行列式的性質 - 科學Online

行列式的性質 · 任兩行或任兩列對調，其值變號： · 任一行或任一列乘上k 倍，其值變為k 倍。

· 任兩行或任兩列成比例時，其值為0： · 可依任一行或任一列將 ... Monday11thJuly2022 11-Jul-2022 人工智慧 化學 物理 數學 生命科學 生命科學文章 植物圖鑑 地球科學 環境能源 科學繪圖 高瞻專區 第一期高瞻計畫 第二期高瞻計畫 第三期高瞻計畫 綠色奇蹟－中等學校探究課程發展計畫 關於我們 網站主選單 行列式的性質（PropertiesofDeterminant） 國立臺南第一高級中學林倉億老師 連結：行列式的定義 在本文中，二階行列式的定義是 \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}\end{array}}\right|={a_{1}}{b_{2}}–{a_{2}}{b_{1}}\)， 三階行列式的定義則是 \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{1}}}&{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{a_{2}}}&{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{a_{3}}}&{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|={a_{1}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|–{a_{2}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{3}}}&{{c_{3}}}\end{array}}\right|+{a_{3}}\cdot\left|{\begin{array}{*{20}{c}}{{b_{1}}}&{{c_{1}}}\\{{b_{2}}}&{{c_{2}}}\end{array}}\right|={a_{1}}{b_{2}}{c_{3}}–{a_{1}}{b_{3}}{c_{2}}+{a_{2}}{b_{3}}{c_{1}}–{a_{2}}{b_{1}}{c_{3}}+{a_{3}}{b_{1}}{c_{2}}–{a_{3}}{b_{2}}{c_{1}}\)  我們稱直的為行，由左而右依序是第1行、第2行、…；稱橫的為列，由上而下依序是第1列、第2列、…。

利用定義，很容易可以推出下列二階與三階行列式性質，證明就略去。

行列互換，其值不變： 任兩行或任兩列對調，其值變號： 任一行或任一列乘上\(k\) 倍，其值變為\(k\) 倍。

此性質可解讀成：某一行或某一列有共同的\(k\)時，可以將\(k\)提出來，亦可將乘回任一行或任一列。

任兩行或任兩列成比例時，其值為\(0\)： 可依任一行或任一列將一個行列式分解成兩個行列式的和；反之，若兩個行列式只有同一行或同一列不同，其餘皆相同，那麼，這兩個行列式可合併成一個行列式： 以為例說明， 先將等號左邊依定義展開： 將任一行的\(k\) 倍加到另一行，其值不變；同樣地，將任一列的\(k\) 倍加到另一列，其值不變： 以 為例說明： 接來這個性質在三階以上的行列式才會用到（在二階行列式也可以寫出類似的性質，但其結果就是定義） 三階行列式可以依任一行或任一列降階展開： 以依第2行降階展開為例說明，由性質(2)得， 將依定義展開：，每一項再乘上負號就得到。

上述這些性質，在四階以上的行列式也都成立，讀者不妨自行驗證看看。

現在，讓我們利用這些性質再重新計算前文〈行列式的定義〉中的三階與四階行列式的例子： 例1： \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\{4–1}&{5–2}&{6–3}\\{7–1}&{8–2}&{9–3}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3\\3&3&3\\6&6&6\end{array}}\right|=0\) 例2：\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&{10}&{11}&{12}\\{13}&{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3&4\\{5–1}&{6–2}&{7–3}&{8–4}\\{9–1}&{10–2}&{11–3}&{12–4}\\{13}&{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&2&3&4\\4&4&4&4\\8&8&8&8\\{13}&{14}&{15}&{16}\end{array}}\right|=0\) 在計算行列式之值時，若能適當地應用性質，有時候就能大幅減少計算量與複雜度。

雖然性質有好幾個，但熟能生巧，讀者多找幾個例子練習後，就能充分掌握這些性質了。

最後，我們要用這些性質來證明。

證明 \(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}}\right|=(b–a)(c–a)(c–b)\)有兩個目的，首先，它是行列式中名氣最大的一個，有個響噹噹的名字叫「范德蒙行列式」，學了行列式卻不認得它，有點說不過去！ 其次，我們也可以用「暴力」來證明范德蒙行列式，就是把\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}}\right|\)的值（展開式）乘出來，再把乘開，兩相比較後，就知道等號成立了。

這個「暴力證法」其實有個大問題，就是若我們不知道等號右邊的模樣，那該怎麼辦？把\(\left|{\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\1&b&{{b^2}}\\1&c&{{c^2}}\end{array}}\right|\)的值（展開式）做因式分解嗎？這難度更高了！藉由此例，我們知道適當的運用行列式的性質，不但可以簡化計算，更可以同時達到分解的效果，一舉兩得，何樂而不為？ 連結：行列式的應用 Tags:行列式 前一篇文章下一篇文章 您或許對這些文章有興趣 惠更斯(ChristiaanHuygens)專題 海芭夏(HypatiaofAlexandria) 泰勒多項式(2)（TaylorPolynomials(2)） 發表迴響Cancelcommentreply 你的電子郵件位址並不會被公開。

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