等物理對象（一般統稱為「保守場」或「有勢場」）的性質。

[1]:619ff 目次 1定義 2邊界條件 3二維拉普拉斯方程 3.1解析函數 3.2流體動力學 3.3靜電學 4三維拉普拉斯方程 4.1基本解 4.2格林函數 4.3圓球殼案例 5參見 6參考文獻 7外部連結 定義[編輯] 三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變量x、y、z二階可微的實函數φ： 使用笛卡爾坐標， Δ f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 {\displaystyle\Deltaf={\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}}+{\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}}+{\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}}=0} 。

使用柱坐標， Δ f = 1 r ∂ ∂ r ( r ∂ f ∂ r ) + 1 r 2 ∂ 2 f ∂ ϕ 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 = 0 {\displaystyle\Deltaf={\frac{1}{r}}{\frac{\partial}{\partialr}}\left(r{\frac{\partialf}{\partialr}}\right)+{\frac{1}{r^{2}}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial\phi^{2}}}+{\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}}=0} 使用球面坐標， Δ f = 1 ρ 2 ∂ ∂ ρ ( ρ 2 ∂ f ∂ ρ ) + 1 ρ 2 sin ⁡ θ ∂ ∂ θ ( sin ⁡ θ ∂ f ∂ θ ) + 1 ρ 2 sin 2 ⁡ θ ∂ 2 f ∂ φ 2 = 0 {\displaystyle\Deltaf={\frac{1}{\rho^{2}}}{\frac{\partial}{\partial\rho}}\left(\rho^{2}{\frac{\partialf}{\partial\rho}}\right)+{\frac{1}{\rho^{2}\sin\theta}}{\frac{\partial}{\partial\theta}}\left(\sin\theta{\frac{\partialf}{\partial\theta}}\right)+{\frac{1}{\rho^{2}\sin^{2}\theta}}{\frac{\partial^{2}f}{\partial\varphi^{2}}}=0} 。

使用曲線坐標， Δ f = ∂ ∂ ξ j ( ∂ f ∂ ξ k g k i ) + ∂ f ∂ ξ j g j m Γ m n n = 0 , {\displaystyle\Deltaf={\frac{\partial}{\partial\xi^{j}}}\left({\frac{\partialf}{\partial\xi^{k}}}g^{ki}\right)+{\frac{\partialf}{\partial\xi^{j}}}g^{jm}\Gamma_{mn}^{n}=0,} 或 Δ f = 1 | g | ∂ ∂ ξ i ( | g | g i j ∂ f ∂ ξ j ) = 0 , ( g = d e t { g i j } ) {\displaystyle\Deltaf={\frac{1}{\sqrt{|g|}}}{\frac{\partial}{\partial\xi^{i}}}\!\left({\sqrt{|g|}}g^{ij}{\frac{\partialf}{\partial\xi^{j}}}\right)=0,\qquad(g=\mathrm{det}\{g_{ij}\})} 。

這組方程又經常寫為 ∇ 2 φ = 0 {\displaystyle\nabla^{2}\varphi=0} 或者 div grad φ = 0 {\displaystyle\operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,\varphi=0} ； 其中，div表示矢量場的散度（結果是一個純量場），grad表示純量場的梯度（結果是一個矢量場）。

這方程又可寫為 Δ φ = 0 {\displaystyle\Delta\varphi=0} ； 其中，Δ稱為拉普拉斯算子。

拉普拉斯方程的解稱為調和函數。

[1]:671-672 如果等號右邊是一個給定的函數f(x,y,z)，即 Δ φ = f {\displaystyle\Delta\varphi=f} ， 則該方程稱為泊松方程。

拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型微分方程。

偏微分算子 ∇ 2 {\displaystyle\nabla^{2}} 或 Δ {\displaystyle\Delta} （可以在任意維空間中定義這樣的算子）稱為拉普拉斯算子。

邊界條件[編輯] 對於二維環形（內半徑r=2、外半徑R=4），滿足狄利克雷邊界條件（u(r=2)=0、u(R=4)=4sin(5*θ)）的拉普拉斯方程的電腦繪圖。

拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域 D {\displaystyleD} 內定義的函數 φ {\displaystyle\varphi} ，使得 φ {\displaystyle\varphi} 在 D {\displaystyleD} 的邊界上等於某給定的函數。

為方便敘述，以下採用拉普拉斯算子應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度（是邊界上各點位置坐標的函數），直到區域內部熱傳導使溫度分布達到穩定，這個溫度分布場就是相應的狄利克雷問題的解。

[2]:37-38 拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域 D {\displaystyleD} 邊界處的溫度函數φ本身，而是φ沿 D {\displaystyleD} 的邊界法向的導數。

從物理的角度看，這種邊界條件給出的是矢量場的勢分布在區域邊界處的已知效果（對熱傳導問題而言，這種效果便是邊界熱流密度）。

[2]:37-38 拉普拉斯方程的解稱為調和函數，此函數在方程成立的區域內是解析的。

任意兩個函數，如果它們都滿足拉普拉斯方程（或任意線性微分方程），這兩個函數的任意線性組合同樣滿足前述方程。

這種非常有用的性質稱為疊加原理。

可以根據該原理將各種通解線性組合起來，以滿足所有邊界條件。

[1]:124-130 二維拉普拉斯方程[編輯] 兩個自變量的拉普拉斯方程具有以下形式： ∂ 2 ψ ∂ x 2 + ∂ 2 ψ ∂ y 2 ≡ ψ x x + ψ y y = 0. {\displaystyle{\frac{\partial^{2}\psi}{\partialx^{2}}}+{\frac{\partial^{2}\psi}{\partialy^{2}}}\equiv\psi_{xx}+\psi_{yy}=0.} 解析函數[編輯] 解析函數的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。

換言之，若z=x+iy，並且 f ( z ) = u ( x , y ) + i v ( x , y ) {\displaystylef(z)=u(x,y)+iv(x,y)} ， 那麼f(z)是解析函數的充要條件是u(x,y)，v(x,y)可微，且滿足下列柯西-黎曼方程：[1]:671-672 u x = v y , v x = − u y {\displaystyleu_{x}=v_{y},\quadv_{x}=-u_{y}} 。

上述方程繼續求導就得到 u y y = ( − v x ) y = − ( v y ) x = − ( u x ) x {\displaystyleu_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}} 。

所以u滿足拉普拉斯方程。

類似的計算可推得v同樣滿足拉普拉斯方程。

反之，給定一個由解析函數（或至少在某點及其鄰域內解析的函數）f(z)的實部確定的調和函數，若寫成下列形式： f ( z ) = φ ( x , y ) + i ψ ( x , y ) {\displaystylef(z)=\varphi(x,y)+i\psi(x,y)} ， 則等式 ψ x = − φ y , ψ y = φ x {\displaystyle\psi_{x}=-\varphi_{y},\quad\psi_{y}=\varphi_{x}} 。

成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。

上述關係無法確定ψ，只能得到它的微增量表達式： d ψ = − φ y d x + φ x d y {\displaystyled\psi=-\varphi_{y}\,dx+\varphi_{x}\,dy} 。

φ滿足拉普拉斯方程意味著ψ滿足可積條件： ψ x y = ψ y x {\displaystyle\psi_{xy}=\psi_{yx}} 。

所以可以通過一個線積分來定義ψ。

可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關，僅由起點和終點決定。

於是，我們便通過複變函數方法得到了φ和ψ這一對拉普拉斯方程的解。

這樣的解稱為一對共軛調和函數。

這種構造解的方法只在局部（複變函數f(z)）的解析域內）有效，或者說，構造函數的積分路徑不能圍繞有f(z)的奇點。

譬如，在極坐標平面(r,θ)上定義函數 φ = log ⁡ r {\displaystyle\varphi=\logr} ， 那麼相應的解析函數為 f ( z ) = log ⁡ z = log ⁡ r + i θ {\displaystylef(z)=\logz=\logr+i\theta} 。

在這裡需要注意的是，極角θ僅在不包含原點的區域內才是單值的。

拉普拉斯方程與解析函數之間的緊密聯繫說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導（這是解析函數的一個性質），因此可以展開成冪級數形式，至少在不包含奇點的圓域內是如此。

這與波動方程的解形成鮮明對照，後者包含任意函數，其中一些的可微分階數是很小的。

冪級數和傅立葉級數之間存在著密切的關係。

如果我們將函數f在複平面上以原點為中心，R為半徑的圓域內展開成冪級數，即 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ c n z n {\displaystylef(z)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}z^{n}} ， 將每一項係數適當地分離出實部和虛部 c n = a n + i b n {\displaystylec_{n}=a_{n}+ib_{n}} 。

那麼 f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ [ a n r n cos ⁡ n θ − b n r n sin ⁡ n θ ] + i ∑ n = 1 ∞ [ a n r n sin ⁡ n θ + b n r n cos ⁡ n θ ] {\displaystylef(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\left[a_{n}r^{n}\cosn\theta-b_{n}r^{n}\sinn\theta\right]+i\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n}r^{n}\sinn\theta+b_{n}r^{n}\cosn\theta\right]} ， 這便是f的傅立葉級數。

這些三角函數自身也可以用倍角公式展開。

流體動力學[編輯] 設 u {\displaystyleu} 、 v {\displaystylev} 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的 x {\displaystylex} 和 y {\displaystyley} 方向分量（這裡僅考慮二維流場），那麼不可壓縮條件為：[3]:99-101 u x + v y = 0 {\displaystyleu_{x}+v_{y}=0} ， 無旋條件為： v x − u y = 0 {\displaystylev_{x}-u_{y}=0} 。

若定義一個純量函數 ψ {\displaystyle\psi} ，使其微分滿足： d ψ = − v d x + u d y {\displaystyled\psi=-v\,dx+u\,dy} ， 那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。

積分的結果函數 ψ {\displaystyle\psi} 稱為流函數，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。

ψ {\displaystyle\psi} 的一階偏導為： ψ x = − v , ψ y = u {\displaystyle\psi_{x}=-v,\quad\psi_{y}=u} ， 無旋條件即令 ψ {\displaystyle\psi} 滿足拉普拉斯方程。

ψ {\displaystyle\psi} 的共軛調和函數 φ {\displaystyle\varphi} 稱為速度勢。

柯西-黎曼方程要求 φ x = u , φ y = v {\displaystyle\varphi_{x}=u,\quad\varphi_{y}=v} 。

所以每一個解析函數都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。

解析函數的實部為速度勢函數，虛部為流函數。

靜電學[編輯] 根據麥克斯韋方程組，二維空間中不隨時間變化的電場(u,v)滿足：[4]:83 ∇ × ( u , v ) = v x − u y = 0 {\displaystyle\nabla\times(u,v)=v_{x}-u_{y}=0} ， 和 ∇ ⋅ ( u , v ) = ρ {\displaystyle\nabla\cdot(u,v)=\rho} ， 其中ρ為電荷密度。

第一個麥克斯韋方程便是下列微分式的可積條件： d φ = − u d x − v d y {\displaystyled\varphi=-u\,dx-v\,dy} ， 所以可以構造電勢函數φ使其滿足 φ x = − u , φ y = − v {\displaystyle\varphi_{x}=-u,\quad\varphi_{y}=-v} 。

第二個麥克斯韋方程即： φ x x + φ y y = − ρ {\displaystyle\varphi_{xx}+\varphi_{yy}=-\rho} ， 這是一個泊松方程，當空間不包含自由電荷時，方程等號右邊變為0，方程變為拉普拉斯方程。

三維拉普拉斯方程[編輯] 基本解[編輯] 拉普拉斯方程的基本解滿足 ∇ ⋅ ∇ u = u x x + u y y + u z z = − δ ( x − x ′ , y − y ′ , z − z ′ ) {\displaystyle\nabla\cdot\nablau=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta(x-x',y-y',z-z')} ， 其中的三維δ函數代表位於 ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle(x',\,y',\,z')} 的一個點源。

由基本解的定義，若對u作用拉普拉斯算子，再把結果在包含點源的任意體積內積分，那麼 ∭ V ∇ ⋅ ∇ u d V = − 1 {\displaystyle\iiint_{V}\nabla\cdot\nablaudV=-1} 。

由於坐標軸旋轉不改變拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些僅與到點源距離r相關的解中。

如果我們選取包含點源、半徑為a的球形域作為積分域，那麼根據高斯散度定理[1]:318-322 − 1 = ∭ V ∇ ⋅ ∇ u d V = ∬ S u r d S = 4 π a 2 u r ( a ) {\displaystyle-1=\iiint_{V}\nabla\cdot\nablau\,dV=\iint_{S}u_{r}dS=4\pia^{2}u_{r}(a)} 。

求得在以點源為中心，半徑為r的球面上有 u r ( r ) = − 1 4 π r 2 {\displaystyleu_{r}(r)=-{\frac{1}{4\pir^{2}}}} ， 所以 u = 1 4 π r {\displaystyleu={\frac{1}{4\pir}}} 。

經過類似的推導同樣可求得二維形式的解 u = − ln ⁡ r 2 π {\displaystyleu={\frac{-\lnr}{2\pi}}} 。

格林函數[編輯] 格林函數是一種不但滿足前述基本解的定義，而且在體積域V的邊界S上還滿足一定的邊界條件的基本解。

譬如， G ( x , y , z ; x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyleG(x,y,z;x',y',z')\,} 可以滿足 ∇ ⋅ ∇ G = − δ ( x − x ′ , y − y ′ , z − z ′ ) in V {\displaystyle\nabla\cdot\nablaG=-\delta(x-x',y-y',z-z')\quad{\hbox{in}}\quadV} ， G = 0 if ( x , y , z ) on S {\displaystyleG=0\quad{\hbox{if}}\quad(x,y,z)\quad{\hbox{on}}\quadS} 。

現設u為在V內滿足泊松方程的任意解： ∇ ⋅ ∇ u = − f {\displaystyle\nabla\cdot\nablau=-f} ， 且u在邊界S上取值為g，那麼我們可以應用格林定理（是高斯散度定理的一個推論），得到[1]:652-659 ∭ V [ G ∇ ⋅ ∇ u − u ∇ ⋅ ∇ G ] d V = ∭ V ∇ ⋅ [ G ∇ u − u ∇ G ] d V = ∬ S [ G u n − u G n ] d S {\displaystyle\iiint_{V}\left[G\,\nabla\cdot\nablau-u\,\nabla\cdot\nablaG\right]\,dV=\iiint_{V}\nabla\cdot\left[G\nablau-u\nablaG\right]\,dV=\iint_{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS} 。

un和Gn分別代表兩個函數在邊界S上的法向導數。

考慮到u和G滿足的條件，可將這滿足狄利克雷邊界條件的公式化簡為 u ( x ′ , y ′ , z ′ ) = ∭ V G f d V − ∬ S G n g d S {\displaystyleu(x',y',z')=\iiint_{V}Gf\,dV-\iint_{S}G_{n}g\,dS} 。

所以格林函數描述了量f和g對 ( x ′ , y ′ , z ′ ) {\displaystyle(x',y',z')} 點函數值的影響。

圓球殼案例[編輯] 格林函數在半徑為a的球面內的點上得值可以通過鏡像法求得：距球心ρ的源點P的通過球面的「反射鏡像」P'距球心 ρ ′ = a 2 ρ {\displaystyle\rho'={\frac{a^{2}}{\rho}}} 。

需要注意的是，如果P在球內，那麼P'將在球外。

於是可得格林函數為 G = 1 4 π R − a 4 π ρ R ′ {\displaystyleG={\frac{1}{4\piR}}-{\frac{a}{4\pi\rhoR'}}} ； 其中，R表示距源點P的距離，R'表示距鏡像點P'的距離。

從格林函數上面的表示式可以推出泊松積分公式。

設ρ、θ和φ為源點P的三個球坐標分量。

此處θ按照物理學界的通用標準定義為坐標矢徑與豎直軸（z軸）的夾角（與歐洲習慣相同，與美國習慣不同）。

於是球面內拉普拉斯方程的解為：[2]:64-65 u ( P ) = 1 4 π a 3 ( 1 − ρ 2 a 2 ) ∬ g ( θ ′ , φ ′ ) sin ⁡ θ ′ d θ ′ d φ ′ ( a 2 + ρ 2 − 2 a ρ cos ⁡ Θ ) 3 / 2 {\displaystyleu(P)={\frac{1}{4\pi}}a^{3}\left(1-{\frac{\rho^{2}}{a^{2}}}\right)\iint{\frac{g(\theta',\varphi')\sin\theta'\,d\theta'\,d\varphi'}{(a^{2}+\rho^{2}-2a\rho\cos\Theta)^{3/2}}}} ； 其中， cos ⁡ Θ = cos ⁡ θ cos ⁡ θ ′ + sin ⁡ θ sin ⁡ θ ′ cos ⁡ ( θ − θ ′ ) {\displaystyle\cos\Theta=\cos\theta\cos\theta'+\sin\theta\sin\theta'\cos(\theta-\theta')} 。

這個公式的一個顯見的結論是：若u是調和函數，那麼u在球心處的取值為其在球面上取值的平均。

於是我們可以立即得出以下結論：任意一個調和函數（只要不是常函數）的最大值必然不會在其定義域的內部點取得。

參見[編輯] 球面調和函數 勢流理論 電勢 參考文獻[編輯] ^1.01.11.21.31.41.5Boas,Mary.MathematicalMethodsinthePhysicalSciences3rd.Wiley.2005.ISBN 978-0471198260.  ^2.02.12.2Jackson,JohnDavid,ClassicalElectrodynamic3rd.,USA:JohnWiley&Sons,Inc.,1999,ISBN 978-0-471-30932-1  ^Batchelor,George.AnIntroductiontoFluidDynamics.CambridgeUniversityPress.ISBN 978-0521663960.  ^Griffiths,DavidJ.,IntroductiontoElectrodynamics(3rded.),PrenticeHall,1998,ISBN 0-13-805326-X  嚴鎮軍編，《數學物理方程》，第二版，中國科學技術大學出版社，合肥，2002，ISBN978-7-312-00799-6/O•177 L.C.Evans,PartialDifferentialEquations,AmericanMathematicalSociety,Providence,1998.ISBN978-0-8218-0772-9 I.G.Petrovsky,PartialDifferentialEquations,W.B.SaundersCo.,Philadelphia,1967. A.D.Polyanin,HandbookofLinearPartialDifferentialEquationsforEngineersandScientists,Chapman&Hall/CRCPress,BocaRaton,2002.ISBN978-1-58488-299-2 A.Sommerfeld,PartialDifferentialEquationsinPhysics,AcademicPress,NewYork,1949. PijushK.Kundu,FluidMechanics,AcademicPress,2002. 外部連結[編輯] 拉普拉斯方程（特解和邊值問題）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）在EqWorld網站上的介紹（專門介紹數學方程的網站，英文）。

初始值問題舉例exampleproblems.com網站上使用拉普拉斯方程解題的例子（英文）。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=拉普拉斯方程&oldid=66393585」 分類：​皮埃爾-西蒙·拉普拉斯偏微分方程橢圓型偏微分方程調和函數隱藏分類：​使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAsturianuAzərbaycancaБеларускаяБългарскиCatalàЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתՀայերենBahasaIndonesiaItaliano日本語Қазақша한국어МакедонскиNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishСрпски/srpskiSvenskaతెలుగుTürkçeУкраїнськаVènetoTiếngViệt粵語 編輯連結