偏微分- 維基百科，自由的百科全書

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關於含有未知函數及其偏導數的方程，請見「偏微分方程」。

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關於含有未知函數及其偏導數的方程，請見「偏微分方程」。

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偏微分的作用與價值在向量分析和微分幾何以及機器學習領域中受到廣泛認可。

函數 f {\displaystylef} 關於變量 x {\displaystylex} 的偏微分寫為 f x ′ {\displaystylef_{x}^{\prime}} 或 ∂ f ∂ x {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx}}} 。

偏微分符號 ∂ {\displaystyle\partial} 是全微分符號 d {\displaystyled} 的變體，由阿德里安-馬里·勒讓德引入，並在雅可比的重新引入後得到普遍接受。

目次 1簡介 2定義 3例子 4記法 5正式定義和性質 6參考文獻 7注釋 8參見 簡介[編輯] 假設ƒ是一個多元函數。

例如： z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystylez=f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}} f=x2+xy+y2的圖像。

我們希望求出函數在點（1,1）的對x的偏微分；對應的切線與xOz平面平行。

因為曲面上的每一點都有無窮多條切線，描述這種函數的導數相當困難。

偏微分就是選擇其中一條切線，並求出它的斜率。

通常，最感興趣的是垂直於y軸（平行於xOz平面）的切線，以及垂直於x軸（平行於yOz平面）的切線。

這是右圖中y=1時的圖像片段。

一種求出這些切線的好辦法是把其他變量視為常數。

例如，欲求出以上的函數在點（1,1）的與xOz平面平行的切線。

右圖中顯示了函數的圖像以及這個平面。

左圖中顯示了函數在平面y=1上是什麼樣的。

我們把變量y視為常數，通過對方程求導，我們可以發現ƒ在點（x,y）的導數，記為： ∂ f ∂ x = 2 x + y {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx}}=2x+y} 於是在點（1,1）的與xOz平面平行的切線的斜率是3。

∂ f ∂ x = 3 {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx}}=3} 在點（1,1），或稱「ƒ在（1,1）的關於x的偏微分是3」。

定義[編輯] 函數f可以解釋為y為自變量而x為常數的函數： f ( x , y ) = f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystylef(x,y)=f_{x}(y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}} 。

也就是說，每一個x的值定義了一個函數，記為fx，它是一個一元函數。

也就是說： f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 {\displaystylef_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}} 。

一旦選擇了一個x的值，例如a，那麼f(x,y)便定義了一個函數fa，把y映射到a2+ay+y2： f a ( y ) = a 2 + a y + y 2 {\displaystylef_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}} 。

在這個表達式中，a是常數，而不是變量，因此fa是只有一個變量的函數，這個變量是y。

這樣，便可以使用一元函數的導數的定義： f a ′ ( y ) = a + 2 y {\displaystylef_{a}'(y)=a+2y} 以上的步驟適用於任何a的選擇。

把這些導數合併起來，便得到了一個函數，它描述了f在y方向上的變化： ∂ f ∂ y ( x , y ) = x + 2 y {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialy}}(x,y)=x+2y} 這就是f關於y的偏微分，在這裡，∂是一個彎曲的d，稱為偏微分符號。

為了把它與字母d區分，∂有時讀作「der」、「del」、「dah」或「偏」，而不是「dee」。

一般地，函數f(x1,...,xn)在點（a1,...,an）關於xi的偏微分定義為： ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i + h , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) h {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})=\lim_{h\to0}{\frac{f(a_{1},\ldots,a_{i}+h,\ldots,a_{n})-f(a_{1},\ldots,a_{n})}{h}}} 在以上的差商中，除了xi以外的所有變量都是固定的。

這個固定值的選擇決定了一個一元函數 f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n ( x i ) = f ( a 1 , … , a i − 1 , x i , a i + 1 , … , a n ) {\displaystylef_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}(x_{i})=f(a_{1},\ldots,a_{i-1},x_{i},a_{i+1},\ldots,a_{n})} ，根據定義， d f a 1 , … , a i − 1 , a i + 1 , … , a n d x i ( a 1 , … , a n ) = ∂ f ∂ x i ( a 1 , … , a n ) {\displaystyle{\frac{df_{a_{1},\ldots,a_{i-1},a_{i+1},\ldots,a_{n}}}{dx_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})={\frac{\partialf}{\partialx_{i}}}(a_{1},\ldots,a_{n})} 這個表達式說明了偏微分的計算可以化為一元導數的計算。

多變量函數的一個重要的例子，是歐幾里德空間Rn（例如R2或R3）上的純量值函數f(x1,...xn)。

在這種情況下，f關於每一個變量xj具有偏微分∂f/∂xj。

在點a，這些偏微分定義了一個向量： ∇ f ( a ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ) {\displaystyle\nablaf(a)=\left({\frac{\partialf}{\partialx_{1}}}(a),\ldots,{\frac{\partialf}{\partialx_{n}}}(a)\right)} 這個向量稱為f在點a的梯度。

如果f在定義域中的每一個點都是可微的，那麼梯度便是一個向量值函數∇f，它把點a映射到向量∇f（a）。

這樣，梯度便決定了一個向量場。

一個常見的符號濫用是在歐幾里得空間R3中用單位向量 i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle\mathbf{\hat{i}},\mathbf{\hat{j}},\mathbf{\hat{k}}} 來定義Nabla算子(∇)如下: ∇ = [ ∂ ∂ x ] i ^ + [ ∂ ∂ y ] j ^ + [ ∂ ∂ z ] k ^ {\displaystyle\nabla={\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx}}{\bigg]}\mathbf{\hat{i}}+{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialy}}{\bigg]}\mathbf{\hat{j}}+{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialz}}{\bigg]}\mathbf{\hat{k}}} 或者，更一般地，對於n維歐幾里得空間Rn的坐標(x1,x2,x3,...,xn)和單位向量( e ^ 1 , e ^ 2 , e ^ 3 , … , e ^ n {\displaystyle\mathbf{{\hat{e}}_{1}},\mathbf{{\hat{e}}_{2}},\mathbf{{\hat{e}}_{3}},\dots,\mathbf{{\hat{e}}_{n}}} ): ∇ = ∑ j = 1 n [ ∂ ∂ x j ] e ^ j = [ ∂ ∂ x 1 ] e ^ 1 + [ ∂ ∂ x 2 ] e ^ 2 + [ ∂ ∂ x 3 ] e ^ 3 + ⋯ + [ ∂ ∂ x n ] e ^ n {\displaystyle\nabla=\sum_{j=1}^{n}{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx_{j}}}{\bigg]}\mathbf{{\hat{e}}_{j}}={\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx_{1}}}{\bigg]}\mathbf{{\hat{e}}_{1}}+{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx_{2}}}{\bigg]}\mathbf{{\hat{e}}_{2}}+{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx_{3}}}{\bigg]}\mathbf{{\hat{e}}_{3}}+\dots+{\bigg[}{\frac{\partial}{\partialx_{n}}}{\bigg]}\mathbf{{\hat{e}}_{n}}} 例子[編輯] 圓錐的體積與它的高度和半徑有關 考慮一個圓錐的體積V；它與高度h和半徑r有以下的關係： V ( r , h ) = π r 2 h 3 {\displaystyleV(r,h)={\frac{\pir^{2}h}{3}}} 。

V關於r的偏微分為： ∂ V ∂ r = 2 π r h 3 {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialr}}={\frac{2\pirh}{3}}} 它描述了高度固定而半径变化时，圆锥的体积的变化率。

V關於h的偏微分為： ∂ V ∂ h = π r 2 3 {\displaystyle{\frac{\partialV}{\partialh}}={\frac{\pir^{2}}{3}}} 它描述了半径固定而高度变化时，圆锥的体积的变化率。

現在考慮V關於r和h的全微分。

它們分別是： d ⁡ V d ⁡ r = 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r + π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h ∂ h ∂ r {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}}=\overbrace{\frac{2\pirh}{3}}^{\frac{\partialV}{\partialr}}+\overbrace{\frac{\pir^{2}}{3}}^{\frac{\partialV}{\partialh}}{\frac{\partialh}{\partialr}}} 以及 d ⁡ V d ⁡ h = π r 2 3 ⏞ ∂ V ∂ h + 2 π r h 3 ⏞ ∂ V ∂ r ∂ r ∂ h {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}h}}=\overbrace{\frac{\pir^{2}}{3}}^{\frac{\partialV}{\partialh}}+\overbrace{\frac{2\pirh}{3}}^{\frac{\partialV}{\partialr}}{\frac{\partialr}{\partialh}}} 現在假設，由於某些原因，高度和半徑的比k需要是固定的： k = h r = ∂ h ∂ r {\displaystylek={\frac{h}{r}}={\frac{\partialh}{\partialr}}} 這便給出了關於r的全微分： d ⁡ V d ⁡ r = 2 π r h 3 + k π r 2 3 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}}={\frac{2\pirh}{3}}+k{\frac{\pir^{2}}{3}}} 可以化簡為： d ⁡ V d ⁡ r = k π r 2 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}r}}=k\pir^{2}} 類似地，關於h的全微分是： d ⁡ V d ⁡ h = π r 2 {\displaystyle{\frac{\operatorname{d}V}{\operatorname{d}h}}=\pir^{2}} 含有未知函數的偏微分的方程，稱為偏微分方程，它在物理學、工程學，以及其它應用科學中經常會見到。

與關於r和h二者相關的全微分是由雅可比矩陣給出的，它的形式為梯度向量 ∇ V = ( ∂ V ∂ r , ∂ V ∂ h ) = ( 2 3 π r h , 1 3 π r 2 ) {\displaystyle\nablaV=({\frac{\partialV}{\partialr}},{\frac{\partialV}{\partialh}})=({\frac{2}{3}}\pirh,{\frac{1}{3}}\pir^{2})} 。

記法[編輯] 在以下的例子中，設f為x、y和z的函數。

f的一階偏微分為： ∂ f ∂ x = f x = ∂ x f {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx}}=f_{x}=\partial_{x}f} 二階偏微分為： ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x = ∂ x x f {\displaystyle{\frac{\partial^{2}f}{\partialx^{2}}}=f_{xx}=\partial_{xx}f} 二階混合偏微分為： ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = f x y = ∂ y x f {\displaystyle{\frac{\partial^{2}f}{\partialy\,\partialx}}={\frac{\partial}{\partialy}}\left({\frac{\partialf}{\partialx}}\right)=f_{xy}=\partial_{yx}f} 高階偏微分為： ∂ i + j + k f ∂ x i ∂ y j ∂ z k = f ( i , j , k ) {\displaystyle{\frac{\partial^{i+j+k}f}{\partialx^{i}\,\partialy^{j}\,\partialz^{k}}}=f^{(i,j,k)}} 當處理多變量函數時，有些變量可能互相有關，這樣就需要明確指定哪些變量是固定的。

在諸如統計力學的領域中，f關於x的偏微分，把y和z視為常數，通常記為： ( ∂ f ∂ x ) y , z {\displaystyle\left({\frac{\partialf}{\partialx}}\right)_{y,z}} 正式定義和性質[編輯] 像導數一樣，偏微分也是定義為一個極限。

設U為Rn的一個開子集，f :U→R是一個函數。

我們定義f在點a=(a1,...,an)∈U關於第i個變量xi的偏微分為： ∂ ∂ x i f ( a ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i − 1 , a i + h , a i + 1 , … , a n ) − f ( a 1 , … , a n ) h {\displaystyle{\frac{\partial}{\partialx_{i}}}f(\mathbf{a})=\lim_{h\rightarrow0}{f(a_{1},\dots,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots,a_{n})-f(a_{1},\dots,a_{n})\overh}} 即使在某個給定的點a，所有的偏微分∂f/∂xi(a)都存在，函數仍然不一定在該點連續。

然而，如果所有的偏微分在a的一個鄰域內存在並連續，那麼f在該鄰域內完全可微分，且全微分是連續的。

在這種情況下，我們稱f是一個C1函數。

偏微分 ∂ f ∂ x {\displaystyle{\frac{\partialf}{\partialx}}} 可以視為定義在U內的另外一個函數，並可以再次求偏微分。

如果所有的混合二階偏微分在某個點（或集合）連續，我們便稱f為在該點（或集合）的一個C2函數；在這種情況下，根據克萊羅定理，偏微分可以互相交換： ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j = ∂ 2 f ∂ x j ∂ x i {\displaystyle{\frac{\partial^{2}f}{\partialx_{i}\,\partialx_{j}}}={\frac{\partial^{2}f}{\partialx_{j}\,\partialx_{i}}}} 。

參考文獻[編輯] GeorgeB.Thomas&RossL.Finney.CalculusandAnalyticGeometry.Addison-WesleyPublishingCompany,Inc.1994:833–840.ISBN 0-201-52929-7.  注釋[編輯] ^相對於全微分，在其中所有變量都允許變化 參見[編輯] 達朗貝爾算子 複合函數求導法則 旋度 方向導數 散度 外導數 梯度 雅可比矩陣 拉普拉斯算子 二階導數的對稱性 三乘積法則，又稱為循環鏈式法則。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=偏导数&oldid=68773008」 分類：​多變量微積分導數的推廣微分算子隱藏分類：​含有英語的條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةAsturianuAzərbaycancaБеларускаяБългарскиCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDeutschEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGalegoעבריתहिन्दीMagyarBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語Қазақша한국어КыргызчаLietuviųNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiPortuguêsRomânăРусскийSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்TagalogTürkçeУкраїнськаTiếngViệt文言粵語 編輯連結