线性微分方程 - 维基百科

如果 f( x) = 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。

这样的方程称为齐次线性微分方程。

当 f不是零函数时，所有的解构成一个 ... 线性微分方程 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 系列條目微积分学 函数 极限论 微分学 积分 微積分基本定理 微积分发现权之争（英语：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基础概念（含极限论和级数论） 實數性質 函数 ·单调性 ·初等函数 ·數列 ·极限 ·实数的构造（1=0.999…） ·无穷大（衔尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定义（英语：(ε,δ)-definitionoflimit） ·实无穷（英语：Actualinfinity） ·大O符号 ·上确界 ·收敛数列 ·芝诺悖论 ·柯西序列 ·单调收敛定理 ·夹挤定理 ·波尔查诺－魏尔斯特拉斯定理 ·斯托尔兹－切萨罗定理 ·上极限和下极限 ·函數極限 ·渐近线 ·邻域 ·连续 ·連續函數 ·间断点 ·狄利克雷函数 ·稠密集 ·一致连续 ·紧集 ·海涅－博雷尔定理 ·支撑集 ·欧几里得空间 ·内积 ·外积 ·混合积 ·拉格朗日恒等式 ·等价范数 ·坐标系 ·多元函数 ·凸集 ·压缩映射原理 ·级数 ·收敛级数（英语：convergentseries） ·几何级数 ·调和级数 ·项测试 ·格兰迪级数 ·收敛半径 ·审敛法 ·柯西乘积 ·黎曼级数重排定理 ·函数项级数（英语：functionseries） ·一致收敛 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的线性（英语：linearityofdifferentiation） ·导数（流数法 ·二阶导数 ·光滑函数 ·高阶微分 ·莱布尼兹记号（英语：Leibniz's_notation） ·幽灵似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（罗尔定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求导法则（乘法定则 ·广义莱布尼茨定则（英语：GeneralLeibnizrule） ·除法定则 ·倒数定则 ·链式法则） ·洛必达法则 ·反函数及其微分 ·FaàdiBruno公式（英语：FaàdiBruno'sformula） ·对数微分法 ·导数列表 ·导数的函数应用（单调性 ·切线 ·极值 ·驻点 ·拐点 ·求导检测（英语：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲线的曲率 ·埃尔米特插值） ·达布定理 ·魏尔斯特拉斯函数 一元积分 积分表 定义 不定积分 定积分 黎曼积分 达布积分 勒贝格积分 积分的线性 求积分的技巧（换元积分法 ·三角换元法 ·分部积分法 ·部分分式积分法 ·降次积分法）微元法 ·积分第一中值定理 ·积分第二中值定理 ·牛顿-莱布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函数 ·Γ函数 ·古德曼函数 ·椭圆积分） ·数值积分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森积分法 ·牛顿-寇次公式） ·积分判别法 ·傅里叶级数（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏尔斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦尔定理 ·刘维尔定理 多元微积分 偏导数 ·隐函数 ·全微分（微分的形式不变性） ·二阶导数的对称性 ·全导数 ·方向導數 ·标量场 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘数 ·海森矩阵 ·鞍点 ·多重积分（逐次积分（英语：iteratedintegral） ·积分顺序（英语：Orderofintegration(calculus)）） ·积分估值定理 ·旋转体 ·帕普斯-古尔丁中心化旋转定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小号 ·雅可比矩阵 ·广义多重积分（高斯积分） ·若尔当曲线 ·曲线积分 ·曲面积分（施瓦茨的靴（俄语：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若尔当测度 ·隐函数定理 ·皮亚诺-希尔伯特曲线 ·积分变换 ·卷积定理 ·积分符号内取微分(莱布尼茨积分定则（英语：Leibnizintegralrule）) ·多变量原函数的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰当形式） ·向量值函数 ·向量空间内的导数推广（英语：generalizationsofthederivative）（加托导数 ·弗雷歇导数（英语：Fréchetderivative） ·矩阵的微积分（英语：matrixcalculus）） ·弱导数 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亚诺存在性定理 ·分离变数法 ·级数展开法 ·积分因子 ·拉普拉斯算子 ·欧拉方法 ·柯西-欧拉方程 ·伯努利微分方程 ·克莱罗方程 ·全微分方程 ·线性微分方程 ·叠加原理 ·特征方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯变换法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施图姆-刘维尔理论 ·N体问题 ·积分方程 相关数学家 牛顿 ·莱布尼兹 ·柯西 ·魏尔斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·欧拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴罗 ·波尔查诺 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若尔当 ·达布 ·傅里叶 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·约翰·伯努利 ·阿达马 ·麦克劳林 ·迪尼 ·沃利斯 ·费马 ·达朗贝尔 ·黑维塞 ·吉布斯 ·奥斯特罗格拉德斯基 ·刘维尔 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·玛达瓦（英语：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦罗第二 ·阿涅西 ·阿基米德 历史名作 从无穷小量分析来理解曲线（英语：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析学教程（英语：Coursd'Analyse） ·无穷小分析引论 ·用无穷级数做数学分析（英语：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微积分（英语：CalculusonManifolds(book)） ·微积分学教程 ·纯数学教程（英语：ACourseofPureMathematics） ·机械原理方法论（英语：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支学科 实变函数论 ·复变函数论 ·傅里叶分析 ·变分法 ·特殊函数 ·动力系统 ·微分几何 ·微分代数 ·向量分析 ·分数微积分 ·玛里亚温微积分（英语：Malliavincalculus） ·随机分析 ·最优化 ·非标准分析 查论编 线性微分方程（英語：Lineardifferentialequation）是数学中常见的一类微分方程。

指以下形式的微分方程： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=f\qquad\ldots\;\;(*)} 其中方程左侧的微分算子 L {\displaystyle{\mathcal{L}}} 是线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。

如果f(x)=0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。

这样的方程称为齐次线性微分方程。

当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。

这样的方程称为非齐次线性微分方程。

线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

目录 1简介 2常系数齐次线性微分方程 2.1例子 3常系数非齐次线性微分方程 3.1待定系数法 3.2常数变易法 4变系数线性微分方程 4.1例子 5拉普拉斯变换解微分方程 6参见 7参考文献 简介[编辑] 线性微分方程是一类特殊的微分方程。

一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。

线性微分方程的普遍形式为： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=f\qquad\ldots\;\;(*)} 其中的 L {\displaystyle{\mathcal{L}}} 是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数 y 1 {\displaystyley_{1}} 和 y 2 {\displaystyley_{2}} 以及两个常数 λ 1 {\displaystyle\lambda_{1}} 和 λ 2 {\displaystyle\lambda_{2}} ，那么： L ( λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 L ( y 1 ) + λ 2 L ( y 2 ) . {\displaystyle{\mathcal{L}}(\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2})=\lambda_{1}{\mathcal{L}}(y_{1})+\lambda_{2}{\mathcal{L}}(y_{2}).} 如果f是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数： y 1 , y 2 , ⋯ , y m {\displaystyley_{1},y_{2},\cdots,y_{m}} 以及同样多的常数系数： λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m {\displaystyle\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}} ，线性组合 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + ⋯ + λ m y m {\displaystyle\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2}+\cdots+\lambda_{m}y_{m}} 仍然是方程(*)的解函数。

这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V，称为方程的解空间。

如果f不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程： L ( y ) = 0 … ( ∗ ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=0\qquad\ldots\;\;(**)} 设 y s {\displaystyley^{s}} 是方程(*)的一个解函数。

y {\displaystyley} 方程(**)的任意一个解函数。

则它们的和 y s + y {\displaystyley^{s}+y} 仍然是(*)的解函数。

另一方面，给定方程(*)的两个解函数： y 1 s {\displaystyley_{1}^{s}} 和 y 2 s {\displaystyley_{2}^{s}} 。

则它们的差 y 1 s − y 2 s {\displaystyley_{1}^{s}-y_{2}^{s}} 会是方程(**)的解函数。

这说明方程(*)的所有解函数都可以写成 y s + y , y ∈ V {\displaystyley^{s}+y,\;y\inV} 的形式。

其中V是方程(**)的解空间。

所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且 V ′ = y s + V {\displaystyleV'=y^{s}+V} 。

常系数齐次线性微分方程[编辑] 一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有 e z x {\displaystylee^{zx}} 的形式，其中 z {\displaystylez} 是某个复数。

因此，对于以下方程： d n y d x n + A 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + A n y = 0 {\displaystyle{\frac{d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots+A_{n}y=0} 我们设 y = e z x {\displaystyley=e^{zx}} ，可得： z n e z x + A 1 z n − 1 e z x + ⋯ + A n e z x = 0. {\displaystylez^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots+A_{n}e^{zx}=0.} 两边除以e zx，便得到了一个n次方程： F ( z ) = z n + A 1 z n − 1 + ⋯ + A n = 0. {\displaystyleF(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots+A_{n}=0.\,} 这个方程F(z)=0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项 d k y d x k ( k = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle{\frac{d^{k}y}{dx^{k}}}\quad\quad(k=1,2,\dots,n).} 换成zk，便可得到特征方程。

这个方程有n个解：z1, ..., zn。

把任何一个解代入e zx，便可以得到微分方程的一个解：e zix。

由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。

可以证明，这些解是线性独立的。

于是，微分方程的通解就是y=C1e z1x+C2e z2x+……+Cne znx，其中C1、C2、……、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。

如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。

但是，可以验证，如果z是特征方程的mz重根，那么，对于 k ∈ { 0 , 1 , … , m z − 1 } {\displaystylek\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\}\,} ， y = x k e z x {\displaystyley=x^{k}e^{zx}\,} 就是微分方程的一个解。

对每个特征根z，都能得到mz个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数Ai都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。

假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a+bi是特征方程的根，那么a-bi也是一个根。

于是，y=e (a+bi)x和y=e (a-bi)x都是微分方程的解。

但这两个解都是复数的形式。

考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y=e axcosbx。

如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y=e axsinbx。

于是，y=C1e axcosbx+C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子[编辑] 求微分方程 y ″ − 4 y ′ + 5 y = 0 {\displaystyley''-4y'+5y=0\,} 的通解。

特征方程是 z 2 − 4 z + 5 = 0 {\displaystylez^{2}-4z+5=0\,} ，它的根是2+i和2−i。

于是， y = C 1 e 2 x cos ⁡ x + C 2 e 2 x sin ⁡ x {\displaystyley=C_{1}e^{2x}\cos{x}+C_{2}e^{2x}\sin{x}} 就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程[编辑] 欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法（日语：定数変化法）求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

待定系数法[编辑] 考虑以下的微分方程： d y d x = y + e 2 x . {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!} 对应的齐次方程是： d y d x = y . {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=y.} 它的通解是： y = c e x . {\displaystyley=ce^{x}.\!} 由于非齐次的部分是( e 2 x {\displaystylee^{2x}} )，我们猜测特解的形式是： y p = A e 2 x . {\displaystyley_{p}=Ae^{2x}.\!} 把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A： d d x ( A e 2 x ) = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A e 2 x = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A = A + 1 {\displaystyle2A=A+1\,\!} A = 1. {\displaystyleA=1.\,\!} 因此，原微分方程的解是： y = c e x + e 2 x . {\displaystyley=ce^{x}+e^{2x}.\!} ( c ∈ R {\displaystylec\inR} ) 常数变易法[编辑] 假设有以下的微分方程： y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) {\displaystyley^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)} 我们首先求出对应的齐次方程的通解   y = C 1 y 1 + C 2 y 2 {\displaystyle\y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}} ，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。

然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是： y = u 1 y 1 + u 2 y 2 .     ( 1 ) {\displaystyley=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm{(1)}} 两边求導數，可得： y ′ = u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ . {\displaystyley'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.} 我们把函数u1、u2加上一条限制： u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 = 0.     ( 2 ) {\displaystyleu_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm{(2)}} 于是： y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ .     ( 3 ) {\displaystyley'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm{(3)}} 两边再求導數，可得： y ″ = u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ .     ( 4 ) {\displaystyley''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm{(4)}} 把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ + p u 1 y 1 ′ + p u 2 y 2 ′ + q u 1 y 1 + q u 2 y 2 = f ( x ) . {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).} 整理，得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + ( u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 ) + ( u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 ) = f ( x ) . {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).} 由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此 u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 {\displaystyleu_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}} 和 u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 {\displaystyleu_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}} 都变为零，故方程化为： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ = f ( x ) .     ( 5 ) {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm{(5)}} (2)和(5)联立起来，便得到了一个 u 1 ′ {\displaystyleu_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyleu_{2}'} 的方程组，便可得到 u 1 ′ {\displaystyleu_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyleu_{2}'} 的表达式；再积分，便可得到 u 1 {\displaystyleu_{1}} 和 u 2 {\displaystyleu_{2}} 的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。

一般地，有： u j ′ = ( − 1 ) n + j W ( y 1 , … , y j − 1 , y j + 1 … , y n ) ( 0 f ) W ( y 1 , y 2 , … , y n ) . {\displaystyleu'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac{W(y_{1},\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_{n})_{0\choosef}}{W(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})}}.} 其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程[编辑] n阶的变系数微分方程具有以下形式： p n ( x ) y ( n ) ( x ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + p 0 ( x ) y ( x ) = r ( x ) . {\displaystylep_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+p_{0}(x)y(x)=r(x).} 一个例子是柯西-欧拉方程： x n y ( n ) ( x ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + a 0 y ( x ) = 0. {\displaystylex^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_{0}y(x)=0.} 变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。

设有以下的一阶变系数线性微分方程：   D y ( x ) + f ( x ) y ( x ) = g ( x ) . {\displaystyle\Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).} 这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以 e ∫ f ( x ) d x {\displaystylee^{\intf(x)\,dx}} ： D y ( x ) e ∫ f ( x ) d x + f ( x ) y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x , {\displaystyleDy(x)e^{\intf(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\intf(x)\,dx}=g(x)e^{\intf(x)\,dx},} 用乘法定则，可以简化为： D ( y ( x ) e ∫ f ( x ) d x ) = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x {\displaystyleD(y(x)e^{\intf(x)\,dx})=g(x)e^{\intf(x)\,dx}} 两边积分，得： y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c   , {\displaystyley(x)e^{\intf(x)\,dx}=\intg(x)e^{\intf(x)\,dx}\,dx+c~,} y ( x ) = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c e ∫ f ( x ) d x   . {\displaystyley(x)={\intg(x)e^{\intf(x)\,dx}\,dx+c\overe^{\intf(x)\,dx}}~.} 也就是说，一阶线性微分方程 y ′ ( x ) + p ( x ) y ( x ) = r ( x ) {\displaystyley'(x)+p(x)y(x)=r(x)} 的解是： y = e − a ( x ) ( ∫ r ( x ) e a ( x ) d x + κ ) {\displaystyley=e^{-a(x)}\left(\intr(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa\right)} 其中 κ {\displaystyle\kappa} 是积分常数，且 a ( x ) = ∫ p ( x ) d x . {\displaystylea(x)=\int{p(x)\,dx}.} 例子[编辑] 考虑以下一阶线性微分方程： d y d x + b y = 1. {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}+by=1.} p(x)=b，r(x)=1，因此微分方程的解为： y ( x ) = e − b x ( e b x b + C ) = 1 b + C e − b x . {\displaystyley(x)=e^{-bx}\left({\frac{e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac{1}{b}}+Ce^{-bx}.} 拉普拉斯变换解微分方程[编辑] 应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系： L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f'\}=s{\mathcal{L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal{L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) } = s n L { f } − Σ i = 1 n s n − i f ( i − 1 ) ( 0 ) . {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal{L}}\{f\}-\Sigma_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).} 有如下微分方程： ∑ i = 0 n a i f ( i ) ( t ) = ϕ ( t ) . {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi(t).} 该方程可变换为： ∑ i = 0 n a i L { f ( i ) ( t ) } = L { ϕ ( t ) } {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal{L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal{L}}\{\phi(t)\}} 则： L { f ( t ) } = L { ϕ ( t ) } + ∑ i = 1 n a i ∑ j = 1 i s i − j f ( j − 1 ) ( 0 ) ∑ i = 0 n a i s i . {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f(t)\}={{\mathcal{L}}\{\phi(t)\}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)\over\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.} 其中 f ( k ) ( 0 ) {\displaystylef^{(k)}(0)} 是初始条件。

f(t)通过拉普拉斯反变换 L { f ( t ) } {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f(t)\}} 求得。

参见[编辑] 拉普拉斯变换 傅里叶变换 里卡蒂方程 伯努利微分方程 柯西-欧拉方程 克莱罗方程 全微分方程 参考文献[编辑] StanleyJ.Farlow(1994).Anintroductiontodifferentialequationsandtheirapplications.McGraw-Hill,Inc.ISBN0-07-020030-0.p.131-139,p.158-162. 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=线性微分方程&oldid=68602020” 分类：​微分方程隐藏分类：​含有英語的條目使用ISBN魔术链接的页面 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 العربيةCatalàČeštinaDeutschEnglishEspañolEestiفارسیFrançaisעבריתहिन्दीMagyarItaliano日本語LietuviųNederlandsPortuguêsРусскийSlovenčinaSvenskaУкраїнська 编辑链接