二階導數- 维基百科，自由的百科全书

微积分中，函數 f {\displaystyle f} f 的二階導數（英語：second derivative或second order ... 更多信息：微分記法（英语：Notation for differentiation）. 二階導數 函數的運算，其導數的導數 語言 監視 編輯 微積分中，函數 f {\displaystylef} 的二階導數（英語：secondderivative或secondorderderivative）是其導數的導數。

粗略而言，某量的二階導數，描述該量的變化率本身是否變化得快。

例如，物體位置對時間的二階導數是瞬時加速度，即該物體的速度隨時間的變化率。

用萊布尼茲記法（英語：Leibniznotation）： 二次函數的二階導數是常數。

a = d v d t = d 2 x d t 2 , {\displaystyle{\boldsymbol{a}}={\frac{\mathrm{d}{\boldsymbol{v}}}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}^{2}{\boldsymbol{x}}}{\mathrm{d}t^{2}}},} 其中 a {\displaystyle{\boldsymbol{a}}} 為加速度， v {\displaystyle{\boldsymbol{v}}} 為速度， t {\displaystylet} 為時間， x {\displaystyle{\boldsymbol{x}}} 為位置，而 d {\displaystyle\mathrm{d}} 表示瞬時的差值（又稱「delta」值）。

最後一式 d 2 x d t 2 {\displaystyle{\tfrac{\mathrm{d}^{2}{\boldsymbol{x}}}{\mathrm{d}t^{2}}}} 是位置 x {\displaystyle{\boldsymbol{x}}} 對時間的二階導數。

繪製函數圖形時，二階導數描述曲線的曲率或凹凸性。

若函數的二階導數為正，則其圖像是向上彎，像隻杯（ ∪ {\displaystyle\cup} ）。

反之，若其二階導數為負，則向下彎，像頂帽（ ∩ {\displaystyle\cap} ）。

目次 1二階導數的冪法則 2記法 2.1其他記法 3例 4與圖像的關係 4.1凹向 4.2拐點 4.3二階導數檢驗 5極限 6二次近似 7本徵值與本徵函數 8高維推廣 8.1黑塞方陣 8.2拉普拉斯算子 9參見 10註 11參考文獻 12延伸閱讀 12.1紙本 12.2網上 二階導數的冪法則編輯 連續兩次用一階導數的冪法則（英語：powerrule），則會推導出二階導數的冪法則，如下所示： d 2 d x 2 [ x n ] = d d x d d x [ x n ] = d d x [ n x n − 1 ] = n d d x [ x n − 1 ] = n ( n − 1 ) x n − 2 . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left[x^{n}\right]={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.}  公式對任意實數 n {\displaystylen}  成立。

記法編輯 更多資訊：微分記法（英語：Notationfordifferentiation） 函數 f {\displaystylef}  的二階導函數常記為 f ″ {\displaystylef''}  ，其於 x {\displaystylex}  處取值為 f ″ ( x ) {\displaystylef''(x)}  。

[1][2]換言之， f ″ = ( f ′ ) ′ , {\displaystylef''=\left(f'\right)',}  其中 ′ {\displaystyle'}  表示一階求導。

若用萊布尼茲記法（英語：Leibniz'snotation）表示導數，則因變數 y {\displaystyley}  關於自變數 x {\displaystylex}  的二階導數記為 d 2 y d x 2 . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}}.}  此種寫法的理由是， d d x {\displaystyle{\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}}  表示對 x {\displaystylex}  求導，從而求導兩次應寫成： d d x ( d y d x ) = d 2 y d x 2 . {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\left({\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\right)\,=\,{\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}}.}  其他記法編輯 如前段所記，二階導數標準的萊布尼茲記法為 d 2 y d x 2 {\textstyle{\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}}}  。

然而，無法視之為純代數符號作運算。

意思是，雖然看似兩個微分相除組成的分數，但是無法拆分、抵銷等。

[註1]不過，可藉另一種記法補救前述問題。

此記法是基於一階導數的商法則。

[3]倘若視 d y d x {\textstyle{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}}  為兩微分之商，則求導時，根據商法則應有： y ″ ( x ) = ( d y d x ) ′ = ( d y ) ′ ⋅ d x − d y ⋅ ( d x ) ′ ( d x ) 2 = d d x ( d y ) ⋅ d x − d y ⋅ d d x d x ( d x ) 2 = d 2 y d x 2 − d y d x d 2 x d x 2 . {\displaystyle{\begin{aligned}y''(x)&=\left({\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}\right)'\\&={\frac{(\mathrm{d}y)'\cdot\mathrm{d}x-\mathrm{d}y\cdot(\mathrm{d}x)'}{(\mathrm{d}x)^{2}}}\\&={\frac{{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}(\mathrm{d}y)\cdot\mathrm{d}x-\mathrm{d}y\cdot{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}}\mathrm{d}x}{(\mathrm{d}x)^{2}}}\\&={\frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}}-{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{\frac{\mathrm{d}^{2}x}{\mathrm{d}x^{2}}}.\end{aligned}}}  上式中， y ″ ( x ) {\displaystyley''(x)}  為二階導數，但 d 2 y d x 2 {\displaystyle{\tfrac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}}}  則不然。

d u {\displaystyle\mathrm{d}u}  表示微分算子施用於 u {\displaystyleu}  的結果，即 d ( u ) {\displaystyle\mathrm{d}(u)}  ，而 d 2 u {\displaystyle\mathrm{d}^{2}u}  表示微分算子疊代兩次的結果，即 d ( d ( u ) ) {\displaystyle\mathrm{d}(\mathrm{d}(u))}  。

最後 d u 2 {\displaystyle\mathrm{d}u^{2}}  是先微分再平方，即 ( d ( u ) ) 2 {\displaystyle(\mathrm{d}(u))^{2}}  。

若採此寫法（並依上段解讀各符號含義），則二階導數各項可以自由操作，與其他代數項作運算。

例如，二階導數的反函數公式，可自上式經一輪代數運算而得。

二階導數的鏈式法則亦然。

不過，運算上的方便，與更換符號的不便，孰輕孰重，仍待定論。

[4] 例編輯 考慮 f ( x ) = x 3 , {\displaystylef(x)=x^{3},}  運用冪法則， f {\displaystylef}  的導數 f ′ {\displaystylef'}  由下式給出： f ′ ( x ) = 3 x 2 . {\displaystylef^{\prime}(x)=3x^{2}.}   f {\displaystylef}  的二階導數即是對導數 f ′ {\displaystylef'}  再次求導的結果，由下式給出： f ′ ′ ( x ) = 6 x . {\displaystylef^{\prime\prime}(x)=6x.}  另一個例子，考慮正弦函數 sin {\displaystyle\sin}  。

有 sin ′ ⁡ ( x ) = cos ⁡ ( x ) , {\displaystyle\sin'(x)=\cos(x),}  而再次求導後，得到 sin ″ ⁡ ( x ) = cos ′ ⁡ ( x ) = − sin ⁡ ( x ) . {\displaystyle\sin''(x)=\cos'(x)=-\sin(x).}  換言之，正弦函數的二階導數是自身的相反數。

與圖像的關係編輯   f ( x ) = sin ⁡ ( 2 x ) {\displaystylef(x)=\sin(2x)}  的圖像，其中 x {\displaystylex}  的取值範圍是由 − π / 4 {\displaystyle-\pi/4}  至 5 π / 4 {\displaystyle5\pi/4}  。

當曲線向上彎時，切線為藍色。

向下彎時則為綠。

於拐點（即 0 ,   π / 2 ,   π {\displaystyle0,\\pi/2,\\pi}  ）處則為紅。

凹向編輯 函數 f {\displaystylef}  的二階導數，描述其圖像凹的方向和程度，即凹性（concavity）。

[2]若二階導數在某區間恆正，則函數在該區間向上凹（向上彎，又稱為凸函數或下凸函數），意即其切線總位於圖像下方「承托」。

反之，若二階導數在某區間恆負，則函數在該區間向下凹（向下彎，又稱為凹函數或上凸函數），其切線總位於圖像的上方「壓制」著。

拐點編輯 主條目：拐點 若函數的二階導數在某點的左右異號，則圖像由向上彎轉變成向下彎，或反之。

此種點稱為拐點（inflectionpoint）。

假設二階導數連續，則在該點處必取零值，故可用「二階導數為零」之條件，篩選出可能的拐點。

不過，二階導數為零的點不一定是拐點，如 f ( x ) = x 4 {\displaystylef(x)=x^{4}}  有 f ″ ( 0 ) = 0 {\displaystylef''(0)=0}  ，但 f {\displaystylef}  在實數系上為凸，無拐點。

二階導數檢驗編輯 主條目：二階導數檢驗（英語：Secondderivativetest） 二階導數與凹凸性的關係，有助判斷函數 f {\displaystylef}  的駐點（即滿足 f ′ ( x ) = 0 {\displaystylef'(x)=0}  的點 x {\displaystylex}  ）是否為局部極大點或極小點。

具體言之： 若 f ′ ′ ( x ) < 0 {\displaystylef^{\prime\prime}(x)<0}  ，則 f {\displaystylef}  於 x {\displaystylex}  點取得局部極大值。

若 f ′ ′ ( x ) > 0 {\displaystylef^{\prime\prime}(x)>0}  ，則 f {\displaystylef}  於 x {\displaystylex}  點取得局部極小值。

若 f ′ ′ ( x ) = 0 {\displaystylef^{\prime\prime}(x)=0}  ，則二階導數檢驗無定論。

該點或許是拐點，也可能是極大或極小點。

直觀理解，考慮一架賽車高速前進，但正在減速（加速度為負），則當速度降至零的一刻，賽車所在位置即為自起點出發，能達到的前方最遠處，因為此後速度降至負值，賽車會倒車。

同樣，若考慮高速後退但加速度為正的賽車，則相應得到關於極小值的結論。

極限編輯 二階導數若存在，則可以衹用一個極限寫出： f ″ ( x ) = lim h → 0 f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 . {\displaystylef''(x)=\lim_{h\to0}{\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}  以上極限稱為二階對稱導數（英語：secondsymmetricderivative）。

[5][6]但是，有時二階對稱導數存在，則函數仍沒有（平常的）二階導數。

右側欲求極限的分式，可理解成差商的差商： f ( x + h ) − 2 f ( x ) + f ( x − h ) h 2 = f ( x + h ) − f ( x ) h − f ( x ) − f ( x − h ) h h . {\displaystyle{\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac{{\frac{f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac{f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}  故其極限可視作序列二階差分的連續版本。

然而，上述極限存在並不推出函數 f {\displaystylef}  二階可導。

該極限僅是二階導數存在時，計算該導數的一種方法，但並非其定義。

反例有符號函數 sgn {\displaystyle\operatorname{sgn}}  ，其定義為： sgn ⁡ ( x ) = { − 1 , 若    x < 0 , 0 , 若    x = 0 , 1 , 若    x > 0. {\displaystyle\operatorname{sgn}(x)={\begin{cases}-1,&{\text{若}}\x<0,\\0,&{\text{若}}\x=0,\\1,&{\text{若}}\x>0.\end{cases}}}  符號函數在原點不連續，從而不可導，尤其並非二階可導。

但是，在 x = 0 {\displaystylex=0}  處，二階對稱導數存在： lim h → 0 sgn ⁡ ( 0 + h ) − 2 sgn ⁡ ( 0 ) + sgn ⁡ ( 0 − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ⁡ ( h ) − 2 ⋅ 0 + sgn ⁡ ( − h ) h 2 = lim h → 0 sgn ⁡ ( h ) + ( − sgn ⁡ ( h ) ) h 2 = lim h → 0 0 h 2 = 0. {\displaystyle{\begin{aligned}\lim_{h\to0}{\frac{\operatorname{sgn}(0+h)-2\operatorname{sgn}(0)+\operatorname{sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim_{h\to0}{\frac{\operatorname{sgn}(h)-2\cdot0+\operatorname{sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim_{h\to0}{\frac{\operatorname{sgn}(h)+(-\operatorname{sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim_{h\to0}{\frac{0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}  二次近似編輯 正如導數與線性近似密切相關，二階導數也與二次近似如影隨形。

某函數 f {\displaystylef}  於某點的二次近似，是一個二次函數，與 f {\displaystylef}  在該點處具有一樣的一、二階導數。

函數 f {\displaystylef}  於 a {\displaystylea}  附近的二次近似可寫成： f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + 1 2 f ″ ( a ) ( x − a ) 2 . {\displaystylef(x)\approxf(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac{1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}  函數的二次近似就是第二階的泰勒多項式。

本徵值與本徵函數編輯 因為求導運算為線性，所以求導兩次亦可視為函數空間上的線性算子，從而可以研究其譜。

換言之，可求微分方程 v ″ = λ v {\displaystylev''=\lambdav}  的函數解 v {\displaystylev}  （本徵向量）與常數 λ {\displaystyle\lambda}  （本徵值）。

對於許多種邊界條件，可以明確求出二階導數的本徵值與本徵向量（英語：eigenvaluesandeigenvectorsofthesecondderivative）。

舉例，以閉區間 [ 0 , L ] {\displaystyle[0,L]}  為定義域，邊界採用齊次狄利克雷條件（即 v ( 0 ) = v ( L ) = 0 {\displaystylev(0)=v(L)=0}  ），則諸本徵值為 λ j = − j 2 π 2 L 2 {\displaystyle\lambda_{j}=-{\tfrac{j^{2}\pi^{2}}{L^{2}}}}  ，對應本徵向量（亦稱本徵函數） v j {\displaystylev_{j}}  由 v j ( x ) = 2 L sin ⁡ ( j π x L ) {\displaystylev_{j}(x)={\sqrt{\tfrac{2}{L}}}\sin\left({\tfrac{j\pix}{L}}\right)}  給出。

此處 v j ″ ( x ) = λ j v j ( x ) {\displaystylev''_{j}(x)=\lambda_{j}v_{j}(x)}  ， j {\displaystylej}  為任意正整數。

其他情況的解，見二階導數的本徵值與本徵向量（英語：eigenvaluesandeigenvectorsofthesecondderivative）。

高維推廣編輯 黑塞方陣編輯 主條目：黑塞矩陣 二階導數的高維推廣，其一是同時考慮全體二階偏導數 ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j {\displaystyle{\tfrac{\partial^{2}f}{\partialx_{i}\partialx_{j}}}}  。

對於三元函數 f : R 3 → R {\displaystylef:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}}  ，二階偏導數包括 ∂ 2 f ∂ x 2 , ∂ 2 f ∂ y 2 , ∂ 2 f ∂ z 2 , {\displaystyle{\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}},\;{\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}},\;{\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}},}  以及混合偏導數 ∂ 2 f ∂ x ∂ y , ∂ 2 f ∂ x ∂ z , ∂ 2 f ∂ y ∂ z . {\displaystyle{\frac{\partial^{2}f}{\partialx\,\partialy}},\;{\frac{\partial^{2}f}{\partialx\,\partialz}},\;{\frac{\partial^{2}f}{\partialy\,\partialz}}.}  還有其他次序的混合偏導數，如 ∂ 2 f ∂ y ∂ x {\displaystyle{\tfrac{\partial^{2}f}{\partialy\,\partialx}}}  ，但由二階導數的對稱性，衹要 f {\displaystylef}  滿足特定條件（如二階偏導數處處連續），則其他次序的混合偏導數等於上述已列出的偏導數。

於是，各方向的二階偏導數可以砌成一個對稱方陣，稱為黑塞方陣（英語：Hessian或Hessianmatrix）。

該方陣的本徵值適用於多變量情況的二階導數檢驗（稱為二階偏導數檢驗（英語：secondpartialderivativetest））。

拉普拉斯算子編輯 主條目：拉普拉斯算子 另一種常見推廣，則是衹考慮對同一個變量的二階導數，再求和，得到拉普拉斯算子（Laplaceoperator或Laplacian）。

拉氏微分算子記作 ∇ 2 {\displaystyle\nabla^{2}}  或 Δ {\displaystyle\Delta}  。

以三維情形為例，定義為 ∇ 2 f = ∂ 2 f ∂ x 2 + ∂ 2 f ∂ y 2 + ∂ 2 f ∂ z 2 . {\displaystyle\nabla^{2}f={\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}}+{\frac{\partial^{2}f}{\partialy^{2}}}+{\frac{\partial^{2}f}{\partialz^{2}}}.}  函數的拉氏算子等於梯度的散度，亦是前述黑塞方陣之跡。

參見編輯 啁啾度——某訊號瞬時相位的二階導數（瞬時頻率的一階導數）。

註編輯 ^相對之下，一階導數的記法可以較好地「當成」分數作代數運算，如鏈式法則中的抵銷。

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