11.2一階線性微分方程式

微分方程式中的許多研究, 便是找出某類方程式存在且唯一的定理。

... 我們先導出齊性方程式的解, 然後藉此得到(2.2) 之非齊性方程式的解。

若在 $I$ 中 $y\neq 0$ ... ¤@¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡  a       ¡@¡@¦b²Ä¤­³¹©w²z4.1 §Ú­Ì¤wÃÒ¥Xº¡¨¬ (2.1) ­Y¥B°ß­Y ¨ä¤¤¬°¤@±`¼Æ¡C¦]®É,¬G¥i¥Ñµ¹©w®É, ¤§­È¨M©w¡C ¡@¡@¤W­zµ²ªG´N¬O¤@¦s¦b¥B°ß¤@©Ê©w²z¤§¨Ò¡C¦bµ¹©w°_©l±ø¥ó¤U,(2.1)¦¡¦s¦b¤@¸Ñ , ¥B³Ì¦h¤]¥u¦³¤@¸Ñ¡C·L¤À¤èµ{¦¡¤¤ªº³\¦h¬ã¨s, «K¬O§ä¥X¬YÃþ¤èµ{¦¡¦s¦b¥B°ß¤@ªº©w²z¡C©³¤U§Ú­Ì¨Ó°Q½×¤@­«­n§Î¦¡ªº ·L¤À¤èµ{¦¡ªº¸Ñ,¦¹§Î¦¡¬°(2.1)¤§¤@±À¼s¡C ¡@¡@³]¡B¬°¤Gµ¹©wªº¤èµ{¦¡,«h (2.2) «KºÙ¬°¤@¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¡C(2.2)¤¤¤§¬°¤@«Ý¸Ñ¤§ªº¨ç¼Æ, ¡B°²³]¦b¬Y¤@¶}°Ï¶¡¤¤¬°³sÄò,§Ú­Ì«K¬O·Q¨D¦b ¤¤¤§©Ò¦³ªº¸Ñ¡C¥Ñ©ó(2.2)¤¤¤§¾É¼Æ¬°¤@¶¥,¥B ¥iµø¬°¤@¤§½u©Ê¨ç¼Æ: ,©Ò¥H·|¦p¦¹©R¦W¡C³o¬O¤@Ãþ§Î¦¡Â²³æ¦ý«Ü­«­nªº·L¤À¤èµ{¦¡¡C¤@¯ë¦Ó¨¥, ¤@·L¤À¤èµ{¦¡¤¤ªº¦U¾É¼Æ­Y¬Ò¬°¤@¦¸,«KºÙ¬°½u©Êªº¡C¦p ¦Ó­Y ¬Ò¬°±`¼Æ, «KºÙ¬°±`«Y¼Æ½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¡C ¡@¡@§Ú­Ì¥ý¬Ý¤@¯S¨Ò,§Yªº±¡ªp,¦¹®É (2.3) ºÙ¬°¹ïÀ³(2.2)¤§¤@»ô©Ê¤èµ{¦¡¡C§Ú­Ì¥ý¾É¥X»ô©Ê¤èµ{¦¡ªº¸Ñ, µM«áÂǦ¹±o¨ì(2.2)¤§«D»ô©Ê¤èµ{¦¡ªº¸Ñ¡C ¡@¡@­Y¦b¤¤,«h(2.3)¦¡µ¥»ù©ó¤U¦¡: (2.4) ²{³]¬°¤@º¡¨¬(2.4)¤§¥¿¨ç¼Æ,«h(2.4)¦¨¬° ¥Ñ¦¹§Y±o ¦]¦¹ (2.5) ¥ç§Y­Y(2.3)¦³¤@¥¿ªº¸Ñ,«h¥²¬°(2.5)ªº§Î¦¡¡CºÙ¬° (2.3)¤§¤@¿n¤À¦]¤l¡C¥t¥~,¤]¥i¦p¤U¦aÃÒ©ú¨C¤@¥Ñ(2.5) ©Ò©w¸q¥X¤§¨ç¼Æ¥²¬°(2.3)¦¡¤§¸Ñ: ¦]¦¹§Ú­Ì§Y¨D¥X©Ò¦³º¡¨¬(2.3)¤§¥¿ªº¡C©³¤U§Ú­Ìµ¹¥X(2.3) ¦¡¤§©Ò¦³¸Ñ,¥B±Nµ²ªG±Ô­z¬°¤@¦s¦b¥B°ß¤@ªº©w²z¡C ©w²z1.³]¨ç¼Æ¦b¶}°Ï¶¡³sÄò¡C¦Û¤¤¥ô¨ú¤@ÂI,¥B¥O ¬°¥ô¤@¹ê¼Æ¡C«h¦s¦b°ß¤@ªº¨ç¼Æ,º¡¨¬ (2.6) ¤S¦¹¨ç¼Æ¬°                                                                                                           (2.7)   ¡@¡@¥Ñ¤W©w²zÃÒ©ú¤¤ªº³Ì«á¤@³¡¤À,§Y´£¨Ñ¤@¸Ñ«D»ô©Ê·L¤À¤èµ{¦¡(2.2) ªº¤èªk¡C³]¬°º¡¨¬(2.2)¤§¥ô¤@¸Ñ,¥B¥O , ¨ä¤¤ ¡C«h(2.9)¤´¦¨¥ß¡C¤S¦]º¡¨¬ (2.2), ,¬G¦¹®É ¦A¥Ñ·L¿n¤À°ò¥»©w²zªº²Ä¤G³¡¤À±o ¤S¦],¬G¨C¤@º¡¨¬(2.2)¤§¸Ñ¥²¦³¤U­z§Î¦¡: (2.10)     ¤Ï¤§,¸g¥Ñª½±µ¹ï(2.10)¦¡·L¤À,©ö¨£(2.10)©Ò©w¸q¥X¤§¨ç¼Æ¬° (2.2)¤§¤@¸Ñ¡C§Ú­Ì«K§ä¥X¤Fº¡¨¬(2.2)¤§©Ò¦³¸Ñ¡C§Ú­Ì±Nµ²ªG±Ô­z¦p¤U¡C ¡@ ©w²z 2.³]¡B¬°¤G¦b¶}°Ï¶¡¤W³sÄòªº¨ç¼Æ¡C¥ô¨ú¤@,¥B¥O¬°¥ô¤@¹ê¼Æ¡C«h«ê¦³¤@¨ç¼Æ,º¡¨¬ (2.11) ¤S¦¹¨ç¼Æ¬° (2.12) ¨ä¤¤ ¡C    a ¨Ò1.¨D ¤§©Ò¦³¸Ñ¡C  ¨Ò2.·L¤À¤èµ{¦¡ (2.13) ºÙ¬°Bernoulli¤èµ{¦¡¡C¦¹¬°Jacob Bernoulli¦b¦è¤¸1695¦~©Ò´£¥X¡C¨D¨ä¸Ñ¡C  ¡@¡@ ¨Ò3.¸Ñ     ¨Ò4.³] ,¨D¤@,¥B,º¡¨¬ (2.14) ¡@¡@¦³¨Ç¤èµ{¦¡­n¸g¾A·í¦aÂà´«,¤~·|¦¨¬°¤@·L¤À¤èµ{¦¡¡C¦p¦b¤U¨Ò¤¤, ­ì¨Óµ¹ªº¬O¤@¿n¤À¤èµ{¦¡,¦ý¸g´X¦¸Âà´««á, «K±o¨ì¤@±`¨£§Î¦¡¤§·L¤À¤èµ{¦¡¡C ¨Ò5.³]¨ç¼Æ©w¸q¦b,¥Bº¡¨¬ (2.15) ¨ä¤¤,¡C¸ÕÃÒ¦s¦b¤@,¨Ï±o (2.16) ¨ä¤¤¡C  ¨Ò6.¸ÕÃÒ             a  a ¶i¤@¨B¾\Ū¸ê®Æ¡G¶À¤å¼ý(2002). ¤@¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¡C·L¿n¤ÀÁ¿¸q²Ä¤Q¤@³¹¡A°ê¥ß°ª¶¯¤j¾ÇÀ³¥Î¼Æ¾Ç¨t¡C ¡@