99年大學學測數學詳解 - 朱式幸福

99年大學學測數學詳解. 99 學年度學科能力測驗. 數學科詳解. 一、單選題. 解： 假設數列有\(m\)個1，及\((10-m)\)個-1，因此數列和為\(m\times ... 網頁 首頁 國中會考/基測/特招 大考學測及指考 四技統測 警專/運優/身障甄試 學力鑑定及轉學考 教甄 國考 2018年4月30日星期一 99年大學學測數學詳解 99學年度學科能力測驗 數學科詳解 一、單選題 解： 假設數列有\(m\)個1，及\((10-m)\)個-1，因此數列和為\(m\times1+(10-m)\times(-1)=2m-10\)。

由於\(m=0,1,2,\dots,10\)共有11種結果，故選\(\bbox[red,2pt]{(2)}\) 解： $$\begin{vmatrix}5&a\\b&7\end{vmatrix}=4\Rightarrowab=31\Rightarrow(a,b)=(\pm1,\pm31),(\pm31,\pm1)\Rightarrowa+b=32或-32\Rightarrow\left|a+b\right|=32$$，故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 解： 6球取2球，共有\(C^6_2=15\)種取法；三紅球取一球且三白球取一球，共有\(C^3_1\timesC^3_1=9\)種取法。

因此取出異色球的機率為\(\frac{9}{15}=\frac{3}{5}\)，期望值為\(100\times\frac{3}{5}=60\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(5)}\) 解： 三個三角形都是以\(\overline{AB}\)為底，只要計算P、Q、R三點至\(\overline{AB}\)的距離，就可判斷出面積之大小。

由A=(1,0)、B=(0,1)可知直線\(L:\overline{AB}\)方程式為\(x+y-1=0\) \(\overline{PL}=\frac{\pi}{\sqrt{2}},\overline{QL}=\frac{5-\sqrt{3}}{\sqrt{2}},\overline{RL}=\frac{3.5}{\sqrt{2}}\Rightarrowr>q>p\)，故選\(\bbox[red,2pt]{(1)}\) 解： 100小時後細菌的數量為\(1000\times(1+0.08)^{100}\)，由於各選項的單位為「千隻」，因此只要計算\((1.08)^{100}\)的數值就可以了。

$$\log{(1.08)^{100}}=100\times\log{\frac{108}{100} }=100\left(\log{108}-2\right)=100\left(\log{\left(3^{3}\times2^{2}\right) }-2\right)\\=100\left(3\log{3}+2\log{2}-2\right)=100\left(3\times0.4771+2\times0.301-2\right)=100\times0.0333\\=3.33\Rightarrow\left(1.08\right)^{100}=10^{3.33}=1000\times10^{0.33}\\\because\log{2}=0.301<0.33\ll0.4771=\log{3}\therefore10^{0.33}=2.xxx\\又0.33\approx\frac{1}{3}\Rightarrow10^{0.33}\approx\sqrt[3]{10}=2.15$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(3)}\) 解： 令P=(a,b,c)，則P需滿足\(\begin{cases}a^2+b^2+c^2=16\\a+2b+c=6\end{cases}\)，也就是一個球面與一個平面的交集。

由於球心至平面的距離=\(\left|\frac{0+0+0-6}{\sqrt{1^{2}+2^{2}+1^{1}} } \right|=\sqrt{6}<4\)(球半徑)，所以交集為一個圓，故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 解：$$\begin{cases}\Gamma_{1}:\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\Rightarrowa=5\Rightarrowl_{1}=2a=10\\\Gamma_{2}:\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=2\Rightarrow\frac{x^{2}}{(5\sqrt{2})^{2}}+\frac{y^{2}}{(3\sqrt{2})^{2}}=1\Rightarrowa=5\sqrt{2}\Rightarrowl_{2}=2a=10\sqrt{2} \\\Gamma_{3}:\frac{x^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=\frac{2x}{5}\Rightarrow\frac{x^{2}-10x}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=0\Rightarrow\frac{x^{2}-10x+5^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\\\Rightarrow\frac{{\left(x-5\right) }^{2}}{5^{2}}+\frac{y^{2}}{3^{2}}=1\Rightarrowa=5\Rightarrowl_{3}=2a=10\end{cases}\\\Rightarrow l_2>l_1=l_3$$ 故選\(\bbox[red,2pt]{(4)}\) 二、多選題 解： $$(1)\times:\cos{\frac{\pi }{4} }=\frac{1}{\sqrt{2} }>\frac{1}{3}\Rightarrow\frac{\pi }{4}0且2^{-x}>0，兩正數相加不可能為0\\(3)\times:令\log_{2}{x}=a\Rightarrow\log_{x}{2}=\frac{1}{a}\Rightarrowa+\frac{1}{a}=1\\\Rightarrowa^2-a+1=0無實根\Rightarrow\log_{2}{x}+\log_{x}{2}=1無實根\\(4)\times:\sin{x}\le1,\cos{2x}\le1,兩者相加不可能為3\\(5)\bigcirc:4\sin{x}+3\cos{x}=\frac{9}{2}\Rightarrow5\left(\frac{4}{5}\sin{x}+\frac{3}{5}\cos{x}\right)=\frac{9}{2}\\\Rightarrow5\sin(\alpha+x)=\frac{9}{2}\Rightarrow\sin(\alpha+x)=\frac{9}{10}有實數解$$ 故選：\(\bbox[red,2pt]{(1,5)}\) 解： $$(1)\times:a_2=a_{1+1}=\frac{1(1+1)}{2}-a_1=1-1=0\ne1\\(2)\bigcirc:\frac{n(n+1)}{2}為整數，整數減整數仍為整數\\(3)\bigcirc:整數減去無理數為無理數\\(4)\bigcirc:a_{n+2}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-a_{n+1}=\frac{(n+1)(n+2)}{2}-\left[\frac{n(n+1)}{2}-a_n\right]\\=a_n+(n+1)\Rightarrowa_{n+2}\gea_{n}\\(5)\times:a_{k+2}=a_{k}+(k+1)\Rightarrow若k為偶數,則a_k+(k+1)=奇+奇=偶$$  故選：\(\bbox[red,2pt]{(2,3,4)}\) 解： 由題意知:L不只一條。

假設原點在L上的投影點為P，Q=(2,2,2)，O=(0,0,0),L的法向量為\(\vec{n}=(2,-1,0)\)，則P需滿足:P在平面2x-y=2上，且\(\vec{PQ}\cdot\vec{n}=0\)及\(\vec{OP}\cdot\vec{QP}=0\)。

故選\(\bbox[red,2pt]{(1,3,5)}\) 解：$$(1)\times:抽樣結並不代表全體\\(2)\bigcirc:95\%的信心水準之下，信賴區間為\left[\hat{p}-2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}},\hat{p}+2\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p}}{n}}\right]\\=\left[0.52-2\times0.02,0.52+2\times0.02\right]=[0.48,0.56]\\(3)\times:\begin{cases}男性標準差=0.04\\女性標準差=0.02\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}0.04=\sqrt{\frac{0.59\times(1-0.59)}{n_{男}} } \\0.02=\sqrt{\frac{0.52\times(1-0.52)}{n_{女}} } \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}n_{男}\approx151\\n_{女}=624\end{cases}\\\Rightarrow女性抽樣人數多於男性\\(4)\bigcirc:\frac{151\times0.59+624\times0.52}{624+151}=\frac{413.57}{775}\approx0.53\\(5)\times:\sqrt{\frac{0.53\times0.47}{775} }\approx0.018<0.02$$   故選：\(\bbox[red,2pt]{(2,4)}\) 三、選填題 解： 假設C=(12,a)，且a>0，及D=(x,y)如上圖。

\(\vec{AD}=\vec{BC}\Rightarrow(x-2,y-1)=(4,a-2)\Rightarrowx=6,y=a-1\) 由\(\vec{AD}=(4,a-2)及\vec{AB}=(6,1)\)可求平行四邊形面積=38=\( \left|\begin{vmatrix}4&a-2\\6&1\end{vmatrix}\right|=\left|16-6a\right|\Rightarrowa=9\)，因此D=(x,y)=(6,a-1)=\(\bbox[red,2pt]{(6,8)}\) 解： $$\begin{cases}x=3-2i\\x=i\\x=5\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-3=-2i\\x^{2}=-1\\x-5=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x^{2}-6x+13=0\\x^{2}+1=0\\x-5=0\end{cases}\\\Rightarrowf\left(x\right)=\left(x^{2}-6x+13\right)\left(x^{2}+1\right)\left(x-5\right)\Rightarrow常數項=13\times1\times(-5)=\bbox[red,2pt]{-65}$$ 解： (a)1、2在同一橫列:同在第一列有\(P^3_2=6\)種排法，同在第二列也有6種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有\(6\times2\times24=288\)種排法； (b)1、2在同一直行:同在第一行有2種排法，共有3行，有\(2\times3=6\)種排法；剩下四格有4!=24種排法；因此共有\(6\times24=144\)種排法； (a)+(b)=288+144=\(\bbox[red,2pt]{432}\)種排法 解：$$2x-y=1\Rightarrowy=2x-1\Rightarrow\begin{cases}x-2y=a\\x-ay=122\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}x-2\left(2x-1\right)=a\\x-a\left(2x-1\right)=122\end{cases}\\\Rightarrow\begin{cases}x=\frac{2-a}{3} \\x=\frac{122-a}{1-2a} \end{cases}\Rightarrow\frac{2-a}{3}=\frac{122-a}{1-2a}\Rightarrowa^{2}-a-182=0\Rightarrowa=\frac{1\pm\sqrt{729} }{2}\\\Rightarrowa=\frac{1\pm27}{2}=\bbox[red,2pt]{14}(-13不合,\becausea>0)$$ 解： $$\angleABC=\alpha\Rightarrow\cos{\alpha }=\frac{\overline{AB} }{\overline{BC} }=\frac{5}{6}\\\angleABD=2\alpha\Rightarrow\cos{2\alpha }=\frac{\overline{AB} }{\overline{BD} }=\frac{5}{\overline{BD} }=2\cos^{2}{\alpha }-1=2\times\left(\frac{5}{6} \right)^{2}-1=\frac{14}{36}\\\Rightarrow\overline{BD}=\frac{5\times36}{14}=\bbox[red,2pt]{\frac{90}{7}}$$ 解： 令P=(7,0)、Q=(0,0)則拋物線\(y=x^2+ax+b=x(x-7)=x^2-7x\Rightarrowx^2+ax+(b+2)=x^2-7x+2=0\)的解為\(x=\frac{7\pm\sqrt{41}}{2}\)，該兩根的距離就是\(\overline{RS}=\bbox[red,2pt]{\sqrt{41}}\) 解： 令\(\angleC=\theta,\angleA=2\theta,\overline{AC}=a\)，如上圖。

先用正弦定理，即$$\frac{2}{\sin{\theta}}=\frac{3}{\sin{2\theta}}=\frac{3}{2\sin{\theta}\cos{\theta}}\Rightarrow\frac{2}{1}=\frac{3}{2\cos{\theta}}\Rightarrow\cos{\theta}=\frac{3}{4}$$再用餘弦定理:$$\cos{\theta}=\frac{a^2+3^2-2^2}{2\times3\timesa}\Rightarrow\frac{3}{4}=\frac{a^2+5}{6a}\Rightarrowa=\frac{5}{2},2(不合)$$ 若\(a=2\Rightarrow\angleB=\angleC=\theta\Rightarrow\angleA+\angleB+\angleC=180\Rightarrow4\theta=180\Rightarrow\theta=45\) \(\Rightarrow\angleA=90^\circ\Rightarrow{\overline{BC}}^2={\overline{AB}}^2+{\overline{AC}}^2\Rightarrow9=4+4(矛盾)\) 故:\(\overline{AC}=\bbox[red,2pt]{\frac{5}{2}}\) 另一種解法:作\(\angleA\)的平分線，交\(\overline{AC}\)於D點，並作\(\overline{DE}\bot\overline{AC}\)，如上圖。

由於\(\angleBAD=\angleC=\theta且\angleB=\angleB\)，所以\(\triangleBAD\sim\triangleBCA\)，因此我們有$$\frac{\overline{AB} }{\overline{BC} }=\frac{\overline{BD} }{\overline{AB} }=\frac{\overline{DA} }{\overline{AC} }\Rightarrow\frac{2}{3}=\frac{\overline{BD} }{2}=\frac{\overline{DC} }{a}=\frac{3-\overline{BD} }{a}\\\Rightarrow\overline{BD}=\frac{4}{3}\Rightarrowa=\frac{3\left(3-\overline{BD} \right) }{2}=\frac{5}{2}$$ 解： 拋物線\(\Gamma:x^2=8y\Rightarrow\)其準線方程式為\(L':y=-2\)，焦點F=(0,2)。

拋物線上的點至焦點的距離等於至準線的距線，即\(\overline{PF}=\overline{PB}=d(P,L')\)。

$$\overline{PF}\le\overline{AF}+\overline{AP}=\frac{9}{4}+\overline{AP}\Rightarrow-\overline{AP}\le\frac{9}{4}-\overline{PF}\\\Rightarrow\overline{PC}-\overline{AP}\le\overline{PC}+\frac{9}{4}-\overline{PF}\Rightarrow|d(P,L)-\overline{AP}|\le\overline{PF}+3+\frac{9}{4}-\overline{PF}=\frac{21}{4}\\\Rightarrow|d(P,L)-\overline{AP}|的最大值為\bbox[red,2pt]{\frac{21}{4}}$$ 張貼者： C.-H.Chu 於 晚上9:59 以電子郵件傳送這篇文章BlogThis！分享至Twitter分享至Facebook分享到Pinterest 標籤： 高中數學, 學測 沒有留言: 張貼留言 較新的文章 較舊的文章 首頁 訂閱： 張貼留言(Atom) 標籤 319鄉 (3) 工程數學 (70) 公費留考 (1) 心得 (3) 目次 (7) 身障升大學 (11) 身障升四技 (21) 指考 (44) 研討會 (45) 海外遊 (30) 特招 (27) 高中數學 (244) 高普考 (119) 高職數學 (166) 國小數學 (2) 國中數學 (101) 國內遊 (54) 基測 (25) 教甄 (92) 教檢 (2) 單車 (39) 統計 (47) 統測 (80) 微分方程 (7) 微積分 (35) 會考 (14) 路跑 (11) 運動績優 (17) 電腦管理 (21) 臺澎金馬 (6) 論文徵稿 (2) 學力鑑定 (39) 學測 (13) 應用數學 (2) 轉學考 (41) 警專 (27) DIY (57) GeoGebra (5) GIMP (1) LaTex (5) matlab (18) octave (25) python (8) R (1) Scratch程式設計 (7) 熱門文章 106年大學學測數學科詳解 107年大學學測數學科詳解 110年大學學測-數學詳解 104年大學學測數學科詳解 105年大學學測數學科詳解 網誌存檔 ►  2022 (3) ►  一月 (3) ►  2021 (137) ►  十二月 (20) ►  十一月 (13) ►  十月 (4) ►  九月 (7) ►  八月 (15) ►  七月 (11) ►  六月 (14) ►  五月 (16) ►  四月 (4) ►  三月 (17) ►  二月 (7) ►  一月 (9) ►  2020 (130) ►  十二月 (11) ►  十一月 (11) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (10) ►  七月 (16) ►  六月 (20) ►  五月 (11) ►  四月 (5) ►  三月 (11) ►  二月 (14) ►  一月 (8) ►  2019 (121) ►  十二月 (17) ►  十一月 (7) ►  十月 (4) ►  九月 (27) ►  八月 (14) ►  七月 (12) ►  六月 (7) ►  五月 (7) ►  四月 (5) ►  三月 (6) ►  二月 (9) ►  一月 (6) ▼  2018 (123) ►  十二月 (16) ►  十一月 (12) ►  十月 (9) ►  九月 (10) ►  八月 (14) ►  七月 (9) ►  六月 (10) ►  五月 (11) ▼  四月 (5) 99年大學學測數學詳解 100年大學指考數學甲詳解 100年大學指考數學乙詳解 100年大學學測數學詳解 101年大學指考數學甲詳解 ►  三月 (11) ►  二月 (10) ►  一月 (6) ►  2017 (49) ►  十二月 (7) ►  十一月 (10) ►  十月 (5) ►  九月 (7) ►  八月 (2) ►  七月 (4) ►  六月 (2) ►  五月 (6) ►  四月 (1) ►  三月 (2) ►  二月 (1) ►  一月 (2) ►  2016 (89) ►  十二月 (1) ►  十一月 (1) ►  十月 (1) ►  九月 (4) ►  七月 (4) ►  六月 (31) ►  五月 (26) ►  四月 (5) ►  三月 (4) ►  二月 (9) ►  一月 (3) ►  2015 (29) ►  十二月 (2) ►  十一月 (3) ►  九月 (3) ►  八月 (4) ►  七月 (4) ►  五月 (1) ►  四月 (1) ►  三月 (4) ►  二月 (5) ►  一月 (2) ►  2014 (65) ►  十二月 (6) ►  十一月 (5) ►  十月 (4) ►  九月 (1) ►  八月 (4) ►  七月 (6) ►  六月 (9) ►  五月 (7) ►  四月 (1) ►  三月 (9) ►  二月 (8) ►  一月 (5) ►  2013 (83) ►  十二月 (4) ►  十一月 (7) ►  十月 (8) ►  九月 (5) ►  八月 (8) ►  七月 (8) ►  六月 (6) ►  五月 (6) ►  四月 (9) ►  三月 (5) ►  二月 (9) ►  一月 (8) ►  2012 (60) ►  十二月 (10) ►  十一月 (10) ►  十月 (18) ►  九月 (15) ►  八月 (1) ►  七月 (1) ►  六月 (3) ►  五月 (1) ►  一月 (1) ►  2011 (2) ►  七月 (1) ►  一月 (1) 總網頁瀏覽量 關於我自己 C.-H.Chu 不用補習也可以把數學學好..... 檢視我的完整簡介 pline