三階逆矩陣公式 - 線代啟示錄

階矩陣的基本列運算過程(第一個步驟的算法原理請見“利用行列式計算矩陣秩”)： ... 即便高斯─約當法沒有給出逆矩陣的一般公式，但就所耗用的計算量而 ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←每週問題October1, 2012 每週問題October8, 2012→ 三階逆矩陣公式 Postedon10/04/2012byccjou 本文的閱讀等級：初級 給定階矩陣，若存在一個同階矩陣使得(表示階單位矩陣)，則稱為可逆(invertible)或非奇異(nonsingular)矩陣。

在這個情況下，由唯一決定[1]，稱為的逆矩陣或反矩陣，記作。

可逆矩陣的一個充要條件為。

若階是可逆的，則，逆矩陣公式如下： 。

你可能好奇階可逆矩陣的逆矩陣公式是甚麼樣子？底下介紹三個逆矩陣算法： 高斯─約當法(Gauss-Jordanmethod)， 伴隨矩陣(adjugate)衍生的行列式表達式， Cayley-Hamilton定理導出的矩陣多項式。

我們先用這些方法推導階逆矩陣公式，隨後再推廣至階矩陣。

  1.高斯─約當法 令為一個階矩陣。

寫出階增廣矩陣，高斯─約當法運用基本列運算(elementaryrowoperation)將增廣矩陣化簡為簡約列梯形式(reducedrowechelonform)(見“高斯─約當法”)。

這個運算程序等同於連續左乘基本矩陣(見“特殊矩陣(10)：基本矩陣”)使得 。

乘開後比較等號兩邊的分塊，和，可得，因此即為逆矩陣。

下面是階矩陣的基本列運算過程(第一個步驟的算法原理請見“利用行列式計算矩陣秩”)： 理論上，階矩陣也可以如法炮製，不過實際上大概沒有多少人願意以代數運算化簡增廣矩陣 ， 從而推導出逆矩陣公式。

即便高斯─約當法沒有給出逆矩陣的一般公式，但就所耗用的計算量而言(文末將詳細說明)，它確實是一個相當有效的演算法。

  2.伴隨矩陣 假設為的逆矩陣，則，明確地表示為 。

將上式拆開，可得兩個線性方程組： 。

利用克拉瑪公式(見“克拉瑪公式的證明”)，第一個線性方程組的解為 ， 第二個線性方程組的解為 。

  使用同樣方法亦可推得階矩陣的逆矩陣公式。

底下我採用另一個較為便捷的推導方式。

考慮階矩陣的伴隨矩陣(adjugate或classicaladjoint)，各元定義為，其中代表移除的第列與第行之後得到的階子陣，稱為餘子式(minor)，稱為的餘因子(cofactor)。

使用伴隨矩陣的關鍵等式(見“伴隨矩陣”) ， 等號兩邊同時左乘，即得到以伴隨矩陣表示的逆矩陣公式 。

以階矩陣為例， 。

下面是階逆矩陣的行列式表達式： 。

  3.Cayley-Hamilton定理 令為一個階矩陣，且的特徵多項式為。

Cayley-Hamilton定理聲明被其特徵多項式所消滅，即(見“Cayley-Hamilton定理”)。

對於階矩陣，寫出特徵多項式 ， 其中定義為的主對角元之和，稱為跡數。

Cayley-Hamilton定理指出 。

上式乘以，逆矩陣可表示為和的線性組合，如下： 沿用相同方法，寫出階矩陣的特徵多項式 令為的特徵值。

因為特徵值是特徵多項式的根，就有 使用關係式(見“特徵多項式蘊藏的訊息”)與，改寫上式的係數，如下： 。

再者，，Cayley-Hamilton定理給出 。

上式通乘，即得到階逆矩陣的矩陣多項式，以，和的線性組合表示： 。

這個公式同時也說明階矩陣的伴隨矩陣為 。

  底下我用一個例子展示三種逆矩陣算法的計算過程，請你自行判斷哪一種方法的計算量較少且有較為簡潔的簿記。

見下例： 。

1.高斯─約當法使用基本列運算的化簡步驟如下： 逆矩陣即為簡約列梯形式右邊的階分塊。

  2.以伴隨矩陣表示的逆矩陣公式須計算，由高斯─約當法第二個步驟得到的上三角矩陣可知 ， 寫出伴隨矩陣後再計算9個二階行列式，結果如下： 。

  3.Cayley-Hamilton定理演繹的逆矩陣公式必須計算，如下： 。

接著算出，。

代入逆矩陣的矩陣多項式，   最後我們討論三種逆矩陣算法的計算量。

對於一個階可逆矩陣，應用高斯─約當法計算的計算量[2]為，這與兩個階矩陣相乘的計算量相同。

利用伴隨矩陣計算逆矩陣則須計算一個階行列式以及個階行列式。

若以高斯消去法計算階行列式(如上例)，計算量為，故總計算量為。

至於Cayley-Hamilton定理給出的逆矩陣公式，除了計算一個階行列式，還要計算冪矩陣，即便忽略組合係數，總計算量仍達。

以上分析解釋了何以線性代數教科書鮮少列舉階或更高階矩陣的逆矩陣公式──雖然它們的外型簡單，但計算卻所耗不菲。

  註解 [1]假設且。

寫出和，因此，證明的右逆等於左逆。

假設且。

後者等價於，故得，證明右逆是唯一的。

[2]一個加法與一個乘法合稱為一個計算。

相關閱讀： 別再算逆矩陣了 Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin線性代數專欄,行列式andtaggedCayley-Hamilton定理,簡約列梯形式,逆矩陣,高斯─約當法,伴隨矩陣.Bookmarkthepermalink. ←每週問題October1, 2012 每週問題October8, 2012→ LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式奇異值分解(SVD)內積的定義旋轉與鏡射分塊矩陣的行列式行列式的運算公式與性質線性代數基本定理(一)線性獨立向量集的判定與算法利用行列式計算多邊形面積LU分解分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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