110年大學學測-數學詳解 - 朱式幸福

110年大學學測-數學詳解. 110 學年度學科能力測驗試題. 一、單選題. 解：$$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \Rightarrow ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2021年1月25日星期一 110年大學學測-數學詳解 110學年度學科能力測驗試題 一、單選題 解：$$A=\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}\RightarrowA^2=\begin{bmatrix}1&8\\0&9\end{bmatrix}\RightarrowA^4=A^2A^2=\begin{bmatrix}1&80\\0&81\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\\\Rightarrow a+b+c+d=1+80+0+81=162，故選\bbox[red,2pt]{(2)}$$ 解：$$a_1=\log36=2\log6\Rightarrow\cases{a_2=2a_1=4\log6\\a_2={1\over2}a_1=\log6<1(不合)}\Rightarrowa_2=4\log6\Rightarrow\cases{a_3=2a_2=8\log6\\a_3={1\over2}a_2=2\log6}\\\Rightarrow\cases{a_4=2a_3=16\log6,4\log6\\a_4={1\over2}a_3=4\log6(\log6<1,不合)}\Rightarrow\cases{a_5=2a_4=32\log6,8\log6\\a_5={1\over2}a_4=8\log6,2\log6}\\\Rightarrowa_5=2\log6,8\log6,32\log6，有三種可能的值，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解：$$假設O為圓心，則\angleOCP=\angleOBP=90^\circ\Rightarrow\angleBOC=180^\circ-\theta\Rightarrow\angleA={1\over2}\angleBOC=90^\circ-{1\over2}\theta\\\Rightarrow\cosA=\cos(90^\circ-{1\over2}\theta)=\sin{1\over2}\theta，故選\bbox[red,2pt]{(3)}$$ 解：$$\cases{\veca=(m,n)\\\vecb=(s,t)}\Rightarrow\cases{2\veca+\vecb=(2m+s,2n+t)\\\veca+2\vecb=(m+2s,n+2t)\\3\veca+\vecb=(3m+s,3n+t)\\\veca+3\vecb=(m+3s,n+3t)}\Rightarrow由題意知{1\over2}\begin{Vmatrix}2m+s&2n+t\\m+2s&n+2t\end{Vmatrix}=6\\\Rightarrow|mt-ns|=4，再計算{1\over2}\begin{Vmatrix}3m+s&3n+t\\m+3s&n+3t\end{Vmatrix}=4|mt-ns|=4\times4=16，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 解：$$(x+1)f(x)=(x^3+2)(ax+b)+x+2\Rightarrow\cases{(-1+1)f(-1)=(-1+2)(-a+b)-1+2\\(0+1)f(0)=(0+2)(0+b)+0+2}\\\Rightarrow\cases{a-b=1\\4=2b+2}\Rightarrow\cases{a=2\\b=1}\Rightarrow(x+1)f(x)=(x^3+2)(2x+1)+x+2\\\Rightarrow(2+1)f(2)=10\cdot5+4\Rightarrowf(2)=18，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$  解：$$\cases{A(3,0)\\D(-3,0)}\Rightarrow\cases{B({3\over2},{3\sqrt3\over2})\\C(-{3\over2},{3\sqrt3\over2})\\E(-{3\over2},-{3\sqrt3\over2})\\F({3\over2},-{3\sqrt3\over2})};又{x^2\over4^2}+{y^2\over(\sqrt7)^2}=1\Rightarrow橢圓四頂點\cases{P(4,0)\\Q(0,\sqrt7)\\R(-4,0)\\S(0,-\sqrt7)}\\由於\cases{u=\text{dist}(O,\overline{BC})={3\sqrt3\over2}\Rightarrowu^2={27\over4}=6.75\overline{OA}}\\因此兩圖形有8個交點，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$二、多選題 解：$$(1)\times:有0.4的機率被看成8\\(2)\bigcirc:1-0.4=0.6\\(3)\bigcirc:\cases{6被誤看的機率:1-0.4=0.6\\8被誤看的機率:1-0.4=0.6\\9被誤看的機率:1-0.5=0.5}\Rightarrow9被誤看的機率最低\\(4)\bigcirc:{0.4\over0.4+0.3+0.2}={4\over9}<0.5\\(5)\times:{0.5\over0.2+0.1+0.5}={5\over8}=0.6251/2\end{cases}\\(3)\bigcirc:x>y\Rightarrow{x\overy}>1>{1\over2}\Rightarrow乙\gt甲\\(4)\bigcirc:0.4x>0.55y\Rightarrow{x\overy}>{55\over40}>{1\over2}\Rightarrow乙當選\\(5)\times:0.45y>0.6x\Rightarrow{x\overy}0\\(1)\bigcirc:k=\cosA={4^2+6^2-a^2\over2\cdot4\cdot6}\Rightarrowa^2=52-48k\Rightarrowa=\sqrt{52-48k},可求得唯一a值\\(2)\bigcirc:理由同(1)\\(3)\times:見上圖，\triangleABC與\triangleAB'C有相同的\angleC，及邊長4與6，但\overline{BC}\ne\overline{B'C}，無法決定唯一的\overline{BC}\\(4)\times:已知\triangleABC={1\over2}\cdot4\cdot6\cdot\sinA\Rightarrow\sinA為已知\Rightarrow\angleA也可能是(180^\circ-\angleA)，2種可能\\(5)\times:{a\over\sinA}=2R\Rightarrow\sinA為已知，理由同(4)，\angleA可能有2種可能\\故選\bbox[red,2pt]{(1,2)}$$ 解：$$在\overline{CD}上找一點E，使得\overline{AE}=\overline{BC}，則ABCE為一平行四邊形，見上圖；\\(1)\bigcirc:\triangleADE中，\overline{AD}\gt\overline{AE}\Rightarrow\angleAED\gt\angleD(大角對大邊)\Rightarrow\angleAED+\angleDAE\gt\angleD+\angleDAE\\\qquad\Rightarrow  \angleBAE+\angleDAE\gt \angleAEC\Rightarrow\angleA>\angleB\\(2)\bigcirc:\angleB+\angleD=\angleAEC+\angleD=180^\circ-\angleAED+\angleD<180^\circ(\because\angleAED>\angleD)\\(3)\times:\angleB不一定是鈍角\\(4)\times:k=2\Rightarrow\triangleADE三邊長分別為2,3,5，不符合2邊和大於第3邊\\(5)\bigcirc:\cos\angleC=\cos\angleAED={25+k^2-(k+1)^2\over10k}={12-k\over5k}  \Rightarrow\overrightarrow{CB}\cdot\overrightarrow{CD}=15k\cos\angleC\\\qquad=15k\times{12-k\over5k}=36-3k\\\qquad若36-3k<30則k\gt2；由於(k+1)+k>5\Rightarrowk>2符合要求。

\\故選\bbox[red,2pt]{(125)}$$ 解：$$7顆球任排:{7!\over2!2!3!}=210\\A:\{黑球相鄰\}\Rightarrow\#(A)={6!\over2!3!}=60 \\C:\{任2紅球不相鄰\}\Rightarrow\#(C)=全部-有2紅球相鄰+3紅球相鄰=210-{6!\over2!2!}+{5!\over2!2!}\\\qquad=210-180+30=60\\A\capC:\{黑球相鄰且任2紅球不相鄰\}\Rightarrow\#(A\capC)={6!\over2!3!}-{5!\over2!}+{4!\over2!}=60-60+12=12\\B\capC:\{黑球不相鄰且任2紅球不相鄰\}=\#(C)-\#(A\capC)=60-12=48\\(1)\times:\cases{P(A)=60/210\\P(B)=1-P(A)=150/210}\RightarrowP(B)\gtP(A)\\(2)\bigcirc:P(C)=60/210=2/7\\(3)\times:2P(C|A)+5P(C|B)=2{P(A\capC)\overP(A)}+5{P(B\capC)\overP(B)}=2{12\over60}+5{48\over150}=2\not\lt2\\(4)\times:P(C|A)={P(A\capC)\overP(A)}={12\over60}={1\over5}=0.2\not\gt0.2\\(5)\bigcirc:P(B|C)={P(B\capC)\overP(B)}={48\over150}={32\over100}=0.32\gt0.3\\故選\bbox[red,2pt]{(2,5)}$$ 解：$$(1)\times:x^3+ax^2+bx+c=x^2+100\Rightarrowx^3+(a-1)x^2+bx+c-100=0，三次式一定有實數解，即一定有交點\\(2)\bigcirc:f(0)f(1)\lt0\ltf(0)f(2)\Rightarrowf(0)f(1)f(0)f(2)<0\Rightarrow\cases{f(0)f(1)\lt0\\f^2(0)f(1)f(2)<0\Rightarrowf(1)f(2)<0}\\\qquad\Rightarrow\cases{有1根介於0與1之間\\有1根介於1與2之間},又f(x)為3次式，因此有3相異實根\\(3)\bigcirc:x=1+3i\Rightarrowx^2-2x+10=0\Rightarrowf(x)=(x^2-2x+10)(x-k)，由於f(x)係數皆為有理數，因此k為有理數\\(4)\times:\cases{f(1)=a+b+c+1\\f(2)=4a+2b+c+8\\f(3)=9a+3b+c+27\\f(4)=16a+4b+c+64}\Rightarrow\cases{f(2)-f(1)=3a+b+7\cdots(1)\\f(3)-f(2)=5a+b+19\cdots(2)\\f(4)-f(3)=7a+b+37\cdots(3)}\\\qquad\Rightarrow\cases{(1)=(2)\Rightarrow2a+12=0\Rightarrowa=-6\\(2)=(3)\Rightarrow2a+18=0\Rightarrowa=-9}矛盾\\(5)\bigcirc:{f(2)\overf(1)}={f(3)\overf(2)}={f(4)\overf(3)}=r\Rightarrow\cases{f(2)=rf(1)\\f(3)=rf(2)\\f(4)=rf(3)}\Rightarrow\cases{(4-r)a+(2-r)b+(1-r)c=r-8\\(9-4r)a+(3-2r)b+(1-r)c=8r-27\\(16-9r)a+(4-3r)b+(1-r)c=27r-64}\\\qquad可利用克拉瑪公式可求得a,b,c，由於各係數皆為有理數，其行列式亦為有理數\\\qquad例:取r=2\Rightarrowf(x)=x^3-3x^2+8x\Rightarrow\cases{f(1)=6\\f(2)=12\\f(3)=24\\f(4)=48}\Rightarrowf(1),f(2),f(3),f(4)為等比數列\\故選\bbox[red,2pt]{(2,3,5)}$$第貳部份、選填題 解：每週期移動\(4\times6=24\)單位，由於\(116=24\times4+20\)；也就是歷經4週期(\(8\times4=32\)秒)再加\(20\div4=5\)秒，即\(32+5=\bbox[red,2pt]{37}\)秒。

解：$$\cases{L_1:(2s,-3s,-5s)\\L_2:(1,1+2t,1+3t)}\Rightarrow\cases{L_1的方向向量\vecu=(2,-3,-5)\\L_2的方向向量\vecv=(0,2,3)} \RightarrowE的法向量\vecn=\vecu\times\vecv=(1,-6,4)\\E過L_1上的P(0,0,0)\Rightarrow \bbox[red,2pt]{x-6y+4z=0}$$ 解：$$\cases{4^2=16=1\times2\times8\\6^2=36=1\times4\times9=2\times3\times6\\8^2=64=2\times4\times8\\12^2=144=2\times8\times9=3\times6\times8}，共6組，機率為{6\overC^{9}_3}={6\over84}=\bbox[red,2pt]{1\over14}$$ 解：解：$$\cases{y=a\cdot2^{x}經過(-1,3)\Rightarrow3=a\cdot2^{-1}\Rightarrowa=6\\y=a\cdot2^{x}經過(-1,-1)\Rightarrow-1=a\cdot2^{-1}\Rightarrowa=-2}\Rightarrow\bbox[red,2pt]{-2\lea\le6}$$ 解：$$\log(\sqrt[3]{49})^{100}=100\log\sqrt[3]{49}={100\over3}\log49={200\over3}\log7={200\over3}\times0.8451=56.34\Rightarrown=56\\又\log2=0.301\lt0.34\lt 0.4771=\log3\Rightarrowm=2\\因此(m,n)=\bbox[red,2pt]{(2,56)}$$ 解：$$面積=1個正方形+4個等腰直角\triangle=(2+\sqrt2)^2+4\times({1\over2}\times1\times1)=\bbox[red,2pt]{8+4\sqrt2}$$ 解：$$\cos\angleBAC={\overline{AB}^2+\overline{AC}^2-\overline{BC}^2\over2\cdot\overline{AB}\cdot\overline{AC}}\Rightarrow{1\over3}={96+96 -\overline{BC}^2\over2\cdot96} \Rightarrow\overline{BC}=8\sqrt2\\令O為\overline{BC}中點\Rightarrow\overline{AC}^2=\overline{AO}^2+\overline{CO}^2\Rightarrow96=\overline{AO}^2+(4\sqrt2)^2\Rightarrow\overline{AO}=8\\\triangleDBC為等腰\triangle\Rightarrow\overline{CD}^2=\overline{DO}^2+\overline{CO}^2\Rightarrow8^2=\overline{DO}^2+(4\sqrt2)^2\Rightarrow\overline{DO}=4\sqrt2\\令\cases{O(0,0,0)\\B(-4\sqrt2,0,0)\\C(4\sqrt2,0,0)\\A(0,8,0)\\D(0,a,b)}，由\cases{\overline{DO}=4\sqrt2\\\overline{DA}=4\sqrt6}\Rightarrow\cases{a^2+b^2=32\\(a-8)^2+b^2=96}\Rightarrow\cases{a=0\\b=\pm4\sqrt2}\\\RightarrowD至\triangleABC距離=\overline{OD}=|b|=\bbox[red,2pt]{4\sqrt2}$$----------- 解題僅供參考，其他歷屆試題及詳解 張貼者： C.-H.Chu 於 中午12:30 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 學測 2則留言: Unknown2021年8月25日晚上10:55最後一句好像筆誤了....應該是D到三角形ABC才對回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年8月26日上午8:41的確有誤,已修訂，謝謝!刪除回覆回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (67) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (11) 身障升四技 (21) 指考 (44) 研討會 (45) 海外遊 (30) 特招 (27) 高中數學 (244) 高普考 (110) 高職數學 (166) 國小數學 (2) 國中數學 (101) 國內遊 (54) 基測 (25) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (41) 統測 (80) 微分方程 (7) 微積分 (35) 會考 (14) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (18) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (39) 學測 (13) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (27) DIY (56) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (4) matlab (17) octave (24) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 106年大學學測數學科詳解 107年大學學測數學科詳解 109年大學學測數學科詳解 105年大學學測數學科詳解 109年國中教育會考數學詳解 網誌存檔 ▼  2021 (129) ►  十二月 (12) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ▼  一月 (9) 110年大學學測-數學詳解 109年竹科實中教甄數學詳解 107年台中女中教甄-數學詳解 nC4=(n-1)C3+(n-2)C3+....+3C3 106年臺北市麗山高中教師甄選-數學詳解 110年初等考試-統計學大意詳解 106年南二中教甄-數學詳解 106年新竹高商教甄-數學詳解 106年中壢高中教甄-數學詳解 ►  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (10) ►  七月 (16) ►  六月 (20) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (14) ►  一月 (8) ►  2019 (121) ►  十二月 (17) ►  十一月 (7) ►  十月 (4) ►  九月 (27) ►  八月 (14) ►  七月 (12) ►  六月 (7) ►  五月 (7) ►  四月 (5) ►  三月 (6) ►  二月 (9) ►  一月 (6) ►  2018 (123) ►  十二月 (16) ►  十一月 (12) ►  十月 (9) ►  九月 (10) ►  八月 (14) ►  七月 (9) ►  六月 (10) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (10) ►  一月 (6) ►  2017 (49) ►  十二月 (7) ►  十一月 (10) ►  十月 (5) ►  九月 (7) ►  八月 (2) ►  七月 (4) ►  六月 (2) ►  五月 (6) ►  四月 (1) ►  三月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (2) ►  2016 (89) ►  十二月 (1) ►  十一月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (31) ►  五月 (26) ►  四月 (5) ►  三月 (4) ►  二月 (9) ►  一月 (3) ►  2015 (29) ►  十二月 (2) ►  十一月 (3) ►  九月 (3) ►  八月 (4) ►  七月 (4) ►  五月 (1) ►  四月 (1) ►  三月 (4) ►  二月 (5) ►  一月 (2) ►  2014 (65) ►  十二月 (6) ►  十一月 (5) ►  十月 (4) ►  九月 (1) ►  八月 (4) ►  七月 (6) ►  六月 (9) ►  五月 (7) ►  四月 (1) ►  三月 (9) ►  二月 (8) ►  一月 (5) ►  2013 (83) ►  十二月 (4) ►  十一月 (7) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (8) ►  七月 (8) ►  六月 (6) ►  五月 (6) ►  四月 (9) ►  三月 (5) ►  二月 (9) ►  一月 (8) ►  2012 (60) ►  十二月 (10) ►  十一月 (10) ►  十月 (18) ►  九月 (15) ►  八月 (1) ►  七月 (1) ►  六月 (3) ►  五月 (1) ►  一月 (1) ►  2011 (2) ►  七月 (1) ►  一月 (1) 總網頁瀏覽量 關於我自己 C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline