109年大學指考數學甲詳解 - 朱式幸福

109年大學指考數學甲詳解. 109學年度指定科目考試試題. 數學甲. 第壹部分：選擇題 一、單選題. 解：. $$45^\circ < \theta < 50^\circ \Rightarrow ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2020年7月6日星期一 109年大學指考數學甲詳解 109學年度指定科目考試試題 數學甲 第壹部分：選擇題 一、單選題 解： $$45^\circ{\sqrt2\over2}>\cos\theta>0\\\tan\theta>1}\\\cases{a=1-\cos^2\theta=\sin^2\theta>{1\over2}\Rightarrow{1\over2}a\\c={\tan\theta\over\tan^2\theta+1}={1\over2}\sin2\theta=\sin\theta\cos\thetac}\Rightarrowb>a>c，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 2.有A,B兩個箱子，其中A箱有6顆白球與4顆紅球，B箱有8顆白球與2顆藍球。

現 有三種抽獎方式（各箱中每顆球被抽取的機率相同）： （一）先在A箱中抽取一球，若抽中紅球則停止，若抽到白球則再從B箱中抽取一球； （二）先在B箱中抽取一球，若抽中藍球則停止，若抽到白球則再從A箱中抽取一球； （三）同時分別在A,B箱中各抽取一球。

給獎方式為：在紅、藍這兩種色球當中，若只抽到紅球得50元獎金；若只抽到藍球得100元獎金；若兩種色球都抽到，則仍只得100元獎金；若都沒抽到，則無獎金。

將上列（一）、（二）、（三）這3種抽獎方式所得獎金的期望值分別記為\(E_1、E_2、E_3\)，試選出正確的選項。

$$(1)E_1>E_2>E_3\\(2)E_1=E_2>E_3\\(3)E_2=E_3>E_1\\(4)E_1=E_3>E_2\\(5)E_3>E_2>E_1$$ 解： $$\begin{array}{}方式&過程&機率&獎金&期望值\\\hline (一)&A箱抽中紅球&4/10&50&20\\  &A箱抽中白球,B箱抽中白球&{6\over10}\times{8\over10}&0&0\\  &A箱抽中白球,B箱抽中藍球&{6\over10}\times{2\over10}&100&12\\\hdashline (二)&B箱抽中藍球&{2\over10}&100&20\\ &B箱抽中白球,A箱抽中白球&{8\over10}\times{6\over10}&0&0\\ &B箱抽中白球,A箱抽中紅球&{8\over10}\times{4\over10}&50&16\\\hdashline (三)&A箱抽中白球,B箱抽中白球&{6\over10}\times{8\over10}&0&0\\ &A箱抽中白球,B箱抽中藍球&{6\over10}\times{2\over10}&100&12\\ &A箱抽中紅球,B箱抽中白球&{4\over10}\times{8\over10}&50&16\\ &A箱抽中紅球,B箱抽中藍球&{4\over10}\times{2\over10}&100&8\\\hline \end{array}\\\Rightarrow\cases{E_1=20+12=32\\E_2=20+16=36\\E_3=12+16+8=36}\RightarrowE_2=E_3>E_1，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解： $$1000\times2.4^{x\over3.5}=4\times10^{10}\Rightarrow\log\left(1000\times2.4^{x\over3.5} \right)=\log \left(4\times10^{10}\right)\Rightarrow3+{x\over3.5}\log2.4=10+2\log2\\\Rightarrowx={3.5\times(7+2\log2)\over\log2.4}={3.5\times(7+2\log2)\over\log3+3\log2-1}={3.5\times(7+2\times0.301)\over0.4771+3\times0.301-1}={3.5\times7.602\over0.3801}\\=3.5\times20=70，故選\bbox[red,2pt]{(2)} $$ 二、多重選擇題 解： $$(1)\times:\cases{A=(1,0)\\B=(-1,0)}\Rightarrow\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(1,0)+(-1,0)=(0,0)=\vecO\\(2)\times:\cases{A=(-3,0)\\B=(1,0)}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{OC_1}=(-2,0)\\\overrightarrow{OC_2}=(-1,0)\\\overrightarrow{OC_3}=(0,0)}\Rightarrow\overline{OC_1}>\overline{OC_2}>\overline{OC_3}\\(3)\times:同(2)\cases{\overrightarrow{OA}=(-3,0)\\\overrightarrow{OC_1}=(-2,0)\\\overrightarrow{OC_2}=(-1,0)\\\overrightarrow{OC_3}=(0,0)}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_1}=6\\\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_2}=3\\\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_3}=0}\Rightarrow\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_1}>\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_2}>\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OC_3}\\(4)\bigcirc:\cases{\overrightarrow{OC_1}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\\\overrightarrow{OC_2}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}\\\overrightarrow{OC_3}=\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{OC_1}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+|\overrightarrow{OB}|^2\\\overrightarrow{OC_2}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+2|\overrightarrow{OB}|^2\\\overrightarrow{OC_3}\cdot\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}+3|\overrightarrow{OB}|^2}\\\qquad\Rightarrow\overrightarrow{OC_1}\cdot\overrightarrow{OB}0,\;f(x)\gex\RightarrowF(x)=\begin{cases}{1\over2}x^2&0\lex\le1\\{1\over3}x^3&10)$$ 解： $$三點\cases{A(1,1)\\B(x,y)\\P(4,2)}共圓，且\cases{\overline{AB}為直徑\\\overline{BP}=3\sqrt{10}}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB}=(-3,-1)\cdot(x-4,y-2)=0\\(x-4)^2+(y-2)^2=90\cdots(1)}\\\Rightarrow-3x+12-y+2=0\Rightarrowy=14-3x代入(1)\Rightarrow(x-4)^2+(3x-12)^2=90\\\Rightarrowx^2-8x+7=0\Rightarrow(x-7)(x-1)=0\Rightarrowx=\cases{1\\7}\Rightarrowy=\cases{11\\-7}\\\Rightarrow\bbox[red,2pt]{B(7,-7)}(B(1,11)不合，違反B在第4象限)$$ 解： $$\cases{O(0,0,0)\\觀景台P(0,0,150)\\A(m,n,0)\\B(p,q,0)\\C({m+p\over2},{n+q\over2})}\Rightarrow\cases{\overrightarrow{PO}=(0,0.-150)\\\overrightarrow{PA}=(m,n,-150)\\\overrightarrow{PB}=(p,q,-150)\\\overrightarrow{PC}=({m+p\over2},{n+q\over2},-150)\\}\Rightarrow\cases{\cos(90^\circ-30^\circ)={\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PO}\over|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PO}|}\\\cos(90^\circ-60^\circ)={\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PO}\over|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{PO}|}\\\cos(90^\circ-45^\circ)={\overrightarrow{PC}\cdot\overrightarrow{PO}\over|\overrightarrow{PC}||\overrightarrow{PO}|}}\\\Rightarrow\cases{\cos60^\circ={(m,n,-150)\cdot(0,0,-150)\over\sqrt{m^2+n^2+150^2}\times150}={1\over2}\\\cos30^\circ={(p,q,-150)\cdot(0,0,-150)\over\sqrt{p^2+q^2+150^2}\times150}={\sqrt3\over2}\\\cos45^\circ={((m+p)/2,(n+q)/2,-150)\cdot(0,0,-150)\over\sqrt{{(m+p)^2\over4}+{(n+q)^2\over4}+150^2}\times150}={\sqrt2\over2}}\Rightarrow\cases{m^2+n^2= 67500\\p^2+q^2=7500\\(m+p)^2+(n+q)^2=90000}\\\Rightarrow2mp+2nq=90000-67500-7500=15000\Rightarrowmp+nq=7500\\\triangleOAB面積={1\over2}\sqrt{|\overrightarrow{OA}|^2|\overrightarrow{OB}|^2-(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB})^2}={1\over2}\sqrt{(m^2+n^2)(p^2+q^2)-(mp+nq)^2}\\={1\over2}\sqrt{67500\times7500-7500^2}={1\over2}\sqrt{45\times10^7}={1000\over2}\sqrt{450}=500\sqrt{15^2\times2}=\bbox[red,2pt]{7500\sqrt2}$$ 解： (1)$$y=ax+b過C(3,2)與D(4,0)\Rightarrow\cases{2=3a+b\\0=4a+b}\Rightarrow\bbox[red,2pt]{\cases{a=-2\\b=8}}$$(2)$$由題意知:y=f(x)經過A(0,0)及D(4,0)，即\cases{f(0)=0\\f(4)=0}，因此x=0,4為f(x)=0的解；\\又f(x)為三次式，所以f(x)=x(x-4)(px+q)\Rightarrowf(x)可被x(x-4)=x^2-4x所整除。

$$(3)$$同(1)可求得過A(0,0)及B(1,4)的切線方程式y=4x，因此兩切線方程式為\cases{L_1:y=4x\\L_2:y=-2x+8}\\\Rightarrow\cases{斜率m_1=4\\斜率m_2=-2}\Rightarrow\cases{f'(0)=4\\f'(4)=-2}；\\由(2)知f(x)=x(x-4)(px+q)=px^3+(q-4p)x^2-4qx\Rightarrowf'(x)=3px^2+2(q-4p)x-4q\\\Rightarrowf'(0)=-4q=4\Rightarrowq=-1\Rightarrowf'(x)=3px^2+2(-1-4p)x+4\\\Rightarrowf'(4)=48p+8(-1-4p)+4=-2\Rightarrowp=1/8\Rightarrow\bbox[red,2pt]{f(x)={1\over8}x^3-{3\over2}x^2+4x}$$(4)$$f(x)=x(x-4)({1\over8}x-1)={1\over8}x^3-{3\over2}x^2+4x\Rightarrow\int_2^6|8f(x)|dx=8\left(\left|\int_2^4f(x)dx\right|+\left|\int_4^6f(x)dx\right|\right)\\=8\left(\left|\left.\left[{1\over32}x^4-{1\over2}x^3+2x^2\right]\right|_2^4\right|+\left|\left.\left[{1\over32}x^4-{1\over2}x^3+2x^2\right]\right|_4^6\right|\right)=8\left(|8-{9\over2}|+|{9\over2}-8|\right)\\=8\times7=\bbox[red,2pt]{56}$$ 解： (1)$$\cases{C(0,1,0)\\G(0,1,1)}\RightarrowP=(C+G)/2=\bbox[red,2pt]{(0,1,{1\over2})}$$(2)$$\overline{BQ}=t\RightarrowQ(1,1,t)\Rightarrow\overrightarrow{QP}=(-1,0,{1\over2}-t);\\由於AQPR為平行四邊形\Rightarrow\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{QP}=\bbox[red,2pt]{(-1,0,{1\over2}-t)}$$(3)$$四角錐體積={1\over3}|(\overrightarrow{AR}\times\overrightarrow{AQ})\cdot\overrightarrow{PG}|={1\over3}|((-1,0,{1\over2}-t)\times(0,1,t))\cdot(0,0,{1\over2})|\\={1\over3}|(t-{1\over2},t,-1)\cdot(0,0,{1\over2})|={1\over3}\cdot{1\over2}=\bbox[red,2pt]{1\over6}為一定值，與t無關$$(4)$$由(3)知:\text{dist}(G,E)=\left|{2t-1\over\sqrt{2t^2+1}}\right|={|-{1\over2}|\over\sqrt{{1\over8}+1}}={1/2\over\sqrt{9/8}}={1/2\over3/2\sqrt2}=\bbox[red,2pt]{\sqrt2\over3}$$ --END  (僅供參考) -- 張貼者： C.-H.Chu 於 晚上10:12 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 指考, 高中數學 8則留言: 匿名2020年7月25日晚上10:58老師有沒有考慮提供，109數甲補考的詳解謝謝回覆刪除回覆C.-H.Chu2020年7月28日凌晨12:11已經貼上了!刪除回覆回覆回覆AnLei16272021年3月8日下午4:16請問第五題的解法中(4)使用了L'Hopitalrule，但同樣的方法在(5)中使用會適用嗎?回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年3月8日晚上7:19因為(4)分子分母都趨近於0,適用羅必達，而(5)並沒有分子分母都為0或無窮大的情形，不適用羅必達!!刪除回覆回覆回覆Unknown2021年5月4日上午11:41您好非選題的第二大題的第(2)、(3)詳解有誤回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年5月4日下午5:48謝謝提醒，已修訂完畢刪除回覆回覆回覆Unknown2021年7月28日晚上10:19請問非選第二大題的(3)為何是dotPQ向量?回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年7月28日晚上11:05應該是PG,打錯字了,謝謝提醒!!刪除回覆回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (67) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (11) 身障升四技 (21) 指考 (44) 研討會 (45) 海外遊 (30) 特招 (27) 高中數學 (244) 高普考 (110) 高職數學 (166) 國小數學 (2) 國中數學 (101) 國內遊 (54) 基測 (25) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (41) 統測 (80) 微分方程 (7) 微積分 (35) 會考 (14) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (19) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (39) 學測 (13) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (27) DIY (56) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (4) matlab (17) octave (24) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 106年大學學測數學科詳解 107年大學學測數學科詳解 109年大學學測數學科詳解 105年大學學測數學科詳解 109年國中教育會考數學詳解 網誌存檔 ►  2021 (129) ►  十二月 (12) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ►  一月 (9) ▼  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (10) ▼  七月 (16) 109年高雄聯合轉學考-高一升高二數學詳解 109年高考三級-應用數學詳解 109年高雄聯合轉學考-升高三數學詳解 109年大學指考(補考)數學甲詳解 109年大學指考(補考)數學乙詳解 109年普考-微積分詳解 109年高考三級-工程數學詳解 109年臺北市聯合轉學考-普通型高中(升高二)數學詳解 109年臺北市聯合轉學考-技術型高中(升高二)數學詳解 109年臺北市國中教甄聯招-數學科(一般)詳解 109年新北市立高中教甄聯招-數學科詳解 109年新北國中教甄聯招-數學科詳解 109年全國高中職教甄聯招-數學科詳解 109年大學指考數學甲詳解 109年大學指考數學乙詳解 使用GPXEditor編修GPX檔 ►  六月 (20) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (14) ►  一月 (8) ►  2019 (121) ►  十二月 (17) ►  十一月 (7) ►  十月 (4) ►  九月 (27) ►  八月 (14) ►  七月 (12) ►  六月 (7) ►  五月 (7) ►  四月 (5) ►  三月 (6) ►  二月 (9) ►  一月 (6) ►  2018 (123) ►  十二月 (16) ►  十一月 (12) ►  十月 (9) ►  九月 (10) ►  八月 (14) ►  七月 (9) ►  六月 (10) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (10) ►  一月 (6) ►  2017 (49) ►  十二月 (7) ►  十一月 (10) ►  十月 (5) ►  九月 (7) ►  八月 (2) ►  七月 (4) ►  六月 (2) ►  五月 (6) ►  四月 (1) ►  三月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (2) ►  2016 (89) ►  十二月 (1) ►  十一月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (31) ►  五月 (26) ►  四月 (5) ►  三月 (4) ►  二月 (9) ►  一月 (3) ►  2015 (29) ►  十二月 (2) ►  十一月 (3) ►  九月 (3) ►  八月 (4) ►  七月 (4) ►  五月 (1) ►  四月 (1) ►  三月 (4) ►  二月 (5) ►  一月 (2) ►  2014 (65) ►  十二月 (6) ►  十一月 (5) ►  十月 (4) ►  九月 (1) ►  八月 (4) ►  七月 (6) ►  六月 (9) ►  五月 (7) ►  四月 (1) ►  三月 (9) ►  二月 (8) ►  一月 (5) ►  2013 (83) ►  十二月 (4) ►  十一月 (7) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (8) ►  七月 (8) ►  六月 (6) ►  五月 (6) ►  四月 (9) ►  三月 (5) ►  二月 (9) ►  一月 (8) ►  2012 (60) ►  十二月 (10) ►  十一月 (10) ►  十月 (18) ►  九月 (15) ►  八月 (1) ►  七月 (1) ►  六月 (3) ►  五月 (1) ►  一月 (1) ►  2011 (2) ►  七月 (1) ►  一月 (1) 總網頁瀏覽量 關於我自己 C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline