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積分因子是一種用來解微分方程的方法。
目次. 1 方法; 2 例子; 3 一般的應用; 4 參見; 5 參考文獻. 方法編輯. 考慮以下形式的微分方程：. y ′ + a ( x ) y = b ( x ) .
積分因子
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積分因子是一種用來解微分方程的方法。
目次
1方法
2例子
3一般的應用
4參見
5參考文獻
方法編輯
考慮以下形式的微分方程：
y
′
+
a
(
x
)
y
=
b
(
x
)
.
.
.
.
.
.
(
1
)
{\displaystyley'+a(x)y=b(x)......(1)}
其中
y
=
y
(
x
)
{\displaystyley=y(x)}
是
x
{\displaystylex}
的未知函數，
a
(
x
)
{\displaystylea(x)}
和
b
(
x
)
{\displaystyleb(x)}
是給定的函數。
我們希望把左面化成兩個函數的乘積的導數的形式。
考慮函數
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
。
我們把(1)的兩邊乘以
M
(
x
)
:
{\displaystyleM(x):}
M
(
x
)
y
′
+
M
(
x
)
a
(
x
)
y
=
M
(
x
)
b
(
x
)
.
.
.
.
.
.
(
2
)
{\displaystyleM(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)......(2)}
如果左面是兩個函數的乘積的導數，那麼：
(
M
(
x
)
y
)
′
=
M
(
x
)
b
(
x
)
.
.
.
.
.
.
(
3
)
{\displaystyle(M(x)y)'=M(x)b(x)......(3)}
兩邊積分，得：
y
(
x
)
M
(
x
)
=
∫
b
(
x
)
M
(
x
)
d
x
+
C
,
{\displaystyley(x)M(x)=\intb(x)M(x)\,dx+C,}
其中
C
{\displaystyleC}
是一個常數。
於是，
y
(
x
)
=
∫
b
(
x
)
M
(
x
)
d
x
+
C
M
(
x
)
.
{\displaystyley(x)={\frac{\intb(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}.\,}
為了求出函數
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
，我們把(3)的左面用乘法定則展開：
(
M
(
x
)
y
)
′
=
M
′
(
x
)
y
+
M
(
x
)
y
′
=
M
(
x
)
b
(
x
)
.
{\displaystyle(M(x)y)'=M'(x)y+M(x)y'=M(x)b(x).\quad\quad\quad}
與(2)比較，可知
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
滿足以下微分方程：
M
′
(
x
)
=
a
(
x
)
M
(
x
)
.
.
.
.
.
.
(
4
)
{\displaystyleM'(x)=a(x)M(x)......(4)\,}
兩邊除以
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
，得：
M
′
(
x
)
M
(
x
)
−
a
(
x
)
=
0......
(
5
)
{\displaystyle{\frac{M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0......(5)}
等式(5)是對數導數的形式。
解這個方程，得：
M
(
x
)
=
e
∫
a
(
x
)
d
x
.
{\displaystyleM(x)=e^{\inta(x)\,dx}.}
我們可以看到，
M
′
(
x
)
=
a
(
x
)
M
(
x
)
{\displaystyleM'(x)=a(x)M(x)}
的性質在解微分方程中是十分重要的。
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
稱為積分因子。
例子編輯
解微分方程
y
′
−
2
y
x
=
0.
{\displaystyley'-{\frac{2y}{x}}=0.}
我們可以看到，
a
(
x
)
=
−
2
x
{\displaystylea(x)={\frac{-2}{x}}}
：
M
(
x
)
=
e
∫
a
(
x
)
d
x
{\displaystyleM(x)=e^{\inta(x)\,dx}}
M
(
x
)
=
e
∫
−
2
x
d
x
=
e
−
2
ln
x
=
(
e
ln
x
)
−
2
=
x
−
2
{\displaystyleM(x)=e^{\int{\frac{-2}{x}}\,dx}=e^{-2\lnx}={(e^{\lnx})}^{-2}=x^{-2}}
M
(
x
)
=
1
x
2
.
{\displaystyleM(x)={\frac{1}{x^{2}}}.}
兩邊乘以
M
(
x
)
{\displaystyleM(x)}
，得：
y
′
x
2
−
2
y
x
3
=
0
{\displaystyle{\frac{y'}{x^{2}}}-{\frac{2y}{x^{3}}}=0}
(
y
x
2
)
′
=
0
{\displaystyle\left({\frac{y}{x^{2}}}\right)'=0}
或
y
x
2
=
C
{\displaystyle{\frac{y}{x^{2}}}=C}
可得
y
(
x
)
=
C
x
2
.
{\displaystyley(x)=Cx^{2}.}
一般的應用編輯
積分因子也可以用來解非線性微分方程。
例如，考慮以下的非線性二階微分方程：
d
2
y
d
t
2
=
A
y
2
/
3
{\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}}
可以看到，
d
y
d
t
{\displaystyle{\tfrac{dy}{dt}}}
是一個積分因子：
d
2
y
d
t
2
d
y
d
t
=
A
y
2
/
3
d
y
d
t
.
{\displaystyle{\frac{d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac{dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac{dy}{dt}}.}
利用複合函數求導法則，可得：
d
d
t
(
1
2
(
d
y
d
t
)
2
)
=
d
d
t
(
A
3
5
y
5
/
3
)
{\displaystyle{\frac{d}{dt}}\left({\frac{1}{2}}\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac{d}{dt}}\left(A{\frac{3}{5}}y^{5/3}\right)}
因此
(
d
y
d
t
)
2
=
6
A
5
y
5
/
3
+
C
0
{\displaystyle\left({\frac{dy}{dt}}\right)^{2}={\frac{6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}
利用分離變量法，可得：
∫
d
y
6
A
5
y
5
/
3
+
C
0
=
t
+
C
1
,
{\displaystyle\int{\frac{dy}{\sqrt{{\frac{6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t+C_{1},}
這就是方程的通解。
參見編輯
微分方程
乘法定則
全微分參考文獻編輯
Adams,R.A.Calculus:ACompleteCourse,4thed.Reading,MA:AddisonWesley,1999.
取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=积分因子&oldid=33380829」
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