行列式- 維基百科，自由的百科全書

行列式. 在方块矩阵上计算得到的标量. 語言 · 監視 · 編輯. 行列式 在方块矩阵上计算得到的标量 語言 監視 編輯 行列式（Determinant），記作 det ( A ) {\displaystyle\det(A)} 或 | A | {\displaystyle|A|} ，是一個在方塊矩陣上計算得到的標量。

行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。

或者說，在歐幾里得空間中，行列式描述的是一個線性變換對「體積」所造成的影響。

無論是在線性代數、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為基本的數學工具，都有着重要的應用。

線性代數 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle\mathbf{A}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 向量 ·向量空間 ·行列式 ·矩陣 向量 標量·向量·向量空間·向量投影·外積（叉積）·內積（點積） 矩陣與行列式 矩陣·行列式·線性方程組·秩·核·跡·單位矩陣·初等矩陣·方塊矩陣·分塊矩陣·三角矩陣·非奇異方陣·轉置矩陣·逆矩陣·對角矩陣·可對角化矩陣·對稱矩陣·反對稱矩陣·正交矩陣·幺正矩陣·埃爾米特矩陣·反埃爾米特矩陣·正規矩陣·伴隨矩陣·余因子矩陣·共軛轉置·正定矩陣·冪零矩陣·矩陣分解（LU分解·奇異值分解·QR分解·極分解·特徵分解）·子式和餘子式·拉普拉斯展開·克羅內克積 線性空間與線性變換 線性空間·線性變換·線性子空間·線性生成空間·基·線性映射·線性投影·線性無關·線性組合·線性泛函·行空間與列空間·對偶空間·正交·特徵向量·最小二乘法·格拉姆-施密特正交化 閱論編 「橫行（row）」的各地常用別名中國大陸行港臺列「縱行（column）」的各地常用別名中國大陸列港臺行行列式概念最早出現在解線性方程組的過程中。

十七世紀晚期，關孝和與萊布尼茨的著作中已經使用行列式來確定線性方程組解的個數以及形式。

十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數學概念被研究。

十九世紀以後，行列式理論進一步得到發展和完善。

矩陣概念的引入使得更多有關行列式的性質被發現，行列式在許多領域都逐漸顯現出重要的意義和作用，其定義也被推廣到諸如線性自同態和向量組等結構上。

行列式的特性可以被概括為一個交替多線性形式，這個本質使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述「體積」的函數[1]。

目次 1記法 2直觀定義 3幾何意義：二維和三維歐氏空間中的例子 3.1二維向量組的行列式 3.2三維向量組的行列式 3.3基底的選擇 3.4線性變換 4行列式與空間定向 5一般域上的行列式：嚴格的定義 5.1交替多線性形式（多重線性函數） 5.2向量組的行列式 5.2.1基變更公式 5.3矩陣的行列式 5.4線性變換的行列式 6係數的取值 7行列式的性質 8行列式的展開 8.1餘因式 8.2代數餘子式 8.3行列式關於行和列的展開 9行列式的計算 10行列式函數 10.1單變量的行列式函數 10.2矩陣的行列式函數 11與外代數的關係 12歷史 12.1早期研究 12.2任意階數的行列式 12.3行列式的現代概念 13應用 13.1行列式與線性方程組 13.2行列式與矩陣 13.3行列式與多項式 13.4朗斯基行列式 13.5行列式與多重積分 13.6行列式與非線性方程組及分枝理論 14參見 15參考文獻 15.1引用 15.2來源 16外部連結 記法編輯 矩陣 A {\displaystyleA}  的行列式記作 det ( A ) {\displaystyle\det(A)}  。

行列式經常使用豎直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。

例如，對於一個矩陣： A = [ a b c d e f g h i ] {\displaystyleA={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}}   det ( A ) {\displaystyle\det(A)}  也記作 | A | {\displaystyle|A|}  ，或以細長的垂直線取代矩陣的方括號，明確的寫為[2][3]： det ( A ) = | A | = | a b c d e f g h i | {\displaystyle\det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}  當這個記法用於絕對值時，其作用對象為數，矩陣的絕對值是無定義的。

矩陣範數通常以雙垂直線來表示（如： ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle\|\cdot\|}  ），且可以使用下標。

故不會與二者造成混淆。

直觀定義編輯 一個n階方塊矩陣 A {\displaystyleA}  的行列式可直觀地定義如下： det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\det(A)=\sum_{\sigma\inS_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}}   其中， S n {\displaystyleS_{n}}  是集合 { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle\left\{1,2,...,n\right\}}  上置換的全體，即集合 { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle\left\{1,2,...,n\right\}}  到自身上的一一映射（雙射）的全體； ∑ σ ∈ S n {\displaystyle\sum_{\sigma\inS_{n}}}  表示對 S n {\displaystyleS_{n}}  全部元素的求和，即對於每個 σ ∈ S n {\displaystyle\sigma\inS_{n}}  ， sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}}  在加法算式中出現一次；對每一個滿足 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle1\leqi,j\leqn}  的數對 ( i , j ) {\displaystyle\left(i,j\right)}  ， a i , j {\displaystylea_{i,j}}  是矩陣 A {\displaystyleA}  的第 i {\displaystylei}  行第 j {\displaystylej}  列的元素。

sgn ⁡ ( σ ) {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)}  表示置換 σ ∈ S n {\displaystyle\sigma\inS_{n}}  的符號差，具體地說，滿足 1 ≤ i ≤ j ≤ n {\displaystyle1\leqi\leqj\leqn}  但 σ ( i ) > σ ( j ) {\displaystyle\sigma(i)>\sigma(j)}  的有序數對 ( i , j ) {\displaystyle\left(i,j\right)}  稱為 σ {\displaystyle\sigma}  的一個逆序。

如果 σ {\displaystyle\sigma}  的逆序共有偶數個，則 sgn ⁡ σ = 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=1}  ，如果共有奇數個，則 sgn ⁡ σ = − 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=-1}  。

舉例來說，對於3元置換 σ = ( 2 , 3 , 1 ) {\displaystyle\sigma=\left(2,3,1\right)}  （即是說 σ ( 1 ) = 2 {\displaystyle\sigma(1)=2}  ， σ ( 2 ) = 3 {\displaystyle\sigma(2)=3}  ， σ ( 3 ) = 1 {\displaystyle\sigma(3)=1}  ）而言，由於1在2後，1在3後，所以共有2個逆序（偶數個），因此 sgn ⁡ ( σ ) = 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)=1}  ，從而3階行列式中項 a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 {\displaystylea_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}}  的符號是正的。

但對於三元置換 σ = ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle\sigma=\left(3,2,1\right)}  （即是說 σ ( 1 ) = 3 {\displaystyle\sigma(1)=3}  ， σ ( 2 ) = 2 {\displaystyle\sigma(2)=2}  ， σ ( 3 ) = 1 {\displaystyle\sigma(3)=1}  ）而言，可以數出共有3個逆序（奇數個），因此 sgn ⁡ σ = − 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=-1}  ，從而3階行列式中項 a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 {\displaystylea_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}}  的符號是負號[4][5]。

注意到對於任意正整數 n {\displaystylen}  ， S n {\displaystyleS_{n}}  共擁有n!個元素，因此上式中共有 n ! {\displaystylen!}  個求和項，即這是一個有限多次的求和。

對於簡單的2階和3階的矩陣，行列式的表達式相對簡單，而且恰好是每條主對角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對角線（右上至左下）元素乘積之和（見圖中紅線和藍線）。

2階矩陣的行列式： | a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 | = a 1 , 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 {\displaystyle{\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}}  [6]3階矩陣的行列式： | a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 | = a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 + a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 + a 1 , 3 a 2 , 1 a 3 , 2 − a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 − a 1 , 1 a 2 , 3 a 3 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 a 3 , 3 {\displaystyle\displaystyle{\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}}  [7] 三階矩陣的行列式為每條紅線上的元素的乘積之和，減去藍線上元素乘積之和。

但對於階數 n ≥ 4 {\displaystylen\geq4}  的方陣 A {\displaystyleA}  ，這樣的主對角線和副對角線分別只有 n {\displaystylen}  條，由於 A {\displaystyleA}  的主、副對角線總條數 = 2 n < ( n − 1 ) n < n ! = S n {\displaystyle=2n n {\displaystylem>n}  ，沒有容許集合 S {\displaystyleS}  ，約定行列式 det ( A B ) {\displaystyle\det(AB)}  是零[33]。

若 A {\displaystyleA}  是可逆矩陣， det ( A − 1 ) = ( det ( A ) ) − 1 {\displaystyle\displaystyle\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}}  [34]。

由行列式的乘法定理以及 det ( A − 1 ) = ( det ( A ) ) − 1 {\displaystyle\displaystyle\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}}  可以知道，行列式定義了一個從一般線性群 ( G L n ( F ) , × ) {\displaystyle(GL_{n}(\mathbb{F}),\times)}  到 ( F ∗ , × ) {\displaystyle(\mathbb{F}^{*},\times)}  上的群同態[35]。

若將方塊矩陣中的元素取共軛，得到的是矩陣的共軛矩陣。

共軛矩陣的行列式值等於矩陣行列式值的共軛： det ( A ¯ ) = det ( A ) ¯ {\displaystyle\det({\overline{A}})={\overline{\det(A)}}}  [36] 若兩個矩陣相似，那麼它們的行列式相同。

這是因為兩個相似的矩陣之間只相差一個基底變換，而行列式描述的是矩陣對應的線性映射對體積的影響，而不是體積，所以基底變換並不會影響行列式的值。

用數學語言來說，就是：如果兩個矩陣 A {\displaystyle\mathbf{A}}  與 B {\displaystyle\mathbf{B}}  相似，那麼存在可逆矩陣 P {\displaystyle\mathbf{P}}  使得 A = P B P − 1 {\displaystyle\mathbf{A}=\mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1}}  ，所以 det ( A ) = det ( P B P − 1 ) = det ( P ) ⋅ det ( B ) ⋅ det ( P − 1 ) = det ( B ) ⋅ det ( P ) ⋅ det ( P ) − 1 = det ( B ) {\displaystyle\det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1})=\det(\mathbf{P})\cdot\det(\mathbf{B})\cdot\det(\mathbf{P}^{-1})=\det(\mathbf{B})\cdot\det(\mathbf{P})\cdot\det(\mathbf{P})^{-1}=\det(\mathbf{B})}  [27]行列式是所有特徵值（按代數重數計）的乘積。

這可由矩陣必和其若爾當標準型相似推導出[37]。

特殊地，三角矩陣的行列式等於其對角線上所有元素的乘積[37]。

由於三角矩陣的行列式計算簡便，當矩陣的係數為域時，可以通過高斯消去法將矩陣變換成三角矩陣，或者將矩陣分解成三角矩陣的乘積之後再利用行列式的乘法定理進行計算。

可以證明，所有的矩陣 A {\displaystyleA}  都可以分解成一個上三角矩陣 U {\displaystyleU}  、一個下三角矩陣 L {\displaystyleL}  以及一個置換矩陣 P {\displaystyleP}  的乘積： A = P ⋅ L ⋅ U {\displaystyleA=P\cdotL\cdotU}  。

這時，矩陣 A {\displaystyleA}  的行列式可以寫成： det ( A ) = det ( P ) ⋅ det ( L ) ⋅ det ( U ) {\displaystyle\det(A)=\det(P)\cdot\det(L)\cdot\det(U)}  [38]分塊矩陣的行列式並不能簡單地表示成每個分塊的行列式的乘積組合。

對於分塊的三角矩陣，仍然有類似的結論： | A 0 C D | = | A B 0 D | = det ( A ) det ( D ) {\displaystyle{\begin{vmatrix}A&0\\C&D\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A&B\\0&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D)}  ，矩陣的行列式等於對角元素的行列式之乘積。

對於一般情況，若對角元素中有一個是可逆矩陣，比如說 A {\displaystyleA}  可逆，那麼矩陣的行列式可以寫做 | A B C D | = det ( A ) det ( D − C A − 1 B ) {\displaystyle{\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)}  。

[39]矩陣的行列式和矩陣的跡數有一定的關聯，當矩陣的係數為域時，在定義了矩陣的指數函數後，有如下的恆等式： det ( exp ⁡ ( A ) ) = exp ⁡ ( t r ( A ) ) {\displaystyle\det(\exp(A))=\exp(\mathrm{tr}(A))}  [40]行列式的展開編輯 餘因式編輯 又稱「餘子式」、「餘因子」。

參見主條目餘因式。

對一個 n {\displaystylen}  階的行列式 M {\displaystyleM}  ，去掉 M {\displaystyleM}  的第 i {\displaystylei}  行第 j {\displaystylej}  列後形成的 n − 1 {\displaystylen-1}  階的行列式叫做 M {\displaystyleM}  關於元素 m i j {\displaystylem_{ij}}  的餘因式。

記作 M i j {\displaystyleM_{ij}}  [41]。

M i j = | m 1 , 1 … m 1 , j − 1 m 1 , j + 1 … m 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m i − 1 , 1 … m i − 1 , j − 1 m i − 1 , j + 1 … m i − 1 , n m i + 1 , 1 … m i + 1 , j − 1 m i + 1 , j + 1 … m i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m n , 1 … m n , j − 1 m n , j + 1 … m n , n | {\displaystyleM_{ij}={\begin{vmatrix}m_{1,1}&\dots&m_{1,j-1}&m_{1,j+1}&\dots&m_{1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\m_{i-1,1}&\dots&m_{i-1,j-1}&m_{i-1,j+1}&\dots&m_{i-1,n}\\m_{i+1,1}&\dots&m_{i+1,j-1}&m_{i+1,j+1}&\dots&m_{i+1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\m_{n,1}&\dots&m_{n,j-1}&m_{n,j+1}&\dots&m_{n,n}\end{vmatrix}}}   皮埃爾-西蒙·拉普拉斯 代數餘子式編輯 M {\displaystyleM}  關於元素 m i j {\displaystylem_{ij}}  的代數餘子式記作 C i j {\displaystyleC_{ij}}  。

C i j = ( − 1 ) ( i + j ) ⋅ M i j {\displaystyleC_{ij}=(-1)^{(i+j)}\cdotM_{ij}}  [41]。

行列式關於行和列的展開編輯 一個 n {\displaystylen}  階的行列式 M {\displaystyleM}  可以寫成一行（或一列）的元素與對應的代數餘子式的乘積之和，叫作行列式按一行（或一列）的展開。

det M = ∑ i = 1 n m i ; j C i , j {\displaystyle\det{M}=\sum_{i=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}}   det M = ∑ j = 1 n m i ; j C i , j {\displaystyle\det{M}=\sum_{j=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}}  這個公式又稱拉普拉斯公式，把 n {\displaystylen}  維矩陣的行列式計算變為了 n {\displaystylen}  個 n − 1 {\displaystylen-1}  維的行列式的計算[41][42]。

另一方面，拉普拉斯公式可以作為行列式的一種歸納定義：在定義了二維行列式後， n {\displaystylen}  維矩陣的行列式可以藉助拉普拉斯公式用 n − 1 {\displaystylen-1}  維的行列式來定義。

這樣定義的行列式與前面的定義是等價的[9]。

行列式的計算編輯 計算行列式的值是一個常見的問題。

最簡單的方法是按照定義 det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\det(A)=\sum_{\sigma\inS_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}}  計算或按照拉普拉斯公式進行遞歸運算。

這樣的算法需要計算 n ! {\displaystylen!}  次的加法，複雜度是指數函數。

在實際的計算中只能用於計算階數很小的行列式。

注意到拉普拉斯公式的性質，如果一行或一列裡面有很多個0，那麼就可以把行列式按這一行或一列展開，這時數值為零的係數所對應的代數餘子式就不必計算了，因為最後要乘以0，這樣就可以簡化計算。

然而更加簡便的算法是利用高斯消去法或LU分解法，把矩陣通過初等變換變成三角矩陣或三角矩陣的乘積來計算行列式的值。

這些算法的複雜度都是 n 3 {\displaystylen^{3}}  級別，遠遠小於直接計算的複雜度。

如果一個算法可以在 O ( n s ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{s})}  時間內算出矩陣乘法，那麼可以構造出一種 O ( n s ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{s})}  時間內的行列式求值算法。

這說明求矩陣的行列式的值和矩陣的乘法有相同的複雜度。

於是，通過分治算法或者其它的方法，可以達到比 O ( n 3 ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{3})}  更好的結果。

比如，存在複雜度 O ( n 2.376 ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{2.376})}  的行列式求值算法[43][44]。

行列式函數編輯 由行列式的一般表達形式中可以看出，矩陣 A {\displaystyleA}  的行列式是關於其係數的多項式。

因此行列式函數具有良好的光滑性質。

單變量的行列式函數編輯 設矩陣函數 t ↦ A ( t ) {\displaystylet\mapstoA(t)}  為 C k {\displaystyle{\mathcal{C}}^{k}}  （k階連續可導）的函數，則由於行列式函數 t ↦ det A ( t ) {\displaystylet\mapsto\detA(t)}  只不過是矩陣 A ( t ) {\displaystyleA(t)}  的某些係數的乘積，所以也是 C k {\displaystyle{\mathcal{C}}^{k}}  的。

其對t的導數為 d d t ( det ( A 1 ( t ) , … , A n ( t ) ) ) = ∑ i = 1 n det ( A 1 ( t ) , … , A i − 1 ( t ) , A i ′ ( t ) , A i + 1 ( t ) , … , A n ( t ) ) {\displaystyle{\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}}\left(\det(A_{1}(t),\dots,A_{n}(t))\right)=\sum_{i=1}^{n}\det(A_{1}(t),\dots,A_{i-1}(t),A'_{i}(t),A_{i+1}(t),\dots,A_{n}(t))}  ，其中的每個 A i ( t ) {\displaystyleA_{i}(t)}  是矩陣 A ( t ) {\displaystyleA(t)}  的第i個行向量（也可以全部是列向量）。

[45]矩陣的行列式函數編輯 函數 A ↦ det A {\displaystyleA\mapsto\detA}  是連續的。

由此，n階一般線性群是一個開集，因為是開區間 R − { 0 } {\displaystyle\mathbb{R}-\left\{0\right\}}  的原像，而特殊線性群則是一個閉集，因為是閉集合 { 1 , − 1 } {\displaystyle\left\{1,-1\right\}}  的原像[46]。

函數 A ↦ det A {\displaystyleA\mapsto\detA}  也是可微的，甚至是光滑的（ C ∞ {\displaystyle{\mathcal{C}}^{\infty}}  ）[47]。

它在某個矩陣 A {\displaystyleA}  處的展開為 det ( A + H ) = det A + t r ( t C o m ( A ) . H ) + o ( ‖ H ‖ ) {\displaystyle\det(A+H)=\detA+{\rm{tr}}({}^{t}{\rm{Com}}(A).H)+o(\|H\|)}  [48]也就是說，在裝備正則範數的矩陣空間 M n ( R ) {\displaystyleM_{n}(\mathbb{R})}  中，伴隨矩陣是行列式函數的梯度 ∇ det ( A ) = C o m ( A ) {\displaystyle\nabla\det(A)={\rm{Com}}(A)}  [49]特別當 A {\displaystyleA}  為單位矩陣時， det ( I + H ) = 1 + t r ( H ) + o ( ‖ H ‖ ) , ∇ det ( I ) = I {\displaystyle\det(I+H)=1+{\rm{tr}}(H)+o(\|H\|),\qquad\nabla\det(I)=I}  可逆矩陣的可微性說明一般線性群 G L n ( R ) {\displaystyleGL_{n}(\mathbb{R})}  是一個李群[50]。

與外代數的關係編輯 行列式與外代數有密切的關係，因為外代數正是在給定的交換環 K {\displaystyle\mathbb{K}}  上的自由 K {\displaystyle\mathbb{K}}  -模 V {\displaystyleV}  上最「一般性」的有交替性質的結合代數，記為 ∧ ( V ) {\displaystyle\wedge(V)}  。

外代數是由楔積構造而成的，而楔積在 V {\displaystyleV}  上的交替性質表現如下（定義）： 楔積是滿足結合律的雙線性的二元運算，使得對於所有向量 v ∈ V {\displaystylev\inV}  ， v ∧ v = 0 {\displaystylev\wedgev=0}  這表示 對於所有向量 u , v ∈ V {\displaystyleu,v\inV}  ， u ∧ v = − v ∧ u {\displaystyleu\wedgev=-v\wedgeu}  ，以及 當 v 1 , … , v k ∈ V {\displaystylev_{1},\ldots,v_{k}\inV}  線性相關時， v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = 0 {\displaystylev_{1}\wedgev_{2}\wedge\cdots\wedgev_{k}=0}  。

所有形同 v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystylev_{1}\wedgev_{2}\wedge\cdots\wedgev_{k}}  的元素稱為 k − {\displaystylek-}  向量。

所有 k − {\displaystylek-}  向量構成了 ∧ ( V ) {\displaystyle\wedge(V)}  的一個子空間，稱為 V {\displaystyleV}  的 k − {\displaystylek-}  階外冪，記為 ∧ k ( V ) {\displaystyle\wedge^{k}(V)}  。

行列式函數是 n {\displaystylen}  重交替線性形式，所以可以看成是將 n {\displaystylen}  個 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}}  裡面的向量映射到它們對應的 n − {\displaystylen-}  階外冪 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})}  這樣一個映射。

由於 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}}  的 k − {\displaystylek-}  階外冪 ∧ k ( K n ) {\displaystyle\wedge^{k}(\mathbb{K}^{n})}  的維數等於組合數 ( n k ) {\displaystyle{\binom{n}{k}}}  ， ∧ n ( R n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{R}^{n})}  的維數是 ( n n ) = 1 {\displaystyle{\binom{n}{n}}=1}  ，因此 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})}  實際上同構於 K {\displaystyle\mathbb{K}}  ，所以將行列式看做 n {\displaystylen}  個 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}}  裡面的向量映射到它們對應的 n − {\displaystylen-}  階外冪 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})}  的映射與之前的行列式定義並沒有衝突。

外代數理論實際上涵蓋了行列式理論。

[51][52]對三維歐幾里得空間中 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}}  可以建立一個線性同構 ϕ : Λ 2 ( R 3 ) → R 3 {\displaystyle\phi:\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{3})\rightarrow\mathbb{R}^{3}}  如下：任取 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}}  的右手的標準正交基 i {\displaystyle{\boldsymbol{i}}}  ， j {\displaystyle{\boldsymbol{j}}}  ， k {\displaystyle{\boldsymbol{k}}}  ，規定 ϕ {\displaystyle\phi}  把 i ∧ j {\displaystyle{\boldsymbol{i}}\wedge\mathbf{j}}  ， j ∧ k {\displaystyle{\boldsymbol{j}}\wedge{\boldsymbol{k}}}  ， k ∧ i {\displaystyle{\boldsymbol{k}}\wedge{\boldsymbol{i}}}  分別映射為 k {\displaystyle{\boldsymbol{k}}}  ， i {\displaystyle{\boldsymbol{i}}}  ， j {\displaystyle{\boldsymbol{j}}}  ，則 ϕ {\displaystyle\phi}  的定義與右手的標準正交基如何選取無關。

不難看出，對任意向量 u {\displaystyle{\boldsymbol{u}}}  和 v {\displaystyle{\boldsymbol{v}}}  ，這個線性同構把楔積 u ∧ v {\displaystyle{\boldsymbol{u}}\wedge{\boldsymbol{v}}}  映射為叉積 u × v {\displaystyle{\boldsymbol{u}}\times{\boldsymbol{v}}}  。

這就是叉乘（向量積）的實質。

叉積可以用帶向量的行列式： a × b =   | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | {\displaystyle\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\{\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}  來表示，但要注意這個行列式形式並不代表一個「真正」的行列式，因為第一行的分量不是數，而是向量。

這個計算之所以正確是得益於線性同構 ϕ {\displaystyle\phi}  。

[52] 歷史編輯 行列式的概念最初是伴隨着方程組的求解而發展起來的。

行列式的提出可以追溯到十七世紀，最初的雛形由日本數學家關孝和與德國數學家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨立得出，時間相差132年。

早期研究編輯  關孝和在《解伏題之法》中首次運用行列式的概念 1545年，卡當在著作《大術》（ArsMagna）中給出了一種解兩個一次方程組的方法。

他把這種方法稱為「母法」（regulademodo）。

這種方法和後來的克萊姆法則已經很相似了，但卡當並沒有給出行列式的概念[53]。

1683年，日本數學家關孝和在其著作《解伏題之法》中首次引進了行列式的概念。

書中出現了 2 × 2 {\displaystyle2\times2}  、 3 × 3 {\displaystyle3\times3}  乃至 5 × 5 {\displaystyle5\times5}  的行列式，行列式被用來求解高次方程組[54][55]。

1693年，德國數學家萊布尼茨開始使用指標數的系統集合來表示有三個未知數的三個一次方程組的係數。

他從三個方程的系統中消去了兩個未知量後得到一個行列式。

這個行列式不等於零，就意味着有一組解同時滿足三個方程[56][57][54]。

由於當時沒有矩陣的概念，萊布尼茨將行列式中元素的位置用數對來表示：ij代表第i行第j列。

萊布尼茨對行列式的研究成果中已經包括了行列式的展開和克萊姆法則，但這些結果在當時並不為人所知[58]。

任意階數的行列式編輯 1730年，蘇格蘭數學家科林·麥克勞林在他的《論代數》中已經開始闡述行列式的理論，記載了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，並給出了四元一次方程組的一般解的正確形式，儘管這本書直到麥克勞林逝世兩年後（1748年）才得以出版[59]。

 約瑟夫·拉格朗日 1750年，瑞士的加布里爾·克萊姆首先在他的《代數曲線分析引論》給出了n元一次方程組求解的法則，用於確定經過五個點的一般二次曲線的係數，但並沒有給出證明[60]。

其中行列式的計算十分複雜，因為是定義在奇置換和偶置換上的[61]。

此後，關於行列式的研究逐漸增多。

1764年，法國的艾蒂安·裴蜀的論文中關於行列式的計算方法的研究簡化了克萊姆法則，給出了用結式來判別線性方程組的方法[54][62]。

同是法國人的亞歷山德·西奧菲勒·范德蒙德（Alexandre-ThéophileVandermonde）則在1771年的論著中第一個將行列式和解方程理論分離，對行列式單獨作出闡述。

這是數學家們開始對行列式本身進行研究的開端[63]。

1772年，皮埃爾-西蒙·拉普拉斯在論文《對積分和世界體系的探討》中推廣了范德蒙德著作裡面將行列式展開為若干個較小的行列式之和的方法，發展出子式的概念。

一年後，約瑟夫·拉格朗日發現了 3 × 3 {\displaystyle3\times3}  的行列式與空間中體積的聯繫。

他發現：原點和空間中三個點所構成的四面體的體積，是它們的坐標所組成的行列式的六分之一[64][54]。

行列式在大部分歐洲語言中被稱為「determinant」（某些語言中詞尾加e或o，或變成s），這個稱呼最早是由卡爾·弗里德里希·高斯在他的《算術研究》中引入的。

這個稱呼的詞根有「決定」意思，因為在高斯的使用中，行列式能夠決定二次曲線的性質。

在同一本著作中，高斯還敘述了一種通過係數之間加減來求解多元一次方程組的方法，也就是現在的高斯消元法[54]。

行列式的現代概念編輯  詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特 進入十九世紀後，行列式理論進一步得到發展和完善。

奧古斯丁·路易·柯西在1812年首先將「determinant」一詞用來表示十八世紀出現的行列式，此前高斯只不過將這個詞限定在二次曲線所對應的係數行列式中。

柯西也是最早將行列式排成方陣並將其元素用雙重下標表示的數學家（垂直線記法是阿瑟·凱萊在1841年率先使用的）[65]。

柯西還證明了行列式的乘法定理（實際上是矩陣乘法），這個定理曾經在雅克·菲利普·瑪利·比內（JacquePhilippeMarieBinet）的書中出現過，但沒有證明[66][54][65]。

十九世紀五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數學研究中[67]。

行列式和矩陣之間的密切關係使得矩陣論蓬勃發展的同時也帶來了許多關於行列式的新結果，例如阿達馬不等式、正交行列式、對稱行列式等等[68]。

與此同時，行列式也被應用於各種領域中。

高斯在二次曲線和二次型的研究中使用行列式作為二次曲線和二次型劃歸為標準型時的判別依據。

之後，卡爾·魏爾斯特拉斯和西爾維斯特又完善了二次型理論，研究了 λ {\displaystyle\lambda}  -矩陣的行列式以及初等因子[69][70]。

行列式被用於多重函數的積分大約始於十九世紀三十年代。

1832年至1833年間卡爾·雅可比發現了一些特殊結果，1839年，歐仁·查爾·卡塔蘭（EugèneCharlesCatalan）發現了所謂的雅可比行列式[71][72]。

1841年，雅可比發表了一篇關於函數行列式的論文，討論函數的線性相關性與雅可比行列式的關係[73]。

應用編輯 行列式與線性方程組編輯 主條目：線性方程組 行列式的一個主要應用是解線性方程組。

當線性方程組的方程個數與未知數個數相等時，方程組不一定總是有唯一解。

對一個有n個方程和n個未知數的線性方程組，我們研究未知數係數所對應的行列式。

這個線性方程組有唯一解當且僅當它對應的行列式不為零。

這也是行列式概念出現的根源[74]。

當線性方程組對應的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。

但用克萊姆法則求解計算量巨大，因此並沒有實際應用價值，一般用於理論上的推導[75]。

行列式與矩陣編輯 主條目：矩陣 矩陣的概念出現得比行列式晚，直到十九世紀中期才被引入，然而兩者在本質上仍然有密切關係。

通過矩陣，線性方程組可以表示為 A x = b {\displaystyle\mathbf{A}x=b}  其中 A {\displaystyle\mathbf{A}}  是由方程組中未知數的係數構成的方塊矩陣， x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T {\displaystylex=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathbf{T}}}  是未知數，而 b = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T {\displaystyleb=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{\mathbf{T}}}  。

在矩陣理論中，行列式也有各種用途。

多項式 p ( x ) = det ( x I − A ) {\displaystylep(x)=\det(xI-A)}  稱為方塊矩陣 A {\displaystyleA}  的特徵值多項式。

這是一個由行列式定義的多項式，它的解是矩陣所有的特徵值。

換句話說， x {\displaystylex}  是矩陣 A {\displaystyleA}  的特徵值當且僅當 x I − A {\displaystylexI-A}  不是可逆矩陣。

特徵值多項式在矩陣理論中有重要的應用[76]。

行列式與多項式編輯 早在高斯的時代，行列式就和多項式的研究聯繫在一起。

行列式的一個應用是在所謂的「結式」上。

結式是兩個多項式 p {\displaystyle\displaystylep}  和 q {\displaystyle\displaystyleq}  的西爾維斯特矩陣的行列式。

兩個多項式的結式等於0當且僅當它們有高於或等於一次的公因子多項式。

結式還可以判斷多項式是否有重根：如果多項式 p {\displaystyle\displaystylep}  和它的微分多項式 p ′ {\displaystyle\displaystylep^{\prime}}  的結式不為零，那麼這個多項式沒有重根，否則有重根[77]。

行列式在多項式逼近理論中也有出現。

給定一組插值點，判別插值多項式的存在性需要看所謂的范德蒙矩陣，而由於范德蒙矩陣的行列式不為零，因此根據克萊姆法則，插值多項式唯一存在（次數小於插值點個數）[78]。

朗斯基行列式編輯 主條目：朗斯基行列式 朗斯基行列式是函數矩陣的行列式，因此本身也是一個函數。

給定n個n-1次連續可微函數，f1、...、fn，它們的朗斯基行列式W(f1,...,fn)為： W ( f 1 , … , f n ) ( t ) = | f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋯ f n ( t ) f 1 ′ ( t ) f 2 ′ ( t ) ⋯ f n ′ ( t ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) ( t ) f 2 ( n − 1 ) ( t ) ⋯ f n ( n − 1 ) ( t ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\cdots&f_{n}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)&\cdots&f_{n}'(t)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\cdots&f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}}}  [79]可以證明，如果f1、...、fn線性相關，那麼它們的朗斯基行列式恆等於零[79]。

在線性微分動力系統理論中，朗斯基行列式用來判別若干個解的線性相關性。

如果n個解f1、...、fn線性無關，那麼它們的朗斯基行列式將總不為零[80]。

根據劉維爾定理，n維空間上的線性微分方程： Y ′ = A ( t ) Y {\displaystyleY^{\prime}=A(t)Y}  的基礎解系所構成的朗斯基行列式 W ( t ) {\displaystyleW(t)}  滿足： W ′ ( t ) = t r A ( t ) W ( t ) {\displaystyleW'(t)={\rm{tr}}\,A(t)W(t)}  ，[79]同樣地，線性微分方程： y ( n ) = a 0 ( t ) y + a 1 ( t ) y ′ + a 2 ( t ) y ″ + . . . + a n − 1 ( t ) y ( n − 1 ) {\displaystyley^{(n)}=a_{0}(t)y+a_{1}(t)y'+a_{2}(t)y''+...+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}\,}  的基礎解系所構成的朗斯基行列式 W ( t ) {\displaystyleW(t)}  滿足： W ′ ( t ) = a n − 1 ( t ) W ( t ) {\displaystyleW'(t)=a_{n-1}(t)W(t)}  [79]行列式與多重積分編輯 主條目：雅可比矩陣  雅可比行列式是把一個體積元（藍色）變換成另一個（紅色）時兩者的體積之比 行列式體現了線性變換對於空間體積的作用，對於非線性的函數，其對體積的影響更為複雜，但對於足夠「良好」的函數，在一個微小的範圍內，比如說在空間中一點的附近，可以將函數的效果近似地用線性的變換來代替。

由此，對於某些函數，也可以將它在某一點附近的作用效果用它在這一點上的偏導數構成的矩陣（稱為雅可比矩陣）來表示。

這類行列式被稱為「雅可比行列式」，即是雅可比矩陣的行列式，只對連續可微的函數有定義[81]。

在計算「體積」的多重積分中，雅可比行列式應用於換元積分的時候。

積分的思想是將空間割成許多個微小的體積元，稱為積分元素，再將每個體積元上的函數值乘以體積元的體積後相加。

將一個積分元素換為另一個積分元素時，實際上作了一次對空間中體積的度量方式的改變：分劃體積元的方式不同了。

譬如在二維空間中，將直角坐標積分換為極坐標積分時，面積元素由方塊區域變成扇形區域。

因此，要測量這種體積度量方式的改變，可以將這種變換看成一個非線性的變換函數（實際上是一個微分同胚）： φ : R n ⟶ R n {\displaystyle\varphi:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}}  。

而它在每一點的影響可以通過雅可比行列式來體現[82]。

行列式與非線性方程組及分枝理論編輯 主條目：牛頓法和分枝理論 運用雅可比行列式的還有非線性方程組的數值求解。

對於一般的非線性方程組，不存在求解公式，只能夠用數值分析的方法求近似解。

求近似解的基本思想也是將非線性問題在局部的地方逐步線性化，化歸為線性方程組來求解。

設有方程組： { f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 ⋮ ⋮ f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0\\\quad\vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\quad\\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0\end{cases}}}  其中 f = ( f 1 , ⋯ , f n ) {\displaystylef=(f_{1},\cdots,f_{n})}  是連續可微函數，並在解的附近雅可比行列式不為零，那麼可以用牛頓法迭代求得近似解。

迭代程序為： f ( x ( k + 1 ) ) = x ( k ) − det ( J f ( x ( k ) ) ) − 1 f ( x ( k ) ) ( k = 0 , 1 , ⋯ ) {\displaystylef(x^{(k+1)})=x^{(k)}-\det(\mathbf{J}_{f}(x^{(k)}))^{-1}f(x^{(k)})\qquad(k=0,1,\cdots)}  其中的 x ( k ) = ( x 1 ( k ) , x 2 ( k ) , ⋯ , x n ( k ) ) {\displaystylex^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\cdots,x_{n}^{(k)})}  是第k次迭代時的解的近似數值。

每次迭代時先求解關於線性方程組 J f ( x ( k ) ) Δ x ( k ) = f ( x ( k ) ) {\displaystyle\mathbf{J}_{f}(x^{(k)})\Deltax^{(k)}=f(x^{(k)})}  然後計算新的近似值 x ( k + 1 ) = x ( k ) − Δ x ( k ) {\displaystylex^{(k+1)}=x^{(k)}-\Deltax^{(k)}}  [83]在實際應用中，還需要考慮帶有參數的非線性方程組： { f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , λ ) = 0 ⋮ ⋮ f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , λ ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda)=0\\\quad\vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\quad\\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda)=0\end{cases}}}  其中的 λ {\displaystyle\lambda}  可以代表溫度、外力等環境因素。

當環境改變時，方程解上的雅可比行列式可能從非零變為零。

雅可比行列式為零的點稱為臨界點或分支點，是方程的解改變性質的地方。

和線性方程組類似，當雅可比行列式的值為零時，方程組會出現局部多值的情況。

尋找分支點和分支方向的研究是非線性方程求解的一大問題。

[84] 參見編輯  數學主題 多重線性映射 矩陣論 伴隨矩陣 結式 子式和餘子式 不變因子 黑塞矩陣 格拉姆矩陣 體積形式 空間定向 混合積 積和式 斯萊特行列式 阿達馬不等式 廣義克羅內克函數 量子行列式 薩呂法則 參考文獻編輯 引用編輯 ^項武義，《基礎代數學》，第92頁 ^居余馬，《線性代數》第2-5頁 ^張賢科，《高等代數學》，第38頁 ^（英文）M.R.Adhikari.Textbookoflinearalgebra:anintroductiontomodernalgebra.AlliedPublishersPvtLtd.2004.ISBN 978-8-177-64591-0. ，第461頁 ^張賢科，《高等代數學》，第33頁 ^6.06.1Harold，頁34 ^7.07.1Harold，頁35 ^8.08.18.2張賢科，《高等代數學》，第40頁 ^9.09.19.29.39.4（中文）項武義.基礎代數學.人民教育出版社.2004.ISBN 7-107-17679-X. ，第92頁。

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另一方面，若干個複數乘積或和的共軛等於其共軛的乘積或和。

從而當每個係數都取共軛後，行列式這個多項式的值也變成原來的共軛。

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