九十二學年度數學學科能力測驗 - 艾利歐領域

大學入學考試中心九十二學年度學科能力測驗試題. 數學考科. －作答注意事項－ ... 標籤： 2003年, 大學學科能力測驗, 升學測驗, 詳解, 數學科, 學測 ... 主頁 關於我 考古題詳解 贊助本站 2018年7月7日星期六 九十二學年度數學學科能力測驗 大學入學考試中心九十二學年度學科能力測驗試題數學考科－作答注意事項－考試時間：$100$分鐘題型題數：單一選擇題$5$題，多重選擇題$6$題，填充題第$A$至$I$題共$9$題作答方式：用2B鉛筆在「答案卡」上作答，修正時應以橡皮擦拭，切勿使用修正液答錯不倒扣作答說明：在答案卡適當位置選出數值或符號。

請仔細閱讀下面的例子。

填答選擇題時，只用$1$，$2$，$3$，$4$，$5$等五個格子，而不需要用到$-$，$±$，以及$6$，$7$，$8$，$9$，$0$等格子。

例：若第$1$題的選項為(1)$3$(2)$5$(3)$7$(4)$9$(5)$11$，而正確的答案為$7$，亦即選項(3)時，考生要在答案卡第$1$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記（注意不是$7$）如：$\begin{array}{|c|}\hline解答欄\\\hline1~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}~\end{array}$例：若多重選擇題第$10$題的正確選項為(1)與(3)時，考生要在答案卡的第$10$列的$\underset{\boxed{~~}}{1}$與$\underset{\boxed{~~}}{3}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}10~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\color{black}{▆▆}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline\end{array}$填充題的題號是A，B，C，……，而答案的格式每題可能不同，考生必須依各題的格式填答，且每一個列號只能在一個格子劃記。

例：若第B題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑱}{⑲}}$，而依題意計算出來的答案是$\displaystyle\frac{3}{8}$，則考生必須分別在答案卡上的第$18$列的$\underset{\boxed{~~}}{3}$與第$19$列的$\underset{\boxed{~~}}{8}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}18~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\color{black}{▆▆}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\19~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\color{black}{▆▆}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$例：若第C題的答案格式是$\displaystyle\underline{\frac{⑳㉑}{50}}$，而答案是$\displaystyle\frac{-7}{50}$時，則考生必須分別在答案卡的第$20$列的$\underset{\boxed{~~}}{-}$與第$21$列的$\underset{\boxed{~~}}{7}$劃記，如：$\begin{array}{|c|}20~~\underset{\color{black}{▆▆}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\boxed{~~}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\\\hline21~~\underset{\boxed{~~}}{-}~\underset{\boxed{~~}}{±}~\underset{\boxed{~~}}{1}~\underset{\boxed{~~}}{2}~\underset{\boxed{~~}}{3}~\underset{\boxed{~~}}{4}~\underset{\boxed{~~}}{5}~\underset{\boxed{~~}}{6}~\underset{\color{black}{▆▆}}{7}~\underset{\boxed{~~}}{8}~\underset{\boxed{~~}}{9}~\underset{\boxed{~~}}{0}\end{array}$※試題後附有參考公式及可能用到的對數值與參考數值第一部分：選擇題單一選擇題說明：第$1$至$5$題，每題選出最適當的一個選項，標示在答案卡之「解答欄」，每題答對得$5$分，答錯不倒扣。

試問有多少個正整數$n$使得$\displaystyle\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\cdots+\frac{10}{n}$為整數？$1$個$2$個$3$個$4$個$5$個訣竅運用因數的觀念求解。

解法將該式進行計算可得$\displaystyle\frac{1+2+\cdots+10}{n}=\frac{55}{n}$由於該數為整數，此表明$n$為$55$的因數，故$n$可能為$1,5,11,55$，計有四種可能，應選(4)。

若$f\left(x\right)=x^3-2x^2-x+5$，則多項式$g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)$除以$\left(x-2\right)$所得的餘式為$3$$5$$7$$9$$11$訣竅運用餘式定理即可。

解法運用餘式定理可知$g$除以$x-2$的餘式為$g\left(2\right)=f\left(f\left(2\right)\right)=f\left(3\right)=11$應選(5)。

若$\left(4+3i\right)\left(\cos\theta+i\sin\theta\right)$為小於$0$的實數，則$\theta$是第幾象限角？第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角條件不足，無法判斷訣竅運用極式的運算性質判斷。

解法首先可以將$4+3i$表為$5\left(\cos\psi+i\sin\psi\right)$，其中$\psi$滿足$\displaystyle\cos\psi=\frac{4}{5}$、$\displaystyle\sin\psi=\frac{3}{5}$。

從而運算式可得為$5\left[\cos\left(\psi+\phi\right)+i\sin\left(\psi+\phi\right)\right]$由於該數為負實數，此表明$\psi+\phi=\left(2n+1\right)\pi$，其中$n$為整數。

故有$\psi=\left(2n+1\right)\pi-\phi$。

又知$\phi$為銳角，從而$\psi$落於第二象限中，應選(2)。

設$ABC$為坐標平面上一三角形，$P$為平面上一點且$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AP}=\frac{1}{5}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{2}{5}\overset{\rightharpoonup}{AC}$，則$\displaystyle\frac{\DeltaABP\text{面積}}{\DeltaABC\text{面積}}$等於$\displaystyle\frac{1}{5}$$\displaystyle\frac{1}{4}$$\displaystyle\frac{2}{5}$$\displaystyle\frac{1}{2}$$\displaystyle\frac{2}{3}$訣竅運用分點公式和同底等高的觀念獲得面積比。

解法將向量$\overset{\rightharpoonup}{AP}$延長$\displaystyle\frac{5}{3}$倍可得$\displaystyle\overset{\rightharpoonup}{AD}=\frac{1}{3}\overset{\rightharpoonup}{AB}+\frac{2}{3}\overset{\rightharpoonup}{AC}$從而由分點公式可知$D$落於$\overline{BC}$且滿足$\overline{BD}:\overline{DC}=2:1$，因此由同底等高之思想可知$\DeltaABD$的面積為$\DeltaABC$的$\displaystyle\frac{2}{3}$倍。

又由$\overline{AP}:\overline{AD}=3:5$，從而有$\DeltaABP$的面積又為$\DeltaABD$的$\displaystyle\frac{3}{5}$倍。

綜合可知$\DeltaABP$的面積為$\DeltaABC$的$\displaystyle\frac{2}{5}$倍，應選(3)。

根據統計資料，在$A$小鎮當某件訊息發布後，$t$小時之內聽到該訊息的人口是全鎮人口的$100\left(1-2^{-kt}\right)\%$，其中$k$是某個大於$0$的常數。

今有某訊息，假設在發布後$3$小時之內已經有$70\%$的人口聽到該訊息。

又設最快要$T$小時後，有$99\%$的人口已聽到該訊息，則$T$最接近下列哪一個選項？$5$小時$\displaystyle7\frac{1}{2}$小時$\displaystyle9$小時$\displaystyle11\frac{1}{2}$小時$13$小時訣竅運用對數律和對數值求解。

解法按題設有$100\left(1-2^{-3k}\right)=70$，因此可知$2^{-3k}=0.3$。

再者又由最快要$T$小時後有$99\%$的人口聽到該訊息，則有$100\left(1-2^{-kT}\right)=99$，因此可知$2^{-kT}=0.01$。

兩者取以$10$為底的對數有$-3k\log2=\log0.3$　；　$-kT\log2=-2$兩式相除可約去$k$得$\displaystyle\frac{T}{3}=\frac{-2}{\log0.3}=\frac{-2}{\log3-1}=\frac{2}{1-\log3}$因此有$\displaystyleT=\frac{6}{1-\log3}\approx\frac{6}{1-0.4771}=\frac{6}{0.5229}\approx\frac{6}{0.5}=12$。

又該數略為高估，故應選(4)。

多重選擇題說明：第$6$至第$11$題，每題至少有一個選項是正確的，選出正確選項，標示在答案卡之「解答欄」。

每題答對得$5$分，答錯不倒扣，未答者不給分。

只錯一個可獲$2.5$分，錯兩個或兩個以上不給分。

如右圖，兩直線$L_1$、$L_2$之方程式分別為$L_1:x+ay+b=0$，$L_2:x+cy+d=0$；試問下列哪些選項是正確的？$a>0$$b>0$$c>0$$d>0$$a>c$訣竅藉由斜率和$x$截距在圖形中的呈現來判別其大小。

解法由於$L_1$的斜率為$\displaystyle\frac{-1}{a}>0$，故$a<0$，此選項錯誤。

由於$L_1$通過$\left(-b,0\right)$，並由圖形可知$-b>0$，亦即有$b<0$，此選項錯誤。

由於$L_2$的斜率為$\displaystyle\frac{-1}{c}>0$，故$c<0$，此選項錯誤。

由於$L_2$通過$\left(-d,0\right)$，並由圖形可知$-d<0$，亦即有$d>0$，此選項正確。

由圖中可知$\displaystyle\frac{-1}{a}>\frac{-1}{c}$，兩邊同乘以$-ac<0$可得$c2^{1/3}$，因此$\sqrt{2}-\sqrt[3]{2}>0$，此數為正。

考慮對數函數$y=\log_2x$，由於底數大於$1$，因此為遞增函數，故$\log_23-1=\log_23-\log_22>0$，此數為正。

考慮對數函數$y=\log_3x$，由於底數大於$1$，因此為遞增函數，故$\log_32-1=\log_32-\log_33<0$，此數為負。

考慮對數函數$y=\log_{\frac{1}{2}}x$，由於底數小於$1$，因此為遞減函數，故$\log_{\frac{1}{2}}3\log_{\frac{1}{3}}1=0$，此數為正。

由以上分析可知應選(1)(2)(5)。

下列哪些函數的最小正週期為$\pi$？$\sinx+\cosx$$\sinx-\cosx$$\left|\sinx+\cosx\right|$$\left|\sinx-\cosx\right|$$\left|\sinx\right|+\left|\cosx\right|$訣竅運用三角疊合的概念整理等式。

解法可將此選項改寫如下$\displaystyle\sinx+\cosx=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sinx+\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx\right)=\sqrt{2}\left(\sinx\cos\frac{\pi}{4}+\cosx\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)$如此為最小正週期為$2\pi$的函數。

可將此選項改寫如下$\displaystyle\sinx-\cosx=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sinx-\frac{1}{\sqrt{2}}\cosx\right)=\sqrt{2}\left(\sinx\cos\frac{\pi}{4}-\cosx\sin\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$如此為最小正週期為$2\pi$的函數。

按(1)的改寫可知$\displaystyle\left|\sinx+\cosx\right|=\sqrt{2}\left|\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right|$由於絕對值會使得三角函數取負值之處對稱$x$軸而改取正值，因此原先的最小正週期$2\pi$變為一半，亦即現在的最小正週期為$\pi$。

按(2)的改寫可知$\displaystyle\left|\sinx+\cosx\right|=\sqrt{2}\left|\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\right|$由於絕對值會使得三角函數取負值之處對稱$x$軸而改取正值，因此原先的最小正週期$2\pi$變為一半，亦即現在的最小正週期為$\pi$。

由於$\left|\sinx\right|$與$\left|\cosx\right|$的最小正週期為$\pi$，可以知道$\left|\sinx\right|+\left|\cosx\right|$的週期亦為$\pi$，但仔細檢驗可發現$\displaystyle\frac{\pi}{2}$亦為其正週期，因此$\pi$不為最小的正週期。

由以上分析可知應選(3)(4)。

假設坐標平面上一非空集合$S$內的點$\left(x,y\right)$具有以下性質：「若$x>0$，則$y>0$」。

試問下列哪些敘述對$S$內的點$\left(x,y\right)$必定成立？若$x\leq0$，則$y\leq0$；若$y\leq0$，則$x\leq0$；若$y>0$，則$x>0$；若$x>1$，則$y>0$；若$y<0$，則$x\leq0$。

訣竅運用基礎邏輯的觀念進行推理。

解法按題設的性質無法知道$x\leq0$之情形，故此敘述未必成立。

此選項為題幹性質的逆否命題，故此敘述必定成立。

此敘述為題幹性質的逆命題，故此敘述未必成立。

因為$x>1$蘊含$x>0$，又由題設給定的性質可推論出$y>0$，故此敘述必定成立。

因為$y<0$可推論出$y\leq0$，進而由選項(2)可知能推論出$x\leq0$，故此敘述必定成立。

由以上可知應選(2)(4)(5)。

設$\pi_a:x-4y+az=10$（$a$為常數）、$E_1:x-2y+z=5$及$E_2:2x-5y+4z=-3$為坐標空間中的三個平面。

試問下列哪些敘述是正確的？存在實數$a$使得$\pi_a$與$E_1$平行；存在實數$a$使得$\pi_a$與$E_1$垂直；存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$交於一點；存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$交於一直線；存在實數$a$使得$\pi_a$，$E_1$，$E_2$沒有共同交點。

訣竅根據空間平面的觀念答題。

解法由於$x,y$的係數不成比例，故不存在$a$能使$\pi_a$與$E_1$平行。

取$a=-9$能使$\left(1,-4,a\right)\cdot\left(1,-2,1\right)=0$，此表明兩平面之法向量垂直，進而兩平面垂直。

由$\pi_a$、$E_1$、$E_2$係數所形成的行列式值如下$\left|\begin{matrix}1&-4&a\\1&-2&1\\2&-5&4\end{matrix}\right|=5-a$因此當$a\neq5$時聯立方程組將恰有解，此表明三個平面將交於一點。

由(3)可知當$a=5$時會使行列式值為$0$。

運用高斯消去法解下列的聯立方程組$\begin{aligned}&\left\{\begin{aligned}&x-4y+5z=10,\\&x-2y+z=5,\\&2x-5y+4z=-3.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned}&x-4y+5z=10,\\&2y-4z=-5,\\&3y-6z=-23.\end{aligned}\right.\\\Longrightarrow&\left\{\begin{aligned}&x-4y+5z=10,\\&2y-4z=-5,\\&0=-15.5\end{aligned}\right.\end{aligned}$從而無解，故三平面不交於一線。

由(4)可知取$a=5$可使三平面無共同交點。

由上述分析可知應選(2)(3)(5)。

第二部分：填充題說明：第$A$至$I$題，將答案標示在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12-34)處。

每題完全答對給$5$分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

設$a_1,a_2,\cdots,a_{50}$是從$-1,0,1$這三個整數中取值的數列。

若$a_1+a_2+\cdots+a_{50}=9$且$\left(a_1+1\right)^2+\left(a_2+1\right)^2+\cdots+\left(a_{50}+1\right)^2=107$，則$a_1,a_2,\cdots,a_{50}$當中有幾項是$0$？答：$\underline{⑫⑬}$項。

訣竅由於已知數列中的數值僅有三種，因此假設此三種的取值的數量後可獲得這些數量的關係式，藉此求解即可。

解法設$-1$有$n$個，$1$有$m$個，則$0$有$50-n-m$個。

由於$a_1+a_2+\cdots+a_{50}=9$，如此可知$m-n=9$。

而$\left(a_1+1\right)^2+\left(a_2+1\right)^2+\cdots+\left(a_{50}+1\right)^2=107$可得$2^2\cdotm+1^2\cdot\left(50-n-m\right)=107$，亦即$3m-n=57$。

兩式相減可得$2m=48$，即有$m=24$，而$n=15$，進而可知$0$有$50-n-m=11$項，故填入$⑫=1$、$⑬=1$。

金先生在提款時忘了帳號密碼，但他還記得密碼的四位數字中，有兩個$3$，一個$8$，一個$9$，於是他就用這四個數字隨意排成一個四位數輸入提款機嘗試。

請問他只試一次就成功的機率有多少？答：$\displaystyle\underline{　\frac{⑭}{⑮⑯}　}$。

(化為最簡分數)訣竅運用相同物排列來計算所有情形，並注意到成功的情形僅有一種。

解法四個數字排成一列有$4!=24$種，其中有兩個$3$，因此總情形僅有$\displaystyle\frac{4!}{2}=12$種，故一次就成功的機率為$\displaystyle\frac{1}{12}$，應填入$⑭=1$、$⑮=1$、$⑯=2$。

設$A\left(1,0\right)$與$B\left(b,0\right)$為坐標平面上的兩點，其中$b>1$。

若拋物線$\Gamma:y^2=4x$上有一點$P$使得$\DeltaABP$為一正三角形，則$b=\underline{⑰}$。

訣竅按題設假定$P$之坐標後，利用正三角形之三邊長相等列出方程求解。

解法設$P$之坐標為$\left(a^2,\pm2a\right)$，其中$a>0$。

若$\DeltaABP$為正三角形，則有$\overline{AP}=\overline{PB}=\overline{BA}$，即有$\displaystyle\sqrt{\left(a^2-1\right)^2+\left(\pm2a\right)^2}=\sqrt{\left(a^2-b\right)^2+\left(\pm2a\right)^2}=b-1$由前兩式可知$\left|a^2-1\right|=\left|a^2-b\right|$，由於$a^2-1\neqa^2-b$，故$a^2-1=b-a^2$，從而有$\displaystylea^2=\frac{b+1}{2}$。

再者由第一式與第三式相等可得$\displaystyle\left(\frac{b+3}{2}\right)^2=\left(a^2+1\right)^2=a^4+2a^2+1=a^4-2a^2+1+4a^2=\left(b-1\right)^2$因此$\displaystyle\frac{b+3}{2}=b-1$或$\displaystyle\frac{b+3}{2}=1-b$，由此解得$b=5$或$\displaystyleb=-\frac{1}{3}$。

由於$b>1$，故$\displaystyleb=-\frac{1}{3}$不合，因此$b=5$，應填$⑰=5$。

設$P$為雙曲線$\displaystyle\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$上的一點且位在第一象限。

若$F_1$、$F_2$為此雙曲線的兩個焦點，且$\overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3$，則$\DeltaF_1PF_2$的周長等於$\underline{⑱⑲}$。

訣竅依據雙曲線的定義以及的標準式的結構求解。

解法首先可知$a^2=9$、$b^2=16$，因此$c^2=a^2+b^2=25$，故$c=5$，亦即焦點坐標為$\left(-5,0\right)$和$\left(5,0\right)$，從而$\overline{F_1F_2}=2c=10$。

另一方面，按雙曲線的定義可知$\overline{PF_2}-\overline{PF_1}=2a=6$，且由$\overline{PF_1}:\overline{PF_2}=1:3$可解得$\displaystyle\overline{PF_1}=3$、$\overline{PF_2}=9$。

綜合以上的資訊可知$\DeltaF_1PF_2$之周長為$\overline{F_1P}+\overline{PF_2}+\overline{F_2F_1}=3+9+10=22$故填入$⑱=2$、$⑲=2$。

在坐標空間中，通過$O\left(0,0,0\right)$，$N\left(0,0,1\right)$，$\displaystyleP\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{11}}{4},-\frac{1}{2}\right)$三點的平面與球面$S:x^2+y^2+z^2=1$相交於一個圓$C$，則圓$C$的劣弧$\overset{\frown}{NP}$的弧長等於$\displaystyle\underline{　\frac{⑳}{㉑}\pi　}$。

（化成最簡分數）(所謂劣弧$\overset{\frown}{NP}$是指圓$C$上由$N,P$兩點所連接的兩弧中較短的那一段弧。

)訣竅將弧長化為圓心角之弧度後利用內積求角度。

解法由於點$O$為單位球面$S$之球心，因此點$O$亦為單位圓$C$之圓心，因此$\overset{\frown}{NP}$等於$\angleNOP$之弧度。

利用向量內積可知$\displaystyle-\frac{1}{2}=\left(0,0,1\right)\cdot\left(\frac{1}{4},\frac{\sqrt{11}}{4},-\frac{1}{2}\right)=\overset{\rightharpoonup}{ON}\cdot\overset{\rightharpoonup}{OP}=\overline{ON}\cdot\overline{OP}\cdot\cos\angleNOP$因此$\displaystyle\angleNOP=\frac{2\pi}{3}$，故$\displaystyle\overset{\frown}{OP}=\frac{2}{3}\pi$。

應填入$⑳=2$、$㉑=3$。

設$k$為一整數。

若方程式$kx^2-7x+1=0$有兩個相異實根，且兩根的乘積介於$\displaystyle\frac{5}{71}$與$\displaystyle\frac{6}{71}$之間，則$k=\underline{㉒㉓}$。

訣竅運用根與係數關係以及該方程有兩相異實根來求解。

解法由於兩根之乘積為$\displaystyle\frac{1}{k}$，從而使用題設可知$\displaystyle\frac{5}{71}0$，因此$k=12$，填入$㉒=1$、$㉓=2$。

在只有皮尺沒有梯子的情形下，想要測出一拋物線形拱門的高度。

已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸。

現甲、乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為$6$公尺，且距底部$\displaystyle\frac{3}{2}$公尺高處其寬為$5$公尺。

利用這些數據可推算出拱門的高度為$\displaystyle\underline{　\frac{㉔㉕}{㉖㉗}　}$公尺。

（化成最簡分數）訣竅運用條件獲得拋物線的標準式進而求出拱門高度。

解法設拋物線之頂點坐標為原點，如此可設拋物線方程式為$x^2=4cy$，其中由凹口向下可知$c<0$。

設拱門高為$h$，則依題意可知坐標$\left(\pm3,-h\right)$、$\displaystyle\left(\pm\frac{5}{2},\frac{3}{2}-h\right)$位於拋物線上，從而有$\displaystyle\left\{\begin{aligned}&9=-4ch,\\&\frac{25}{4}=4c\left(\frac{3}{2}-h\right)\end{aligned}\right.$兩式相除可得$\displaystyle\frac{36}{25}=\frac{-h}{\frac{3}{2}-h}=\frac{2h}{2h-3}$整理有$36\left(2h-3\right)=25\cdot2h$，如此解得$\displaystyleh=\frac{54}{11}$，因此填入$㉔=5$、$㉕=4$、$㉖=1$、$㉗=1$。

某次數學測驗共有$25$題單一選擇題，每題都有五個選項，每答對一題可得$4$分，答錯倒扣$1$分。

某生確定其中$16$題可答對；有$6$題她確定五個選項中有兩個選項不正確，因此這$6$題他從剩下的選項中分別猜選一個；另外$3$題只好亂猜，則他這次測驗得分之期望值為$\underline{㉘㉙}$分。

（計算到整數為止，小數點以後四捨五入。

）訣竅依據期望值之定義計算之。

解法由於$16$題確定答對，因此這類問題可期望每題得$4$分；有$6$題可確定兩個選項不正確，因此答對的機率為$\displaystyle\frac{1}{3}$，而答錯的機率為$\displaystyle\frac{2}{3}$，故這類問題的期望值為$\displaystyle\frac{1}{3}\cdot4+\frac{2}{3}\cdot\left(-1\right)=\frac{2}{3}$另外$3$題的答對率為$\displaystyle\frac{1}{5}$，而答錯的機率為$\displaystyle\frac{4}{5}$，故這類問題的期望值為$\displaystyle\frac{1}{5}\cdot4+\frac{4}{5}\cdot\left(-1\right)=0$故這次測驗得分的期望值為$\displaystyle16\cdot4+6\cdot\frac{2}{3}+3\cdot0=68$因此填$㉘=6$、$㉙=8$。

根據統計資料，$1$月份台北地區的平均氣溫是攝氏$16$度，標準差是攝氏$3.5$度。

一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱，已知當攝氏溫度為$x$時，華氏溫度為$\displaystyley=\frac{9}{5}x+32$；若用華氏溫度表示，則$1$月份台北地區的平均氣溫是華氏$\underline{㉚㉛.㉜}$度，標準差是華氏$\underline{㉝.㉞}$度。

(計算到小數點後第一位，以下四捨五入。

)訣竅留意平均數和標準差在線性變換後的關係。

解法依據線性變換的關係可知華氏下的平均氣溫為$\displaystyle\frac{9}{5}\cdot16+32=\frac{144}{5}+32=60.8$度，而標準差為$\displaystyle\frac{9}{5}\cdot3.5=9\cdot0.7=6.3$度，因此填入$㉚=6$、$㉛=0$、$㉜=8$、$㉝=6$、$㉞=3$。

參考公式及可能用到的數值一元二次方程式$ax^2+bx+c=0$的公式解：$\displaystylex=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$通過$\left(x_1,y_1\right)$與$\left(x_2,y_2\right)$的直線斜率$\displaystylem=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$，$x_2\neqx_1$。

等比級數$\left\langlear^{n-1}\right\rangle$的前$n$項之和$\displaystyleS_n=\frac{a\cdot\left(1-r^n\right)}{1-r}$，$r\neq1$。

$\DeltaABC$的正弦與餘弦定理(1)$\displaystyle\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R$，$R$為外接圓半徑（正弦定理）(2)$c^2=a^2+b^2-2ab\cosC$　　（餘弦定理）統計公式：算術平均數　$\displaystyleM\left(={\barX}\right)=\frac{1}{n}\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$標　準　差　$\displaystyleS=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-{\barX}\right)^2}$參考數值：$\sqrt{2}\approx1.414$；　$\sqrt{3}\approx1.732$；　$\sqrt{5}\approx2.236$；　$\sqrt{6}\approx2.449$；　$\pi\approx3.142$對數值：$\log_{10}2\approx0.3010$，$\log_{10}3\approx0.4771$，$\log_{10}5\approx0.6990$，$\log_{10}7\approx0.8451$ 張貼者： 艾利歐 於 上午8:48 標籤： 2003年, 大學學科能力測驗, 升學測驗, 詳解, 數學科, 學測 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 每日點廣告，祝你成績高～ 我是誰？ 艾利歐 檢視我的完整簡介 網誌存檔 ►  2021 (10) 十二月 (1) 十一月 (2) 五月 (1) 三月 (2) 二月 (3) 一月 (1) ►  2020 (103) 十月 (6) 九月 (12) 八月 (14) 七月 (8) 六月 (3) 五月 (1) 三月 (18) 二月 (27) 一月 (14) ►  2019 (59) 十二月 (7) 十一月 (2) 九月 (2) 八月 (1) 七月 (18) 六月 (23) 五月 (5) 四月 (1) ▼  2018 (109) 十二月 (2) 十一月 (1) 十月 (1) 九月 (2) 八月 (26) 七月 (25) 六月 (4) 五月 (12) 四月 (10) 三月 (12) 二月 (9) 一月 (5) ►  2017 (159) 十二月 (14) 十一月 (4) 十月 (12) 九月 (2) 八月 (3) 七月 (4) 六月 (4) 五月 (80) 四月 (35) 三月 (1)