109年大學指考數學乙詳解 - 朱式幸福

109年大學指考數學乙詳解. 109學年度指定科目考試試題. 數學乙. 第壹部分：選擇題 一、單選題. 解：. $$A=\left[ \matrix{-1 & 0 \\ 1 & -1}\right] ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2020年7月5日星期日 109年大學指考數學乙詳解 109學年度指定科目考試試題 數學乙 第壹部分：選擇題 一、單選題 解： $$A=\left[\matrix{-1&0\\1&-1}\right]\RightarrowA^2=\left[\matrix{-1&0\\1&-1}\right]\left[\matrix{-1&0\\1&-1}\right]=\left[\matrix{1&0\\-2&1}\right]\\\RightarrowA^4=\left[\matrix{1&0\\-2&1}\right]\left[\matrix{1&0\\-2&1}\right]=\left[\matrix{1&0\\-4&1}\right]\\\RightarrowA^5=\left[\matrix{1&0\\-4&1}\right] \left[\matrix{-1&0\\1&-1}\right]=\left[\matrix{-1&0\\5&-1}\right]，故選\bbox[red,2pt]{(5)}$$ 解： $$\begin{array}{} A(3)&B(3)&C(2)&數量\\\hline 甲乙+1&3&2&C^6_1C^5_3C^2_2\\ 3&甲乙+1&2&C^6_3C^3_1C^2_2\\ 3&3&甲乙&C^6_3C^3_3\\\hline \end{array}\\\Rightarrow共有C^6_1C^5_3C^2_2+C^6_3C^3_1C^2_2+C^6_3C^3_3=60+60+20=140種分法，故選\bbox[red,2pt]{(1)}$$ 解：$$大體而言，X與Y為正相關，X大則Y大，故選\bbox[red,2pt]{(4)}$$ 二、多選題 解： $$f(x)=0沒有實根\Rightarrow\cases{凹向上,且f(x)>0,x\inR\\凹向下,且f(x)<0,x\inR}\\(1)\times:若圖形凹向下，則f(0)<0;\\(2)\bigcirc:\cases{凹向上\Rightarrow\cases{f(1)>0\\f(2)>0}\Rightarrowf(1)f(2)>0\\凹向下\Rightarrow\cases{f(1)<0\\f(2)<0}\Rightarrowf(1)f(2)>0}\Rightarrowf(1)f(2)>0\\(3)\bigcirc:\cases{f(x)=0無實根\\f(x)-1=0有實根}\Rightarrowy=f(x)圖形為凹向上\Rightarrowf(x)-2=0有實根\\(4)\bigcirc:f(x)-1=0有重根\Rightarrow圖形凹向上且y=f(x)-1與x軸相切\\\qquad\Rightarrow y=f(x)-1/2與x軸不相交\Rightarrowf(x)-1/2=0無實根\\(5)\times:圖形無法確定凹向上或向下，因此不能確定f(x)-1/2=0是否有實根\\，故選\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}$$ 解：$$\cases{\cases{a_1=3\\r_1=1/3}\Rightarrowa_1=3,a_3=1,a_5=1/3,a_7=1/9,\dots,a_{2k-1}={1\over3^{k-2}},k=1,2,...\\\cases{a_2=2\\r_2=1/2}\Rightarrowa_2=2,a_4=1,a_6=1/2,a_8=1/4,\dots,a_{2k}={1\over2^{k-2}},k=1,2,...}\\(1)\times:\cases{a_4=1\\a_5=1/3\\a_6=1/2\\a_7=1/9}\Rightarrowa_4>a_6>a_5>a_7\\(2)\bigcirc:\cases{a_{10}=a_{2\times5}={1\over2^{5-2}}={1\over2^3}={1\over8}\\a_{11}=a_{2\times6-1}={1\over3^{6-2}}={1\over3^4}={1\over81}}\Rightarrow{a_{10}\overa_{11}}={81\over8}>{80\over8}=10\\(3)\bigcirc:公比小於1且為正值，因此\lim_{n\to\infty}a_n=1\\(4)\times:若n=2k-1\Rightarrow{a_{n+1}\overa_n}={a_{2k}\overa_{2k-1}}={1/2^{k-2}\over1/3^{k-2}}={3^{k-2}\over2^{k-2}}=({3\over2})^{k-2}\\\qquad\lim_{n\to\infty}{a_{n+1}\overa_n}=\lim_{k\to\infty}({3\over2})^{k-2}=\infty\ne0\\(5)\times:a_1+\cdots+a_{100}=(a_1+a_3+\cdots+a_{99})+(a_2+a_4+\cdots+a_{100})\\\qquad=\left(3+1+\cdots+1/3^{48}\right)+\left(2+1+\cdots+1/2^{48}\right)\\\qquad={3-1/3^{49}\over1-1/3}+{2-1/2^{49}\over1-1/2}={1\over2}\left(3^2-{1\over3^{48}}\right)+2^2-{1\over2^{48}}={17\over2}-{1\over2\cdot3^{48}}-{1\over2^{48}}\not\gt9\\故選\bbox[red,2pt]{(2,3)}$$ 解： $$(1)\times:棋子與原點距離為2\Rightarrow點數為3或4\Rightarrow機率為2/6=1/3\\(2)\bigcirc:{1\over6}(0+1-2+2-4+3)=0\\(3)\times:沒有辦法在\{0,1,-2,2,-4,3\}任挑2數(可重複挑選)，其和為-5\\(4)\bigcirc:點數和為奇數的機率為1/2，其中(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(3,6),(4,1),(6,1),(6,3)共有8種，機率為8/36；\\\qquad因此該條件機率為{8/36\over1/2}=4/9\\(5)\times:(1,1,1),(1,3,4)\xrightarrow{排列數}6,(2,2,3)\xrightarrow{排列數}3,(2,5,6)\xrightarrow{排列數}6,(4,4,5)\xrightarrow{排列數}3;\\\qquad棋子在原點機率為{1+6+3+6+3\over6^3}\ne{1\over6^3}\\故選\bbox[red,2pt]{(2,4)}$$  三、選填題 解： $$\cases{A(1,6)\\B(4,5)\\C(6,2)\\f(x,y)=7x+2y}\Rightarrow\cases{f(A)\lek\\f(B)\lek\\f(C)\lek}\Rightarrow\cases{19\lek\\38\lek\\46\lek}\Rightarrowk至少為\bbox[red,2pt]{46}$$ 解： $$\cases{P(X=1)={1\over1}s\\P(X=2)={1\over2}s\\P(X=3)={1\over3}s\\P(X=4)={1\over4}s},s為一常數\Rightarrow\sum_{k=1}^4P(X=k)=1\Rightarrow(1+{1\over2}+{1\over3}+{1\over4})s=1\\ \Rightarrow{25\over12}s=1\Rightarrow s={12\over25}\RightarrowP(X=3)={1\over3}s={1\over3}\cdot{12\over25}=\bbox[red,2pt]{4\over25}$$ 解： $$\cases{經理薪資a\\秘書薪資b\\業務薪資c\\s=a+b+c}\Rightarrow\cases{0.1b=0.03s\\0.2c=0.04s\\0.15a=p\cdots}\Rightarrow\cases{b=0.3s\\c=0.2s\\a={20\over3}p\cdots}\\\Rightarrows=(0.3+0.2+{20\over3}p)s\Rightarrow{20\over3}p=0.5\Rightarrow{3\over40}=\bbox[red,2pt]{7.5}\%$$ 解： $$直線y=2x+4與x軸交於R(-2,0)，並令P(b,2b+4)，即\cases{P(b,2b+4)\\Q(a,2a+4)\\R(-2,0)}\\\Rightarrow\cases{\overrightarrow{AQ}=(a,2a+4)\\\overrightarrow{BP}=(b-1,2b+4)}；又\overrightarrow{AQ}\parallel\overrightarrow{BP}\Rightarrow\overrightarrow{AQ}=k\overrightarrow{BP}\Rightarrow{a\overb-1}={2a+4\over2b+4}\Rightarrowb=(3a+2)/2\\\RightarrowP({3a+2\over2},3a+6)\Rightarrow\triangleRPB面積={1\over2}\times\overline{RB}\timesh={1\over2}\times3\times(3a+6)={9\over2}(a+2)\\由於{\triangleRQA\over\triangleRPB}={\overline{RA}^2\over\overline{RB}^2}={4\over9}\Rightarrow\triangleRQA={4\over9}\triangleRPB\Rightarrow梯形ABPQ=(1-{4\over9})\triangleRPB={5\over9}\triangleRPB\\={5\over9}\times{9\over2}(a+2)={5\over2}(a+2)=\bbox[red,2pt]{{5\over2}a+5}$$ 第貳部份：非選擇題 解： (1)$$\cases{A={\logP_5-\logP_2\over3}={1\over3}(\logP_0(1+r)^5-\logP_0(1+r)^2)={1\over3}\log{P_0(1+r)^5\overP_0(1+r)^2}=\log(1+r)\\B={\logP_8-\logP_6\over2}={1\over2}(\logP_0(1+r)^8-\logP_0(1+r)^6)={1\over2}\log{P_0(1+r)^8\overP_0(1+r)^6}=\log(1+r)}\\\RightarrowA=B$$(2)$${P_{16}\overP_0}=10\Rightarrow{P_0(1+r)^{16}\overP_0}=10 \Rightarrow(1+r)^{16}=10\Rightarrow(1+r)^8=\sqrt{10}\\\Rightarrow{P_{20}\overP_{17}}\times{P_{8}\overP_{6}}\times{P_{5}\overP_{2}}={P_0(1+r)^{20}\overP_0(1+r)^{17}}\times{P_0(1+r)^{8}\overP_0(1+r)^{6}}\times{P_0(1+r)^{5}\overP_0(1+r)^{2}}=(1+r)^3\times(1+r)^2\times(1+r)^3\\=(1+r)^8=\bbox[red,2pt]{\sqrt{10}}$$(3)$$由(2)知:(1+r)^{16}=10\Rightarrow16\log(1+r)=1\Rightarrow\log(1+r)={1\over16}\\\Rightarrow{\logP_{20}-\logP_{17}\over3}={1\over3}\log{P_{20}\overP_{17}} ={1\over3}\log{P_{0}(1+r)^{20}\overP_{0}(1+r)^{17}}={1\over3}\log(1+r)^3=\log(1+r)=\bbox[red,2pt]{1\over16}$$ 解： (1)$$\overline{AB}=\text{dist}(L_1,L_2)=5\Rightarrow\overline{AB}\botL_1\Rightarrow\overline{AB}斜率=\bbox[red,2pt]{-{1\over2}}$$(2)$$\cases{L_1:y=2x+k_1\\A(2,-1)在L_1上}\Rightarrow-1=4+k_1\Rightarrowk_1=-5\RightarrowL_1:y=2x-5\Rightarrow方向向量\vecu=(1,2)\\ \cases{A(2,-1)\\B(a,b)}\Rightarrow\overrightarrow{AB}\bot\vecu\Rightarrow(2-a,-1-b)\cdot(1,2)=0\Rightarrow2-a-2-2b=0\\\Rightarrowa=-2b\RightarrowB(-2b,b)\Rightarrow\overline{AB}=5\Rightarrow(2+2b)^2+(b+1)^2=5^2\Rightarrowb=-1\pm\sqrt5\\由於B在第二象限，因此b=-1+\sqrt5\RightarrowB(2-2\sqrt5,-1+\sqrt5)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\bbox[red,2pt]{(-2\sqrt5,\sqrt5)}$$(3)$$\cases{L_2:y=2x+k_2\\B(2-2\sqrt5,-1+\sqrt5)在L_2上}\Rightarrow-1+\sqrt5=4-4\sqrt5+k_2\Rightarrowk_2=-5+5\sqrt5\RightarrowL_2:y=2x-5+5\sqrt5;\\同理\cases{L_3:y=3x+k_3\\A(2,-1)在L_3上}\Rightarrow-1=6+k_3\Rightarrowk_3=-7\RightarrowL_3:y=3x-7\\求L_3與L_2交點:2x-5+5\sqrt5=3x-7\Rightarrowx=2+5\sqrt5\Rightarrowy=6+15\sqrt5-7=-1+15\sqrt5\\\RightarrowC(2+5\sqrt5,-1+15\sqrt5)\Rightarrow \overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2\sqrt5,\sqrt5)\cdot(5\sqrt5,15\sqrt5)=-50+75=\bbox[red,2pt]{25}$$(4)$$\cases{A(2,-1)\\C(2+5\sqrt5,-1+15\sqrt5)}\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\bbox[red,2pt]{(5\sqrt5,15\sqrt5)}$$ --END  (僅供參考) -- 張貼者： C.-H.Chu 於 晚上10:19 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 指考, 高中數學 6則留言: Unknown2020年7月7日凌晨12:23非選二有更簡單的解析唷回覆刪除回覆回覆Unknown2020年7月7日凌晨12:24怎po照片或掃描檔呢？不然就可以分享我的解法了回覆刪除回覆C.-H.Chu2020年7月7日上午8:45也許可以寄給作者[email protected]，讓大家受惠!刪除回覆回覆回覆Unknown2021年6月3日下午3:54請問如何聯絡呢?您的email是?我的联络电话是0952092666余小姐回覆刪除回覆C.-H.Chu2021年6月3日下午4:[email protected]在網頁右下角『關於我自己』裡面也有!!!刪除回覆回覆回覆Unknown2021年6月3日下午3:55請問如何聯絡呢?您的email是?我的联络电话是0952092666余小姐回覆刪除回覆回覆新增留言載入更多… 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (67) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (11) 身障升四技 (21) 指考 (44) 研討會 (45) 海外遊 (30) 特招 (27) 高中數學 (244) 高普考 (110) 高職數學 (166) 國小數學 (2) 國中數學 (101) 國內遊 (54) 基測 (25) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (41) 統測 (80) 微分方程 (7) 微積分 (35) 會考 (14) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (19) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (39) 學測 (13) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (27) DIY (56) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (4) matlab (17) octave (24) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 106年大學學測數學科詳解 107年大學學測數學科詳解 109年大學學測數學科詳解 105年大學學測數學科詳解 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