線性微分方程- 維基百科，自由的百科全書

當 f不是零函數時，所有的解構成一個仿射空間，由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。

這樣的方程稱為非齊次線性微分方程。

線性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏 ... 線性微分方程 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 系列條目微積分學 函數 極限論 微分學 積分 微積分基本定理 微積分發現權之爭（英語：Leibniz–Newtoncalculuscontroversy） 基礎概念（含極限論和級數論） 實數性質 函數 ·單調性 ·初等函數 ·數列 ·極限 ·實數的構造（1=0.999…） ·無窮大（銜尾蛇） ·無窮小量 ·ε-δ式定義（英語：(ε,δ)-definitionoflimit） ·實無窮（英語：Actualinfinity） ·大O符號 ·上確界 ·收斂數列 ·芝諾悖論 ·柯西序列 ·單調收斂定理 ·夾擠定理 ·波爾查諾－魏爾斯特拉斯定理 ·斯托爾茲－切薩羅定理 ·上極限和下極限 ·函數極限 ·漸近線 ·鄰域 ·連續 ·連續函數 ·間斷點 ·狄利克雷函數 ·稠密集 ·一致連續 ·緊緻集 ·海涅－博雷爾定理 ·支撐集 ·歐幾里得空間 ·內積 ·外積 ·混合積 ·拉格朗日恆等式 ·等價範數 ·坐標系 ·多元函數 ·凸集 ·壓縮映射原理 ·級數 ·收斂級數（英語：convergentseries） ·幾何級數 ·調和級數 ·項測試 ·格蘭迪級數 ·收斂半徑 ·審斂法 ·柯西乘積 ·黎曼級數重排定理 ·函數項級數（英語：functionseries） ·一致收斂 ·迪尼定理 數列與級數 連續 函數 一元微分 差分 ·差商 ·微分 ·微分的線性（英語：linearityofdifferentiation） ·導數（流數法 ·二階導數 ·光滑函數 ·高階微分 ·萊布尼茲記號（英語：Leibniz's_notation） ·幽靈似的消失量） ·介值定理 ·微分中值定理（羅爾定理 ·拉格朗日中值定理 ·柯西中值定理） ·泰勒公式 ·求導法則（乘法定則 ·廣義萊布尼茨定則（英語：GeneralLeibnizrule） ·除法定則 ·倒數定則 ·鏈式法則） ·洛必達法則 ·反函數及其微分 ·FaàdiBruno公式（英語：FaàdiBruno'sformula） ·對數微分法 ·導數列表 ·導數的函數應用（單調性 ·切線 ·極值 ·駐點 ·拐點 ·求導檢測（英語：derivativetest） ·凸函數 ·凹函數 ·琴生不等式 ·曲線的曲率 ·埃爾米特插值） ·達布定理 ·魏爾斯特拉斯函數 一元積分 積分表 定義 不定積分 定積分 黎曼積分 達布積分 勒貝格積分 積分的線性 求積分的技巧（換元積分法 ·三角換元法 ·分部積分法 ·部分分式積分法 ·降次積分法）微元法 ·積分第一中值定理 ·積分第二中值定理 ·牛頓-萊布尼茨公式 ·反常積分 ·柯西主值 ·積分函數（Β函數 ·Γ函數 ·古德曼函數 ·橢圓積分） ·數值積分（矩形法 ·梯形法 ·辛普森積分法 ·牛頓-寇次公式） ·積分判別法 ·傅立葉級數（狄利克雷定理 ·周期延拓） ·魏爾斯特拉斯逼近定理 ·帕塞瓦爾定理 ·劉維爾定理 多元微積分 偏導數 ·隱函數 ·全微分（微分的形式不變性） ·二階導數的對稱性 ·全導數 ·方向導數 ·純量場 ·向量場 ·梯度（Nabla算子） ·多元泰勒公式 ·拉格朗日乘數 ·海森矩陣 ·鞍點 ·多重積分（逐次積分（英語：iteratedintegral） ·積分順序（英語：Orderofintegration(calculus)）） ·積分估值定理 ·旋轉體 ·帕普斯-古爾丁中心化旋轉定理 ·祖暅-卡瓦列里原理 ·托里拆利小號 ·雅可比矩陣 ·廣義多重積分（高斯積分） ·若爾當曲線 ·曲線積分 ·曲面積分（施瓦茨的靴（俄語：СапогШварца）） ·散度 ·旋度 ·通量 ·可定向性 ·格林公式 ·高斯公式 ·斯托克斯公式及其外微分形式 ·若爾當測度 ·隱函數定理 ·皮亞諾-希爾伯特曲線 ·積分變換 ·卷積定理 ·積分符號內取微分(萊布尼茨積分定則（英語：Leibnizintegralrule）) ·多變量原函數的存在性（全微分方程） ·外微分的映射原像存在性（恰當形式） ·向量值函數 ·向量空間內的導數推廣（英語：generalizationsofthederivative）（加托導數 ·弗雷歇導數（英語：Fréchetderivative） ·矩陣的微積分（英語：matrixcalculus）） ·弱導數 微分方程 常微分方程 ·柯西-利普希茨定理 ·皮亞諾存在性定理 ·分離變數法 ·級數展開法 ·積分因子 ·拉普拉斯算子 ·歐拉方法 ·柯西-歐拉方程 ·伯努利微分方程 ·克萊羅方程 ·全微分方程 ·線性微分方程 ·疊加原理 ·特徵方程 ·朗斯基行列式 ·微分算子法 ·差分方程 ·拉普拉斯變換法 ·偏微分方程（拉普拉斯方程 ·泊松方程） ·施圖姆-劉維爾理論 ·N體問題 ·積分方程 相關數學家 牛頓 ·萊布尼茲 ·柯西 ·魏爾斯特拉斯 ·黎曼 ·拉格朗日 ·歐拉 ·帕斯卡 ·海涅 ·巴羅 ·波爾查諾 ·狄利克雷 ·格林 ·斯托克斯 ·若爾當 ·達布 ·傅立葉 ·拉普拉斯 ·雅各布·伯努利 ·約翰·伯努利 ·阿達馬 ·麥克勞林 ·迪尼 ·沃利斯 ·費馬 ·達朗貝爾 ·黑維塞 ·吉布斯 ·奧斯特羅格拉德斯基 ·劉維爾 ·棣莫弗 ·格雷果里 ·瑪達瓦（英語：MadhavaofSangamagrama） ·婆什迦羅第二 ·阿涅西 ·阿基米德 歷史名作 從無窮小量分析來理解曲線（英語：AnalysedesInfinimentPetitspourl'IntelligencedesLignesCourbes） ·分析學教程（英語：Coursd'Analyse） ·無窮小分析引論 ·用無窮級數做數學分析（英語：Deanalysiperaequationesnumeroterminoruminfinitas） ·流形上的微積分（英語：CalculusonManifolds(book)） ·微積分學教程 ·純數學教程（英語：ACourseofPureMathematics） ·機械原理方法論（英語：TheMethodofMechanicalTheorems） 分支學科 實變函數論 ·複變函數論 ·傅立葉分析 ·變分法 ·特殊函數 ·動力系統 ·微分幾何 ·微分代數 ·向量分析 ·分數微積分 ·瑪里亞溫微積分（英語：Malliavincalculus） ·隨機分析 ·最優化 ·非標準分析 閱論編 線性微分方程（英語：Lineardifferentialequation）是數學中常見的一類微分方程。

指以下形式的微分方程： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=f\qquad\ldots\;\;(*)} 其中方程左側的微分算子 L {\displaystyle{\mathcal{L}}} 是線性算子，y是要解的未知函數，方程的右側是一個已知函數。

如果f(x)=0，那麼方程(*)的解的線性組合仍然是解，所有的解構成一個向量空間，稱為解空間。

這樣的方程稱為齊次線性微分方程。

當f不是零函數時，所有的解構成一個仿射空間，由對應的齊次方程的解空間加上一個特解得到。

這樣的方程稱為非齊次線性微分方程。

線性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

目次 1簡介 2常係數齊次線性微分方程 2.1例子 3常係數非齊次線性微分方程 3.1待定係數法 3.2常數變易法 4變係數線性微分方程 4.1例子 5拉普拉斯變換解微分方程 6參見 7參考文獻 簡介[編輯] 線性微分方程是一類特殊的微分方程。

一個線性微分方程的解構成向量空間或仿射空間，因此可以應用相關的代數知識來討論解的性質。

線性微分方程的普遍形式為： L ( y ) = f … ( ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=f\qquad\ldots\;\;(*)} 其中的 L {\displaystyle{\mathcal{L}}} 是一個線性的微分算子，也就是說，設有兩個函數 y 1 {\displaystyley_{1}} 和 y 2 {\displaystyley_{2}} 以及兩個常數 λ 1 {\displaystyle\lambda_{1}} 和 λ 2 {\displaystyle\lambda_{2}} ，那麼： L ( λ 1 y 1 + λ 2 y 2 ) = λ 1 L ( y 1 ) + λ 2 L ( y 2 ) . {\displaystyle{\mathcal{L}}(\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2})=\lambda_{1}{\mathcal{L}}(y_{1})+\lambda_{2}{\mathcal{L}}(y_{2}).} 如果f是零函數，那麼給定若干個方程(*)的解函數： y 1 , y 2 , ⋯ , y m {\displaystyley_{1},y_{2},\cdots,y_{m}} 以及同樣多的常數係數： λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ m {\displaystyle\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}} ，線性組合 λ 1 y 1 + λ 2 y 2 + ⋯ + λ m y m {\displaystyle\lambda_{1}y_{1}+\lambda_{2}y_{2}+\cdots+\lambda_{m}y_{m}} 仍然是方程(*)的解函數。

這說明所有方程(*)的解函數構成一個線性空間V，稱為方程的解空間。

如果f不是零函數，那麼考慮相應的齊次線性微分方程： L ( y ) = 0 … ( ∗ ∗ ) {\displaystyle{\mathcal{L}}(y)=0\qquad\ldots\;\;(**)} 設 y s {\displaystyley^{s}} 是方程(*)的一個解函數。

y {\displaystyley} 方程(**)的任意一個解函數。

則它們的和 y s + y {\displaystyley^{s}+y} 仍然是(*)的解函數。

另一方面，給定方程(*)的兩個解函數： y 1 s {\displaystyley_{1}^{s}} 和 y 2 s {\displaystyley_{2}^{s}} 。

則它們的差 y 1 s − y 2 s {\displaystyley_{1}^{s}-y_{2}^{s}} 會是方程(**)的解函數。

這說明方程(*)的所有解函數都可以寫成 y s + y , y ∈ V {\displaystyley^{s}+y,\;y\inV} 的形式。

其中V是方程(**)的解空間。

所以方程(*)的所有解函數構成一個仿射空間V'，並且 V ′ = y s + V {\displaystyleV'=y^{s}+V} 。

常係數齊次線性微分方程[編輯] 一種解線性微分方程的方法是歐拉發現的，他意識到這類方程的解都具有 e z x {\displaystylee^{zx}} 的形式，其中 z {\displaystylez} 是某個複數。

因此，對於以下方程： d n y d x n + A 1 d n − 1 y d x n − 1 + ⋯ + A n y = 0 {\displaystyle{\frac{d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots+A_{n}y=0} 我們設 y = e z x {\displaystyley=e^{zx}} ，可得： z n e z x + A 1 z n − 1 e z x + ⋯ + A n e z x = 0. {\displaystylez^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots+A_{n}e^{zx}=0.} 兩邊除以e zx，便得到了一個n次方程： F ( z ) = z n + A 1 z n − 1 + ⋯ + A n = 0. {\displaystyleF(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots+A_{n}=0.\,} 這個方程F(z)=0稱為特徵方程。

一般地，把微分方程中以下的項 d k y d x k ( k = 1 , 2 , … , n ) . {\displaystyle{\frac{d^{k}y}{dx^{k}}}\quad\quad(k=1,2,\dots,n).} 換成zk，便可得到特徵方程。

這個方程有n個解：z1, ..., zn。

把任何一個解代入e zx，便可以得到微分方程的一個解：e zix。

由於齊次線性微分方程滿足疊加原理，因此這些函數的任意線性組合仍然滿足微分方程。

如果特徵方程的根都不重複，我們便得到了微分方程的n個解。

可以證明，這些解是線性獨立的。

於是，微分方程的通解就是y=C1e z1x+C2e z2x+……+Cne znx，其中C1、C2、……、Cn是常數。

以上討論了n個根全不相同的情形。

如果這n個根中有兩個（或多個）相同，用上面的方法就無法得出n個線性獨立的解。

但是，可以驗證，如果z是特徵方程的mz重根，那麼，對於 k ∈ { 0 , 1 , … , m z − 1 } {\displaystylek\in\{0,1,\dots,m_{z}-1\}\,} ， y = x k e z x {\displaystyley=x^{k}e^{zx}\,} 就是微分方程的一個解。

對每個特徵根z，都能得到mz個解，所有這些解的線性組合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的係數Ai都是實數，那麼它的解也應該表示成實數的形式。

假如特徵方程有複數根，那麼它一定是成對的，也就是說，如果a+bi是特徵方程的根，那麼a-bi也是一個根。

於是，y=e (a+bi)x和y=e (a-bi)x都是微分方程的解。

但這兩個解都是複數的形式。

考慮到這兩個解的任意線性組合也仍然是微分方程的解，我們可以把這兩個解相加，再除以2，利用歐拉公式，便得到一個實數形式的解：y=e axcosbx。

如果把兩個解相減，再除以2i，便得到另一個實數形式的解：y=e axsinbx。

於是，y=C1e axcosbx+C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子[編輯] 求微分方程 y ″ − 4 y ′ + 5 y = 0 {\displaystyley''-4y'+5y=0\,} 的通解。

特徵方程是 z 2 − 4 z + 5 = 0 {\displaystylez^{2}-4z+5=0\,} ，它的根是2+i和2−i。

於是， y = C 1 e 2 x cos ⁡ x + C 2 e 2 x sin ⁡ x {\displaystyley=C_{1}e^{2x}\cos{x}+C_{2}e^{2x}\sin{x}} 就是微分方程的通解。

常係數非齊次線性微分方程[編輯] 欲得到非齊次線性微分方程的通解，我們首先求出對應的齊次方程的通解，然後用待定係數法或常數變易法（日語：定数変化法）求出非齊次方程本身的一個特解，把它們相加，就是非齊次方程的通解。

待定係數法[編輯] 考慮以下的微分方程： d y d x = y + e 2 x . {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!} 對應的齊次方程是： d y d x = y . {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}=y.} 它的通解是： y = c e x . {\displaystyley=ce^{x}.\!} 由於非齊次的部分是( e 2 x {\displaystylee^{2x}} )，我們猜測特解的形式是： y p = A e 2 x . {\displaystyley_{p}=Ae^{2x}.\!} 把這個函數以及它的導數代入微分方程中，我們可以解出A： d d x ( A e 2 x ) = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle{\frac{d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A e 2 x = A e 2 x + e 2 x {\displaystyle2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!} 2 A = A + 1 {\displaystyle2A=A+1\,\!} A = 1. {\displaystyleA=1.\,\!} 因此，原微分方程的解是： y = c e x + e 2 x . {\displaystyley=ce^{x}+e^{2x}.\!} ( c ∈ R {\displaystylec\inR} ) 常數變易法[編輯] 假設有以下的微分方程： y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) {\displaystyley^{\prime\prime}+py^{\prime}+qy=f(x)} 我們首先求出對應的齊次方程的通解   y = C 1 y 1 + C 2 y 2 {\displaystyle\y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}} ，其中C1、C2是常數，y1、y2是x的函數。

然後我們用常數變易法求出非齊次方程的一個特解，方法是把齊次方程的通解中的常數C1、C2換成x的未知函數u1、u2，也就是： y = u 1 y 1 + u 2 y 2 .     ( 1 ) {\displaystyley=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm{(1)}} 兩邊求導數，可得： y ′ = u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 + u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ . {\displaystyley'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.} 我們把函數u1、u2加上一條限制： u 1 ′ y 1 + u 2 ′ y 2 = 0.     ( 2 ) {\displaystyleu_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm{(2)}} 於是： y ′ = u 1 y 1 ′ + u 2 y 2 ′ .     ( 3 ) {\displaystyley'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm{(3)}} 兩邊再求導數，可得： y ″ = u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ .     ( 4 ) {\displaystyley''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm{(4)}} 把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + u 1 y 1 ″ + u 2 y 2 ″ + p u 1 y 1 ′ + p u 2 y 2 ′ + q u 1 y 1 + q u 2 y 2 = f ( x ) . {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).} 整理，得： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ + ( u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 ) + ( u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 ) = f ( x ) . {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).} 由於y1和y2都是齊次方程的通解，因此 u 1 y 1 ″ + p u 1 y 1 ′ + q u 1 y 1 {\displaystyleu_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}} 和 u 2 y 2 ″ + p u 2 y 2 ′ + q u 2 y 2 {\displaystyleu_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}} 都變為零，故方程化為： u 1 ′ y 1 ′ + u 2 ′ y 2 ′ = f ( x ) .     ( 5 ) {\displaystyleu_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm{(5)}} (2)和(5)聯立起來，便得到了一個 u 1 ′ {\displaystyleu_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyleu_{2}'} 的方程組，便可得到 u 1 ′ {\displaystyleu_{1}'} 和 u 2 ′ {\displaystyleu_{2}'} 的表達式；再積分，便可得到 u 1 {\displaystyleu_{1}} 和 u 2 {\displaystyleu_{2}} 的表達式。

這個方法也可以用來解高於二階的非齊次線性微分方程。

一般地，有： u j ′ = ( − 1 ) n + j W ( y 1 , … , y j − 1 , y j + 1 … , y n ) ( 0 f ) W ( y 1 , y 2 , … , y n ) . {\displaystyleu'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac{W(y_{1},\ldots,y_{j-1},y_{j+1}\ldots,y_{n})_{0\choosef}}{W(y_{1},y_{2},\ldots,y_{n})}}.} 其中W表示朗斯基行列式。

變係數線性微分方程[編輯] n階的變係數微分方程具有以下形式： p n ( x ) y ( n ) ( x ) + p n − 1 ( x ) y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + p 0 ( x ) y ( x ) = r ( x ) . {\displaystylep_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+p_{0}(x)y(x)=r(x).} 一個例子是柯西-歐拉方程： x n y ( n ) ( x ) + a n − 1 x n − 1 y ( n − 1 ) ( x ) + ⋯ + a 0 y ( x ) = 0. {\displaystylex^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots+a_{0}y(x)=0.} 變係數線性微分方程通常沒有一般的方法可以求解，但一階的變係數線性微分方程是例外。

設有以下的一階變係數線性微分方程：   D y ( x ) + f ( x ) y ( x ) = g ( x ) . {\displaystyle\Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).} 這個方程可以用積分因子求解，方法是把兩邊乘以 e ∫ f ( x ) d x {\displaystylee^{\intf(x)\,dx}} ： D y ( x ) e ∫ f ( x ) d x + f ( x ) y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x , {\displaystyleDy(x)e^{\intf(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\intf(x)\,dx}=g(x)e^{\intf(x)\,dx},} 用乘法定則，可以簡化為： D ( y ( x ) e ∫ f ( x ) d x ) = g ( x ) e ∫ f ( x ) d x {\displaystyleD(y(x)e^{\intf(x)\,dx})=g(x)e^{\intf(x)\,dx}} 兩邊積分，得： y ( x ) e ∫ f ( x ) d x = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c   , {\displaystyley(x)e^{\intf(x)\,dx}=\intg(x)e^{\intf(x)\,dx}\,dx+c~,} y ( x ) = ∫ g ( x ) e ∫ f ( x ) d x d x + c e ∫ f ( x ) d x   . {\displaystyley(x)={\intg(x)e^{\intf(x)\,dx}\,dx+c\overe^{\intf(x)\,dx}}~.} 也就是說，一階線性微分方程 y ′ ( x ) + p ( x ) y ( x ) = r ( x ) {\displaystyley'(x)+p(x)y(x)=r(x)} 的解是： y = e − a ( x ) ( ∫ r ( x ) e a ( x ) d x + κ ) {\displaystyley=e^{-a(x)}\left(\intr(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa\right)} 其中 κ {\displaystyle\kappa} 是積分常數，且 a ( x ) = ∫ p ( x ) d x . {\displaystylea(x)=\int{p(x)\,dx}.} 例子[編輯] 考慮以下一階線性微分方程： d y d x + b y = 1. {\displaystyle{\frac{dy}{dx}}+by=1.} p(x)=b，r(x)=1，因此微分方程的解為： y ( x ) = e − b x ( e b x b + C ) = 1 b + C e − b x . {\displaystyley(x)=e^{-bx}\left({\frac{e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac{1}{b}}+Ce^{-bx}.} 拉普拉斯變換解微分方程[編輯] 應用拉普拉斯變換解線性微分方程顯得更為方便簡單。

首先有以下關係： L { f ′ } = s L { f } − f ( 0 ) {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f'\}=s{\mathcal{L}}\{f\}-f(0)} L { f ″ } = s 2 L { f } − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal{L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)} L { f ( n ) } = s n L { f } − Σ i = 1 n s n − i f ( i − 1 ) ( 0 ) . {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal{L}}\{f\}-\Sigma_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).} 有如下微分方程： ∑ i = 0 n a i f ( i ) ( t ) = ϕ ( t ) . {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi(t).} 該方程可變換為： ∑ i = 0 n a i L { f ( i ) ( t ) } = L { ϕ ( t ) } {\displaystyle\sum_{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal{L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal{L}}\{\phi(t)\}} 則： L { f ( t ) } = L { ϕ ( t ) } + ∑ i = 1 n a i ∑ j = 1 i s i − j f ( j − 1 ) ( 0 ) ∑ i = 0 n a i s i . {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f(t)\}={{\mathcal{L}}\{\phi(t)\}+\sum_{i=1}^{n}a_{i}\sum_{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0)\over\sum_{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.} 其中 f ( k ) ( 0 ) {\displaystylef^{(k)}(0)} 是初始條件。

f(t)通過拉普拉斯反變換 L { f ( t ) } {\displaystyle{\mathcal{L}}\{f(t)\}} 求得。

參見[編輯] 拉普拉斯變換 傅立葉變換 里卡蒂方程 伯努利微分方程 柯西-歐拉方程 克萊羅方程 全微分方程 參考文獻[編輯] StanleyJ.Farlow(1994).Anintroductiontodifferentialequationsandtheirapplications.McGraw-Hill,Inc.ISBN0-07-020030-0.p.131-139,p.158-162. 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=线性微分方程&oldid=68602020」 分類：​微分方程隱藏分類：​含有英語的條目使用ISBN魔術連結的頁面 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةCatalàČeštinaDeutschEnglishEspañolEestiفارسیFrançaisעבריתहिन्दीMagyarItaliano日本語LietuviųNederlandsPortuguêsРусскийSlovenčinaSvenskaУкраїнська 編輯連結