利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组 - 四都教育

然后将此式与第一个方程联立，消去y y ，得到关于x x 的二阶方程，求出此方程，再代入到方程组里的第二个方程，就可以求出y y 。

对于三个和三个以上的 ... 跳至内容我们知道，每一个高阶微分方程都可以对应一个一阶微分方程组，所以高阶的微分方程可以用一阶微分方程组来求解。

反之，一阶的微分方程组也可以用高阶的微分方程来求解。

我们来看一下如何利用高阶微分方程来求解一阶的线性微分方程组。

我们以两个函数的方程组来说明如何使用这个方法。

设有一阶方程组\begin{cases}\frac{dx}{dt}=f(t,x,y)\\\frac{dy}{dt}=g(t,x,y)\end{cases}将第一个方程求导，得到\(\displaystyle\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{df}{dt}\)，将方程组代入到右边，得到\[\frac{d^2x}{dt^2}=h(t,x,y)\]然后将此式与第一个方程联立，消去\(y\)，得到关于\(x\)的二阶方程，求出此方程，再代入到方程组里的第二个方程，就可以求出\(y\)。

对于三个和三个以上的未知函数的方程，可以类似处理。

我们来看例题。

例1，求方程组的通解，\begin{cases}\frac{dx}{dt}+y=\cost\\\frac{dy}{dt}+x=\sint\end{cases}解：将第一个方程对\(t\)求导，得到\[\frac{d^2x}{dt^2}+\frac{dy}{dt}=-\sint\]将\(\frac{dy}{dt}=-x+\sint\)代入上式，得到\[\frac{d^2x}{dt^2}-x=-2\sint\]利用二阶常系数非齐次方程的解，不难求出它的通解为\[x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sint\]将它代入第二个方程，得到\[\frac{dy}{dt}+C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sint=\sint\]也就是\[\frac{dy}{dt}=-C_1e^{x}-C_2e^{-x}\]两边积分，就得到\[y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\]所以方程的通解为\begin{cases}x=C_1e^{x}+C_2e^{-x}+\sint\\y=-C_1e^x+C_2e^{-x}\end{cases}文章导航上一篇上篇文章：如何理解中心极限定理？下一篇下篇文章：我是怎么自学数学的近期文章线性代数必会技巧细说我是怎么自学数学的利用高阶微分方程求解一阶线性微分方程组如何理解中心极限定理？如何计算对坐标的曲面积分