106年大學學測數學科詳解 - 朱式幸福

106年大學學測數學科詳解. 106學年度學科能力測驗試題. 數學考科. 第壹部分：選擇題（占65 分） 一、單選題 1. 已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為r1 ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2018年2月14日星期三 106年大學學測數學科詳解 106學年度學科能力測驗試題 數學考科 第壹部分：選擇題（占65分） 一、單選題 1.已知某校老師玩過「寶可夢」的比率為\(r_1\)，而學生玩過的比率為\(r_2\)，其中\(r_1\ner_2\)。

由下列選項中的資訊，請選出可以判定全校師生玩過「寶可夢」的比率之選項。

(1)全校老師與學生比率   (2)全校老師人數   (3)全校學生人數 (4)全校師生人數      (5)全校師生玩過「寶可夢」人數 解： 如果我們知道全校老師與學生比率為\(a:b\)，則全校師生玩過「寶可夢」的比率為$$\frac{a}{a+b}\timesr_1+\frac{b}{a+b}\timesr_2=\frac{ar_1+br_2}{a+b}$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\) 2.某個手機程式，每次點擊螢幕上的數\(a\)後，螢幕上的數會變成\(a^2\)。

當一開始時螢幕上的數\(b\)為正且連續點擊螢幕三次後，螢幕上的數接近\(81^3\)。

試問實數\(b\)最接近下列哪一個選項？ (1)1.7   (2)3   (3)5.2   (4)9   (5)81 解： \(b\)按一次變成\(b^2\)，再按一次變成\((b^2)^2\)，按第三次後變成\(((b^2)^2)^2=b^8=81^3=3^{12}\) \(\Rightarrow(b^2)^4=(3^3)^4\Rightarrowb^2=27\Rightarrowb=3\sqrt{3}\approx3\times1.732\approx5.2\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 3.設\(\Gamma:\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1\)為坐標平面上一雙曲線，且其通過第一象限的漸近線為\(\ell\)。

考慮動點\(t,t^2\)，從時間\(t\)時出發。

當\(t>0\)時，請選出正確的選項。

(1)此動點不會碰到\(\Gamma\)，也不會碰到\(\ell\) (2)此動點會碰到\(\Gamma\)，但不會碰到\(\ell\) (3)此動點會碰到 \(\ell\)，但不會碰到\(\Gamma\) (4)此動點會先碰到\(\Gamma\)，再碰到\(\ell\) (5)此動點會先碰到\(\ell\)，再碰到\(\Gamma\) 解： 由雙曲線方程式可知其為上下形，漸近線為\(by=ax\)，另\((t,t^2)\)代表拋物線\(y=x^2\) 由漸近線與拋物線兩方程式可求其在\(x=\frac{a}{b}\)有交點\(A=(\frac{a}{b},\frac{a^2}{b^2})\) 由於漸近線一定在雙曲線下方，所以拋物線會先與直線有交點，再與雙曲線有交點 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 4.在右下圖的正立方體上有兩質點分別自頂點\(A,C\)同時出發，各自以等速直線運動分別向頂點\(B,D\)前進，且在1秒後分別同時到達\(B,D\)。

請選出這段時間兩質點距離關係的正確選項。

(1)兩質點的距離固定不變 (2)兩質點的距離越來越小 (3)兩質點的距離越來越大 (4)在\(\frac{1}{2}\)秒時兩質點的距離最小 (5)在\(\frac{1}{2}\)秒時兩質點的距離最大 解： 假設O為原點，各D座標如上圖。

由A→B可知:A'=(t,1,0)；由C→D可知：C'=(1,0,t)；A'及C'代表A及C在t時間的座標\(0\let\le1\) 則\(\overline{A'C'}=\sqrt{(t-1)^2+1+t^2}=\sqrt{2t^2-2t+2}=\sqrt{2(t-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{2}}\)，因此\(t=\frac{1}{2}\)有最小值。

故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 5.下圖是某城市在2016年的各月最低溫（橫軸）與最高溫（縱軸）的散佈圖。

今以溫差（最高溫減最低溫）為橫軸且最高溫為縱軸重新繪製一散佈圖。

試依此選出正確的選項。

(1)最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (2)最高溫與溫差為正相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (3)最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性強 (4)最高溫與溫差為負相關，且它們的相關性比最高溫與最低溫的相關性弱 (5)最高溫與溫差為零相關 解： 為了快速回答問題，我們將原圖簡化如下： 則從新繪製的散佈圖很容易可以得到，如下圖： 實際的圖形當然不會剛好一直線，也就是溫差變動很小，但最高溫越來越高，其相關性較〈最低溫-最高溫〉弱很多； 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 6.試問有多少個實數\(x\)滿足\(\frac{\pi}{2}\lex\le\frac{3\pi}{2}\)且\(\cos{x^\circ}0\Rightarrow\left(m,n\right)=\left(3,1\right),\left(4,2\right)且\frac{b}{a}>0$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3)}\) 9.設\(\Gamma\)為坐標平面上的圓，點(0,0)在\(\Gamma\)的外部且點(2,6)在\(\Gamma\)的內部。

請選出正確的選項。

(1) \(\Gamma\)的圓心不可能在第二象限 (2) \(\Gamma\)的圓心可能在第三象限且此時\(\Gamma\)的半徑必定大於10 (3) \(\Gamma\)的圓心可能在第一象限且此時\(\Gamma\)的半徑必定小於10 (4) \(\Gamma\)的圓心可能在軸上且此時圓心的\(x\)坐標必定小於10 (5) \(\Gamma\)的圓心可能在第四象限且此時\(\Gamma\)的半徑必定大於10 解： 令圓心坐標為\(x,y\)，依題意\(x^2+y^2>(x-2)^2+(y-6)^2\Rightarrowx+3y>10\)，其範圍如下圖藍色區域 故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 10.坐標空間中有三直線\(L_1:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{2}=\frac{z}{1},L_2:\begin{cases}x-2y+2z=-4\\x+y-4z=5\end{cases},L_{3}:\begin{cases}x=-t\\y=-2-t\\z=4+4t\end{cases},t\)為實數。

請選出正確的選項。

(1) \(L_1\) 與 \(L_2\)的方向向量互相垂直 (2) \(L_1\) 與\(L_3\) 的方向向量互相垂直 (3)有一個平面同時包含 \(L_1\)與\(L_2\)  (4)有一個平面同時包含 \(L_1\)與\(L_3\)  (5)有一個平面同時包含 \(L_2\)與 \(L_3\) 解： \(L_1\)的方向向量\(\vec{u}\)為(2,2,1) \(L_{2}:\begin{cases}x-2y+2z=-4\\x+y-4z=5\end{cases}\equiv\frac{x-2}{2}=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{1}\)的方向向量\(\vec{v}\)也是(2,2,1) (1) \(L_1\) 與 \(L_2\)平行，此選項錯誤 (2)\(L_3\)的方方向量\(\vec{w}\)為(-1,-1,4)\(\vec{u}\cdot\vec{w}=-2-2+4=0\Rightarrow\vec{u}\bot\vec{w}\)此選項正確 (3) \(L_1\) 與 \(L_2\)平行，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確 (4)將\(L_3\)代入\(L_1\)可得$$\frac{-t-1}{2}=\frac{-t-1}{2}=\frac{4+4t}{1}\Rightarrow-t-1=8+8t\Rightarrowt=-1$$此兩線有一交點，可以找到一平面同時包含兩者，此選項正確 (5)將\(L_3\)代入\(L_2\)可得$$\begin{cases}x-2y+2z=-4\\x+y-4z=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}-t+2(t+2)+2(4t+4)=-4\\-t-2-t-4(4+4t)=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}t=-\frac{16}{9} \\t=-\frac{23}{18} \end{cases}$$兩直線無交點，表示歪斜，此選項錯誤 故選\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\) 11.設最近數學家發現一種新的可以無縫密舖平面的凸五邊形\(ABCDE\)，其示意圖如下。

關於這五邊形，請選出正確的選項。

(1)\(\overline{AD}=2\sqrt{2}\) (2)\(\angleDAB=45^\circ\) (3)\(\overline{BD}=2\sqrt{6}\) (4)\(\angleABD=45^\circ\) (5)\(\triangleBCD面積為2\sqrt{2}\) 解： (1)\(\triangleEDA\)為等腰直角\(\Rightarrow\overline{AD}=2\sqrt{2}\)，此選項正確 (2)\(\angleDAB=105^\circ-45^\circ=60^\circ\)，此選項錯誤 (3)在\(\triangleABD\)中，利用餘弦定理：$${\overline{BD} }^{2}={\overline{AD} }^{2}+{\overline{AB} }^{2}-2\overline{AD}\times\overline{AB}\times\cos{\angleDAB}\\=(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{6}+\sqrt{2})^{2}-2\times2\sqrt{2}\times(\sqrt{6}+\sqrt{2})\times\cos{60^{\circ }}\\=8+8+4\sqrt{3}-(4+4\sqrt{3})=12\Rightarrow\overline{BD}=2\sqrt{3} $$，此選項錯誤 (4)在\(\triangleABD\)中，利用正弦定理：$$\frac{\overline{AD} }{\sin{\angleABD} }=\frac{\overline{BD} }{\sin{\angleDAB} }\Rightarrow\frac{2\sqrt{2} }{\sin{\angleABD} }=\frac{2\sqrt{3} }{\frac{\sqrt{3} }{2} }\\\Rightarrow\sin{\angleABD}=\frac{\sqrt{2} }{2}\Rightarrow\angleABD=45°$$，此選項正確 (5)在\(\triangleCBD\)中，\({ \overline{CD}}^2=4^2=16\)；又\({ \overline{CB}}^2+{ \overline{BD}}^2=2^2+(2\sqrt{3})^2=4+12=16\)。

所以\({ \overline{CD}}^2={ \overline{CB}}^2+{ \overline{BD}}^2\Rightarrow\triangleCBD\)為直角三角形，其面積為\(2\times2\sqrt{3}\div2=2\sqrt{3}\)，此選項錯誤 故選\(\bbox[red,2pt]{(1,4)}\) 12.某班級50位學生，段考國文、英文、數學及格的人數分別為45、39、34人，且英文及格的學生國文也都及格。

現假設數學和英文皆及格的有\(x\)人，數學及格但英文不及格的有\(y\)人。

請選出正確的選項。

(1) \(x+y=39\) (2) \(y\le11\) (3)三科中至少有一科不及格的學生有\(39-x+y\)人 (4)三科中至少有一科不及格的學生最少有11人 (5)三科中至少有一科不及格的學生最多有27人 解： (1)\(x+y\)為數學及格人數=34 (2)\(39+y\le50\Rightarrowy\le11\) (3)三科都及格的學生數=\(x\Rightarrow\)至少有一科不及格的學生有\(50-x\)人 (4)(5)\(x+y=34\)且\(y\le11\Rightarrow0\le(y=34-x)\le11\Rightarrow23\lex\le34\Rightarrow16\le50-x\le27\Rightarrow\)至少有一科不及格的學生至少16且最多27人。

故選\(\bbox[red,2pt]{(2,5)}\) 13.空間中有一四面體\(ABCD\)。

假設\(\overrightarrow{AD}\)分別與\(\overrightarrow{AB}\)和\(\overrightarrow{AC}\)垂直，請選出正確的選項。

(1)\(\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}={\overline{DA}}^2-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) (2)若\(\angleBAC\)是直角，則\(\angleBDC\)是直角 (3)若\(\angleBAC\)是銳角，則\(\angleBDC\)是銳角 (4)若\(\angleBAC\)是鈍角，則\(\angleBDC\)是鈍角 (5)若\(\overline{AB}0\Rightarrow\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}={\left|\overrightarrow{DA} \right| }^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}>0\Rightarrow\angleBDC<90°$$ (4)$$\angleBAC>90°\Rightarrow\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}<0\Rightarrow\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}={\left|\overrightarrow{DA} \right| }^{2}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}無法判斷正負值$$ (5)$$\overline{AB}\overline{AB}\times\overline{AC}+\overline{AB}\times\overline{AC}\cos{\angleBAC}=\overline{AB}\times\overline{AC}\left(1+\cos{\angleBAC} \right)\\\Rightarrow\overrightarrow{DB}\cdot\overrightarrow{DC}>0\Rightarrow\angleBDC<90°$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3,5)}\) 第貳部分：選填題 解：$$令f\left(x\right)=px^{2}+qx+r\Rightarrowa_{n}=a_{n-1}+p\left(n-2\right)^{2}+q\left(n-2\right)+r\\\Rightarrow\begin{cases}a_{4}=12\\a_{3}=5\\a_{2}=2\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}12=5+4p+2q+r\\5=2+p+q+r\\2=1+r\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}2p+q=3\\p+q=2\\r=1\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}p=1\\q=1\\r=1\end{cases}\\\Rightarrowa_{5}=a_{4}+f\left(3\right)=12+9p+3q+r=25$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{(25)}\) 解： $$令\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AP}=t\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC} \right)=\frac{t}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{t}{5}\overrightarrow{AC}\\由於B,M,C在一直線上\Rightarrow\frac{t}{2}+\frac{t}{5}=1\Rightarrowt=\frac{10}{7}\\\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\frac{10}{7}\left(\frac{4}{3},\frac{5}{6} \right)=\left(\frac{40}{21},\frac{25}{21} \right)$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{(\frac{40}{21},\frac{25}{21})}\) 解： 由於都是有理根，所以可能的根為\(\pm1,\pm\frac{1}{5}\)； 正根代入原式會求得a<0，不符要求。

因此先以x=-1代入，可得0=0，表示x=-1為其中一根。

\(5x^3+(a+4)x^2+ax+1=(x+1)(5x^2+(a-1)x+1)\)，目前只要考慮\(5x^2+(a-1)x+1=0\)的有理根。

由於a>0，所以\(5x^2+(a-1)x+1=0\)的有理根可能為\(-\frac{1}{5},-1\)。

以\(x=-1\)代入可得\(5-a+1+1=0\Rightarrow  a=7\)； 以\(x=-\frac{1}{5}\)代入可得\(\frac{1}{5}+\frac{-a+1}{5}+1=0\Rightarrow  a=7\)； 因此a=\(\bbox[red,2pt]{(7)}\) 解： 令首項\(a_1=a\)，公差為\(d\)，將方程組中第2式減第一式，及第3式減去第二式，可得到$$\begin{cases}\left(a_{4}-a_{1}\right)x+(a_{2}-a_{5})y+2(a_{6}-a_{3})z=-2k-6\\\left(a_{7}-a_{4}\right)x+(a_{5}-a_{8})y+2(a_{9}-a_{6})z=2k+14\end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}3dx-3dy+6dz=-2k-6\\3dx-3dy+6dz=2k+14\end{cases}\Rightarrow-2k-6=2k+14\Rightarrowk=-5$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{(-5)}\) 解： 此題要先求出a及b，再由\(\log{a}及\log{b}內插出\log{x}\)$$\log{x}\approx\frac{1}{3}\log{a}+\frac{2}{3}\log{b}=\frac{1}{3}\left(1+2\log{3}-\log{2} \right)+\frac{2}{3}\left(4\log{2}+\log{3} \right)\\=\frac{1}{3}\log{\left(10\times3^{2}\div2\right) }+\frac{2}{3}\log{\left(2^{4}\times3\right) }=\frac{1}{3}\log{45}+\frac{2}{3}\log{48}\\\Rightarrowa=45,b=48\Rightarrowx=\frac{2\times48+45}{2+1}=47$$ 答：\(\bbox[red,2pt]{(47)}\) 解： 跳四步共有\(4^4=256\)種情形，其中以下情況會跳回原點： A.上上下下→共有\(\frac{4!}{2!2!}=6\)種情形 B.左左右右→也是有6種情形 C.上下左右→共有4!=24種情形 A+B+C共有6+6+24=36種情形，機率為\(\frac{36}{256}=\frac{9}{64}\) 故選\(\bbox[red,2pt]{(\frac{9}{64})}\) 解： 6秒鐘內，甲由A向右移了\(4\times6=24\)公尺至B，即\(\overline{AB}=24\)；乙由C向北移動了\(3\times  6=18\)公尺至D，即\(\overline{CD}=18\)；其相對位置如下圖： 在直角\(\triangle  AGB\)中，\({\overline{GB}}^2=24^2+18^2=900\Rightarrow  \overline{GB}=30\)； \(\triangle  AGB\)面積=\(\overline{GB}\times\overline{AH}\div  2 =\overline{AG}\times  \overline{AB}\div  2\Rightarrow  30\times\overline{AH}=24\times  18\Rightarrow  \overline{AH}=14.4\) 直徑為\(\bbox[red,2pt]{14.4}\)公尺 --  END -- 張貼者： C.-H.Chu 於 中午12:03 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 學測 7則留言: 匿名2018年11月21日下午3:01單選6詳解是不是有錯回覆刪除回覆C.-H.Chu2018年11月21日下午3:21剛剛又上網(大考中心)查了答案，第六題是(1)，沒錯！刪除回覆回覆回覆Unknown2018年12月2日晚上7:33為什麼log那題的最後可以直接不看log計算回覆刪除回覆C.-H.Chu2018年12月2日晚上10:38最後是由(a,b)推算x,不是由(log(a),log(b))推算log(x),所以不用計算log...........←我猜你的意思刪除回覆回覆回覆匿名2019年1月5日晚上7:23第六題詳解應該是1.57°<=x<=4.71°吧回覆刪除回覆C.-H.Chu2019年1月6日上午10:08謝謝告知！已修訂刪除回覆回覆回覆Unknown2020年5月10日下午2:16啊啊啊回覆刪除回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (67) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (11) 身障升四技 (21) 指考 (44) 研討會 (45) 海外遊 (30) 特招 (27) 高中數學 (244) 高普考 (110) 高職數學 (166) 國小數學 (2) 國中數學 (101) 國內遊 (54) 基測 (25) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (41) 統測 (80) 微分方程 (7) 微積分 (35) 會考 (14) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (18) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (39) 學測 (13) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (27) DIY (56) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (4) matlab (17) octave (24) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 106年大學學測數學科詳解 107年大學學測數學科詳解 109年大學學測數學科詳解 105年大學學測數學科詳解 109年國中教育會考數學詳解 網誌存檔 ►  2021 (129) ►  十二月 (12) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ►  一月 (9) ►  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (10) ►  七月 (16) ►  六月 (20) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (14) ►  一月 (8) ►  2019 (121) ►  十二月 (17) ►  十一月 (7) ►  十月 (4) ►  九月 (27) ►  八月 (14) ►  七月 (12) ►  六月 (7) ►  五月 (7) ►  四月 (5) ►  三月 (6) ►  二月 (9) ►  一月 (6) ▼  2018 (123) ►  十二月 (16) ►  十一月 (12) ►  十月 (9) ►  九月 (10) ►  八月 (14) ►  七月 (9) ►  六月 (10) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ▼  二月 (10) 105年大學指考數學甲詳解 105年大學指考數學乙詳解 105年大學學測數學科詳解 行李箱換鎖(海關鎖)DIY 106年大學指考數學甲詳解 106年大學指考數學乙詳解 106年大學學測數學科詳解 越南電話卡(上網卡)及網路分享器使用心得 107年大學學測數學科詳解 103學年度高中運動績優生甄試--數學科詳解 ►  一月 (6) ►  2017 (49) ►  十二月 (7) ►  十一月 (10) ►  十月 (5) ►  九月 (7) ►  八月 (2) ►  七月 (4) ►  六月 (2) ►  五月 (6) ►  四月 (1) ►  三月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (2) ►  2016 (89) ►  十二月 (1) ►  十一月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (31) ►  五月 (26) ►  四月 (5) ►  三月 (4) ►  二月 (9) ►  一月 (3) ►  2015 (29) ►  十二月 (2) ►  十一月 (3) ►  九月 (3) ►  八月 (4) ►  七月 (4) ►  五月 (1) ►  四月 (1) ►  三月 (4) ►  二月 (5) ►  一月 (2) ►  2014 (65) ►  十二月 (6) ►  十一月 (5) ►  十月 (4) ►  九月 (1) ►  八月 (4) ►  七月 (6) ►  六月 (9) ►  五月 (7) ►  四月 (1) ►  三月 (9) ►  二月 (8) ►  一月 (5) ►  2013 (83) ►  十二月 (4) ►  十一月 (7) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (8) ►  七月 (8) ►  六月 (6) ►  五月 (6) ►  四月 (9) ►  三月 (5) ►  二月 (9) ►  一月 (8) ►  2012 (60) ►  十二月 (10) ►  十一月 (10) ►  十月 (18) ►  九月 (15) ►  八月 (1) ►  七月 (1) ►  六月 (3) ►  五月 (1) ►  一月 (1) ►  2011 (2) ►  七月 (1) ►  一月 (1) 總網頁瀏覽量 關於我自己 C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline