行列式- 维基百科，自由的百科全书

，是一个在方块矩阵上计算得到的标量。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在欧 ... 行列式 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 线性代数 A = [ 1 2 3 4 ] {\displaystyle\mathbf{A}={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}} 向量 ·向量空间 ·行列式 ·矩阵 向量 标量·向量·向量空间·向量投影·外积（向量积）·内积（数量积） 矩阵与行列式 矩阵·行列式·线性方程组·秩·核·迹·單位矩陣·初等矩阵·方块矩阵·分块矩阵·三角矩阵·非奇异方阵·转置矩阵·逆矩阵·对角矩阵·可对角化矩阵·对称矩阵·反对称矩阵·正交矩阵·幺正矩阵·埃尔米特矩阵·反埃尔米特矩阵·正规矩阵·伴随矩阵·余因子矩阵·共轭转置·正定矩阵·幂零矩阵·矩阵分解（LU分解·奇异值分解·QR分解·极分解·特征分解）·子式和余子式·拉普拉斯展開·克罗内克积 线性空间与线性变换 线性空间·线性变换·线性子空间·线性生成空间·基·线性映射·线性投影·线性无关·线性组合·线性泛函·行空间与列空间·对偶空间·正交·特征向量·最小二乘法·格拉姆-施密特正交化 查论编 「横行（row）」的各地常用別名中国大陸行港臺列 「纵行（column）」的各地常用別名中国大陸列港臺行 行列式（Determinant），记作 det ( A ) {\displaystyle\det(A)} 或 | A | {\displaystyle|A|} ，是一个在方块矩阵上计算得到的标量。

行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。

或者说，在欧几里得空间中，行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。

无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用。

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。

十七世纪晚期，关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。

十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。

十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。

矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，其定义也被推广到诸如线性自同态和向量组等结构上。

行列式的特性可以被概括为一个交替多线性形式，这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数[1]。

目录 1记法 2直观定义 3几何意义：二维和三维欧氏空间中的例子 3.1二维向量组的行列式 3.2三维向量组的行列式 3.3基底的选择 3.4线性变换 4行列式与空间定向 5一般域上的行列式：严格的定义 5.1交替多线性形式（多重线性函数） 5.2向量组的行列式 5.2.1基变更公式 5.3矩阵的行列式 5.4线性变换的行列式 6系数的取值 7行列式的性質 8行列式的展开 8.1餘因式 8.2代数余子式 8.3行列式关于行和列的展开 9行列式的计算 10行列式函数 10.1单变量的行列式函数 10.2矩阵的行列式函数 11与外代数的关系 12历史 12.1早期研究 12.2任意阶数的行列式 12.3行列式的现代概念 13应用 13.1行列式与线性方程组 13.2行列式与矩阵 13.3行列式与多项式 13.4朗斯基行列式 13.5行列式与多重积分 13.6行列式与非线性方程组及分枝理论 14参见 15参考文献 15.1引用 15.2来源 16外部連結 记法[编辑] 矩陣 A {\displaystyleA} 的行列式記作 det ( A ) {\displaystyle\det(A)} 。

行列式經常使用竖直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。

例如，对于一個矩陣： A = [ a b c d e f g h i ] {\displaystyleA={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}} det ( A ) {\displaystyle\det(A)} 也记作 | A | {\displaystyle|A|} ，或以細長的垂直線取代矩陣的方括號，明確的寫为[2][3]： det ( A ) = | A | = | a b c d e f g h i | {\displaystyle\det(A)=|A|={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}} 当这个记法用于絕對值时，其作用对象为数，矩陣的絕對值是无定義的。

矩陣範數通常以雙垂直線來表示（如： ‖ ⋅ ‖ {\displaystyle\|\cdot\|} ），且可以使用下標。

故不会与二者造成混淆。

直观定义[编辑] 一个n阶方块矩阵 A {\displaystyleA} 的行列式可直观地定义如下： det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\det(A)=\sum_{\sigma\inS_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}} 其中， S n {\displaystyleS_{n}} 是集合 { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle\left\{1,2,...,n\right\}} 上置换的全体，即集合 { 1 , 2 , . . . , n } {\displaystyle\left\{1,2,...,n\right\}} 到自身上的一一映射（双射）的全体； ∑ σ ∈ S n {\displaystyle\sum_{\sigma\inS_{n}}} 表示对 S n {\displaystyleS_{n}} 全部元素的求和，即对于每个 σ ∈ S n {\displaystyle\sigma\inS_{n}} ， sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}} 在加法算式中出现一次；对每一个满足 1 ≤ i , j ≤ n {\displaystyle1\leqi,j\leqn} 的数对 ( i , j ) {\displaystyle\left(i,j\right)} ， a i , j {\displaystylea_{i,j}} 是矩阵 A {\displaystyleA} 的第 i {\displaystylei} 行第 j {\displaystylej} 列的元素。

sgn ⁡ ( σ ) {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)} 表示置换 σ ∈ S n {\displaystyle\sigma\inS_{n}} 的符号差，具体地说，满足 1 ≤ i ≤ j ≤ n {\displaystyle1\leqi\leqj\leqn} 但 σ ( i ) > σ ( j ) {\displaystyle\sigma(i)>\sigma(j)} 的有序数对 ( i , j ) {\displaystyle\left(i,j\right)} 称为 σ {\displaystyle\sigma} 的一个逆序。

如果 σ {\displaystyle\sigma} 的逆序共有偶数个，则 sgn ⁡ σ = 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=1} ，如果共有奇数个，则 sgn ⁡ σ = − 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=-1} 。

举例来说，对于3元置换 σ = ( 2 , 3 , 1 ) {\displaystyle\sigma=\left(2,3,1\right)} （即是说 σ ( 1 ) = 2 {\displaystyle\sigma(1)=2} ， σ ( 2 ) = 3 {\displaystyle\sigma(2)=3} ， σ ( 3 ) = 1 {\displaystyle\sigma(3)=1} ）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2个逆序（偶数个），因此 sgn ⁡ ( σ ) = 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}(\sigma)=1} ，从而3阶行列式中项 a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 {\displaystylea_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}} 的符号是正的。

但对于三元置换 σ = ( 3 , 2 , 1 ) {\displaystyle\sigma=\left(3,2,1\right)} （即是说 σ ( 1 ) = 3 {\displaystyle\sigma(1)=3} ， σ ( 2 ) = 2 {\displaystyle\sigma(2)=2} ， σ ( 3 ) = 1 {\displaystyle\sigma(3)=1} ）而言，可以数出共有3个逆序（奇数个），因此 sgn ⁡ σ = − 1 {\displaystyle\operatorname{sgn}\sigma=-1} ，从而3阶行列式中项 a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 {\displaystylea_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}} 的符号是负号[4][5]。

注意到对于任意正整数 n {\displaystylen} ， S n {\displaystyleS_{n}} 共拥有n!个元素，因此上式中共有 n ! {\displaystylen!} 个求和项，即这是一个有限多次的求和。

对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。

2阶矩阵的行列式： | a 1 , 1 a 1 , 2 a 2 , 1 a 2 , 2 | = a 1 , 1 a 2 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 {\displaystyle{\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}\\a_{2,1}&a_{2,2}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}-a_{1,2}a_{2,1}} [6] 3阶矩阵的行列式： | a 1 , 1 a 1 , 2 a 1 , 3 a 2 , 1 a 2 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 a 3 , 2 a 3 , 3 | = a 1 , 1 a 2 , 2 a 3 , 3 + a 1 , 2 a 2 , 3 a 3 , 1 + a 1 , 3 a 2 , 1 a 3 , 2 − a 1 , 3 a 2 , 2 a 3 , 1 − a 1 , 1 a 2 , 3 a 3 , 2 − a 1 , 2 a 2 , 1 a 3 , 3 {\displaystyle\displaystyle{\begin{vmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&a_{1,3}\\a_{2,1}&a_{2,2}&a_{2,3}\\a_{3,1}&a_{3,2}&a_{3,3}\end{vmatrix}}=a_{1,1}a_{2,2}a_{3,3}+a_{1,2}a_{2,3}a_{3,1}+a_{1,3}a_{2,1}a_{3,2}-a_{1,3}a_{2,2}a_{3,1}-a_{1,1}a_{2,3}a_{3,2}-a_{1,2}a_{2,1}a_{3,3}} [7] 三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和，减去蓝线上元素乘积之和。

但对于阶数 n ≥ 4 {\displaystylen\geq4} 的方阵 A {\displaystyleA} ，这样的主对角线和副对角线分别只有 n {\displaystylen} 条，由于 A {\displaystyleA} 的主、副对角线总条数 = 2 n < ( n − 1 ) n < n ! = S n {\displaystyle=2n n {\displaystylem>n} ，没有容许集合 S {\displaystyleS} ，约定行列式 det ( A B ) {\displaystyle\det(AB)} 是零[33]。

若 A {\displaystyleA} 是可逆矩陣， det ( A − 1 ) = ( det ( A ) ) − 1 {\displaystyle\displaystyle\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}} [34]。

由行列式的乘法定理以及 det ( A − 1 ) = ( det ( A ) ) − 1 {\displaystyle\displaystyle\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}} 可以知道，行列式定义了一个从一般线性群 ( G L n ( F ) , × ) {\displaystyle(GL_{n}(\mathbb{F}),\times)} 到 ( F ∗ , × ) {\displaystyle(\mathbb{F}^{*},\times)} 上的群同态[35]。

若将方块矩阵中的元素取共轭，得到的是矩阵的共轭矩阵。

共轭矩阵的行列式值等於矩阵行列式值的共軛： det ( A ¯ ) = det ( A ) ¯ {\displaystyle\det({\overline{A}})={\overline{\det(A)}}} [36] 若兩個矩陣相似，那麼它們的行列式相同。

这是因为两个相似的矩阵之间只相差一个基底变换，而行列式描述的是矩阵对应的线性映射对体积的影响，而不是体积，所以基底变换并不会影响行列式的值。

用数学语言来说，就是： 如果兩個矩陣 A {\displaystyle\mathbf{A}} 与 B {\displaystyle\mathbf{B}} 相似，那麼存在可逆矩阵 P {\displaystyle\mathbf{P}} 使得 A = P B P − 1 {\displaystyle\mathbf{A}=\mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1}} ，所以 det ( A ) = det ( P B P − 1 ) = det ( P ) ⋅ det ( B ) ⋅ det ( P − 1 ) = det ( B ) ⋅ det ( P ) ⋅ det ( P ) − 1 = det ( B ) {\displaystyle\det(\mathbf{A})=\det(\mathbf{PB}\mathbf{P}^{-1})=\det(\mathbf{P})\cdot\det(\mathbf{B})\cdot\det(\mathbf{P}^{-1})=\det(\mathbf{B})\cdot\det(\mathbf{P})\cdot\det(\mathbf{P})^{-1}=\det(\mathbf{B})} [27] 行列式是所有特徵值（按代数重数计）的乘积。

這可由矩陣必和其若尔当标准型相似推導出[37]。

特殊地，三角矩阵的行列式等于其对角线上所有元素的乘积[37]。

由于三角矩阵的行列式计算简便，当矩阵的系数为域时，可以通过高斯消去法将矩阵变换成三角矩阵，或者将矩阵分解成三角矩阵的乘积之后再利用行列式的乘法定理进行计算。

可以证明，所有的矩阵 A {\displaystyleA} 都可以分解成一个上三角矩阵 U {\displaystyleU} 、一个下三角矩阵 L {\displaystyleL} 以及一个置换矩阵 P {\displaystyleP} 的乘积： A = P ⋅ L ⋅ U {\displaystyleA=P\cdotL\cdotU} 。

这时，矩阵 A {\displaystyleA} 的行列式可以写成： det ( A ) = det ( P ) ⋅ det ( L ) ⋅ det ( U ) {\displaystyle\det(A)=\det(P)\cdot\det(L)\cdot\det(U)} [38] 分块矩阵的行列式并不能简单地表示成每个分块的行列式的乘积组合。

对于分块的三角矩阵，仍然有类似的结论： | A 0 C D | = | A B 0 D | = det ( A ) det ( D ) {\displaystyle{\begin{vmatrix}A&0\\C&D\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}A&B\\0&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D)} ，矩阵的行列式等于对角元素的行列式之乘积。

对于一般情况，若对角元素中有一个是可逆矩阵，比如说 A {\displaystyleA} 可逆，那么矩阵的行列式可以写做 | A B C D | = det ( A ) det ( D − C A − 1 B ) {\displaystyle{\begin{vmatrix}A&B\\C&D\end{vmatrix}}=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)} 。

[39] 矩阵的行列式和矩阵的迹数有一定的关联，当矩阵的系数为域时，在定义了矩阵的指数函数后，有如下的恒等式： det ( exp ⁡ ( A ) ) = exp ⁡ ( t r ( A ) ) {\displaystyle\det(\exp(A))=\exp(\mathrm{tr}(A))} [40] 行列式的展开[编辑] 餘因式[编辑] 又稱「余子式」、「餘因子」。

參見主條目餘因式。

对一个 n {\displaystylen} 阶的行列式 M {\displaystyleM} ，去掉 M {\displaystyleM} 的第 i {\displaystylei} 行第 j {\displaystylej} 列后形成的 n − 1 {\displaystylen-1} 阶的行列式叫做 M {\displaystyleM} 关于元素 m i j {\displaystylem_{ij}} 的餘因式。

记作 M i j {\displaystyleM_{ij}} [41]。

M i j = | m 1 , 1 … m 1 , j − 1 m 1 , j + 1 … m 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m i − 1 , 1 … m i − 1 , j − 1 m i − 1 , j + 1 … m i − 1 , n m i + 1 , 1 … m i + 1 , j − 1 m i + 1 , j + 1 … m i + 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ m n , 1 … m n , j − 1 m n , j + 1 … m n , n | {\displaystyleM_{ij}={\begin{vmatrix}m_{1,1}&\dots&m_{1,j-1}&m_{1,j+1}&\dots&m_{1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\m_{i-1,1}&\dots&m_{i-1,j-1}&m_{i-1,j+1}&\dots&m_{i-1,n}\\m_{i+1,1}&\dots&m_{i+1,j-1}&m_{i+1,j+1}&\dots&m_{i+1,n}\\\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\m_{n,1}&\dots&m_{n,j-1}&m_{n,j+1}&\dots&m_{n,n}\end{vmatrix}}} 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 代数余子式[编辑] M {\displaystyleM} 关于元素 m i j {\displaystylem_{ij}} 的代数余子式记作 C i j {\displaystyleC_{ij}} 。

C i j = ( − 1 ) ( i + j ) ⋅ M i j {\displaystyleC_{ij}=(-1)^{(i+j)}\cdotM_{ij}} [41]。

行列式关于行和列的展开[编辑] 一个 n {\displaystylen} 阶的行列式 M {\displaystyleM} 可以写成一行（或一列）的元素与对应的代数余子式的乘积之和，叫作行列式按一行（或一列）的展开。

det M = ∑ i = 1 n m i ; j C i , j {\displaystyle\det{M}=\sum_{i=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}} det M = ∑ j = 1 n m i ; j C i , j {\displaystyle\det{M}=\sum_{j=1}^{n}m_{i;j}C_{i,j}} 这个公式又称拉普拉斯公式，把 n {\displaystylen} 维矩阵的行列式计算变为了 n {\displaystylen} 个 n − 1 {\displaystylen-1} 维的行列式的计算[41][42]。

另一方面，拉普拉斯公式可以作为行列式的一种归纳定义：在定义了二维行列式后， n {\displaystylen} 维矩阵的行列式可以借助拉普拉斯公式用 n − 1 {\displaystylen-1} 维的行列式来定义。

这样定义的行列式与前面的定义是等价的[9]。

行列式的计算[编辑] 计算行列式的值是一个常见的问题。

最简单的方法是按照定义 det ( A ) = ∑ σ ∈ S n sgn ⁡ ( σ ) ∏ i = 1 n a i , σ ( i ) {\displaystyle\det(A)=\sum_{\sigma\inS_{n}}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}} 计算或按照拉普拉斯公式进行递归运算。

这样的算法需要计算 n ! {\displaystylen!} 次的加法，复杂度是指数函数。

在实际的计算中只能用于计算阶数很小的行列式。

注意到拉普拉斯公式的性质，如果一行或一列里面有很多个0，那么就可以把行列式按这一行或一列展开，这时数值为零的系数所对应的代数余子式就不必计算了，因为最后要乘以0，这样就可以简化计算。

然而更加简便的算法是利用高斯消去法或LU分解法，把矩阵通过初等变换变成三角矩阵或三角矩阵的乘积来计算行列式的值。

这些算法的复杂度都是 n 3 {\displaystylen^{3}} 级别，远远小于直接计算的复杂度。

如果一个算法可以在 O ( n s ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{s})} 时间内算出矩阵乘法，那么可以构造出一种 O ( n s ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{s})} 时间内的行列式求值算法。

这说明求矩阵的行列式的值和矩阵的乘法有相同的复杂度。

于是，通过分治算法或者其它的方法，可以达到比 O ( n 3 ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{3})} 更好的结果。

比如，存在复杂度 O ( n 2.376 ) {\displaystyle{\mathit{O}}(n^{2.376})} 的行列式求值算法[43][44]。

行列式函数[编辑] 由行列式的一般表达形式中可以看出，矩阵 A {\displaystyleA} 的行列式是关于其系数的多项式。

因此行列式函数具有良好的光滑性质。

单变量的行列式函数[编辑] 设矩阵函数 t ↦ A ( t ) {\displaystylet\mapstoA(t)} 为 C k {\displaystyle{\mathcal{C}}^{k}} （k阶连续可导）的函数，则由于行列式函数 t ↦ det A ( t ) {\displaystylet\mapsto\detA(t)} 只不过是矩阵 A ( t ) {\displaystyleA(t)} 的某些系数的乘积，所以也是 C k {\displaystyle{\mathcal{C}}^{k}} 的。

其对t的导数为 d d t ( det ( A 1 ( t ) , … , A n ( t ) ) ) = ∑ i = 1 n det ( A 1 ( t ) , … , A i − 1 ( t ) , A i ′ ( t ) , A i + 1 ( t ) , … , A n ( t ) ) {\displaystyle{\frac{\rm{d}}{{\rm{d}}t}}\left(\det(A_{1}(t),\dots,A_{n}(t))\right)=\sum_{i=1}^{n}\det(A_{1}(t),\dots,A_{i-1}(t),A'_{i}(t),A_{i+1}(t),\dots,A_{n}(t))} ，其中的每个 A i ( t ) {\displaystyleA_{i}(t)} 是矩阵 A ( t ) {\displaystyleA(t)} 的第i个行向量（也可以全部是列向量）。

[45] 矩阵的行列式函数[编辑] 函数 A ↦ det A {\displaystyleA\mapsto\detA} 是连续的。

由此，n阶一般线性群是一个开集，因为是开区间 R − { 0 } {\displaystyle\mathbb{R}-\left\{0\right\}} 的原像，而特殊线性群则是一个闭集，因为是闭集合 { 1 , − 1 } {\displaystyle\left\{1,-1\right\}} 的原像[46]。

函数 A ↦ det A {\displaystyleA\mapsto\detA} 也是可微的，甚至是光滑的（ C ∞ {\displaystyle{\mathcal{C}}^{\infty}} ）[47]。

它在某个矩阵 A {\displaystyleA} 处的展开为 det ( A + H ) = det A + t r ( t C o m ( A ) . H ) + o ( ‖ H ‖ ) {\displaystyle\det(A+H)=\detA+{\rm{tr}}({}^{t}{\rm{Com}}(A).H)+o(\|H\|)} [48] 也就是说，在装备正则范数的矩阵空间 M n ( R ) {\displaystyleM_{n}(\mathbb{R})} 中，伴随矩阵是行列式函数的梯度 ∇ det ( A ) = C o m ( A ) {\displaystyle\nabla\det(A)={\rm{Com}}(A)} [49]特别当 A {\displaystyleA} 为单位矩阵时， det ( I + H ) = 1 + t r ( H ) + o ( ‖ H ‖ ) , ∇ det ( I ) = I {\displaystyle\det(I+H)=1+{\rm{tr}}(H)+o(\|H\|),\qquad\nabla\det(I)=I} 可逆矩阵的可微性说明一般线性群 G L n ( R ) {\displaystyleGL_{n}(\mathbb{R})} 是一个李群[50]。

与外代数的关系[编辑] 行列式与外代数有密切的关系，因为外代数正是在给定的交换环 K {\displaystyle\mathbb{K}} 上的自由 K {\displaystyle\mathbb{K}} -模 V {\displaystyleV} 上最“一般性”的有交替性质的结合代数，记为 ∧ ( V ) {\displaystyle\wedge(V)} 。

外代数是由楔积构造而成的，而楔积在 V {\displaystyleV} 上的交替性质表现如下（定义）： 楔积是满足结合律的双线性的二元运算，使得對於所有向量 v ∈ V {\displaystylev\inV} ， v ∧ v = 0 {\displaystylev\wedgev=0} 这表示 對於所有向量 u , v ∈ V {\displaystyleu,v\inV} ， u ∧ v = − v ∧ u {\displaystyleu\wedgev=-v\wedgeu} ，以及 當 v 1 , … , v k ∈ V {\displaystylev_{1},\ldots,v_{k}\inV} 线性相关时， v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k = 0 {\displaystylev_{1}\wedgev_{2}\wedge\cdots\wedgev_{k}=0} 。

所有形同 v 1 ∧ v 2 ∧ ⋯ ∧ v k {\displaystylev_{1}\wedgev_{2}\wedge\cdots\wedgev_{k}} 的元素称为 k − {\displaystylek-} 向量。

所有 k − {\displaystylek-} 向量构成了 ∧ ( V ) {\displaystyle\wedge(V)} 的一个子空间，称为 V {\displaystyleV} 的 k − {\displaystylek-} 阶外幂，记为 ∧ k ( V ) {\displaystyle\wedge^{k}(V)} 。

行列式函数是 n {\displaystylen} 重交替线性形式，所以可以看成是将 n {\displaystylen} 个 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}} 裡面的向量映射到它们对应的 n − {\displaystylen-} 阶外幂 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})} 这样一个映射。

由于 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}} 的 k − {\displaystylek-} 阶外幂 ∧ k ( K n ) {\displaystyle\wedge^{k}(\mathbb{K}^{n})} 的维数等于组合数 ( n k ) {\displaystyle{\binom{n}{k}}} ， ∧ n ( R n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{R}^{n})} 的维数是 ( n n ) = 1 {\displaystyle{\binom{n}{n}}=1} ，因此 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})} 实际上同构于 K {\displaystyle\mathbb{K}} ，所以将行列式看做 n {\displaystylen} 个 K n {\displaystyle\mathbb{K}^{n}} 裡面的向量映射到它们对应的 n − {\displaystylen-} 阶外幂 ∧ n ( K n ) {\displaystyle\wedge^{n}(\mathbb{K}^{n})} 的映射与之前的行列式定义并没有冲突。

外代数理论实际上涵盖了行列式理论。

[51][52] 对三维欧几里得空间中 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 可以建立一个线性同构 ϕ : Λ 2 ( R 3 ) → R 3 {\displaystyle\phi:\Lambda^{2}(\mathbb{R}^{3})\rightarrow\mathbb{R}^{3}} 如下：任取 R 3 {\displaystyle\mathbb{R}^{3}} 的右手的标准正交基 i {\displaystyle{\boldsymbol{i}}} ， j {\displaystyle{\boldsymbol{j}}} ， k {\displaystyle{\boldsymbol{k}}} ，规定 ϕ {\displaystyle\phi} 把 i ∧ j {\displaystyle{\boldsymbol{i}}\wedge\mathbf{j}} ， j ∧ k {\displaystyle{\boldsymbol{j}}\wedge{\boldsymbol{k}}} ， k ∧ i {\displaystyle{\boldsymbol{k}}\wedge{\boldsymbol{i}}} 分别映射为 k {\displaystyle{\boldsymbol{k}}} ， i {\displaystyle{\boldsymbol{i}}} ， j {\displaystyle{\boldsymbol{j}}} ，则 ϕ {\displaystyle\phi} 的定义与右手的标准正交基如何选取无关。

不难看出，对任意向量 u {\displaystyle{\boldsymbol{u}}} 和 v {\displaystyle{\boldsymbol{v}}} ，这个线性同构把楔积 u ∧ v {\displaystyle{\boldsymbol{u}}\wedge{\boldsymbol{v}}} 映射为叉积 u × v {\displaystyle{\boldsymbol{u}}\times{\boldsymbol{v}}} 。

这就是叉乘（向量积）的实质。

叉积可以用带向量的行列式： a × b =   | i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 | {\displaystyle\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\{\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}} 来表示，但要注意这个行列式形式并不代表一个“真正”的行列式，因为第一行的分量不是数，而是向量。

这个计算之所以正确是得益于线性同构 ϕ {\displaystyle\phi} 。

[52] 历史[编辑] 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。

行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出，时间相差132年。

早期研究[编辑] 关孝和在《解伏题之法》中首次运用行列式的概念 1545年，卡当在著作《大术》（ArsMagna）中给出了一种解两个一次方程组的方法。

他把这种方法称为“母法”（regulademodo）。

这种方法和后来的克莱姆法则已经很相似了，但卡当并没有给出行列式的概念[53]。

1683年，日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中首次引进了行列式的概念。

书中出现了 2 × 2 {\displaystyle2\times2} 、 3 × 3 {\displaystyle3\times3} 乃至 5 × 5 {\displaystyle5\times5} 的行列式，行列式被用来求解高次方程组[54][55]。

1693年，德国数学家莱布尼茨开始使用指标数的系统集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数。

他从三个方程的系统中消去了两个未知量后得到一个行列式。

这个行列式不等于零，就意味着有一组解同时满足三个方程[56][57][54]。

由于当时没有矩阵的概念，莱布尼茨将行列式中元素的位置用数对来表示：ij代表第i行第j列。

莱布尼茨对行列式的研究成果中已经包括了行列式的展开和克莱姆法则，但这些结果在当时并不为人所知[58]。

任意阶数的行列式[编辑] 1730年，苏格兰数学家科林·麦克劳林在他的《论代数》中已经开始阐述行列式的理论，记载了用行列式解二元、三元和四元一次方程的方法，并给出了四元一次方程组的一般解的正确形式，尽管这本书直到麦克劳林逝世两年后（1748年）才得以出版[59]。

约瑟夫·拉格朗日 1750年，瑞士的加布里尔·克莱姆首先在他的《代数曲线分析引论》给出了n元一次方程组求解的法则，用于确定经过五个点的一般二次曲线的系数，但并没有给出证明[60]。

其中行列式的计算十分复杂，因为是定义在奇置换和偶置换上的[61]。

此后，关于行列式的研究逐渐增多。

1764年，法国的艾蒂安·裴蜀的论文中关于行列式的计算方法的研究简化了克莱姆法则，给出了用结式来判别线性方程组的方法[54][62]。

同是法国人的亚历山德·西奥菲勒·范德蒙德（Alexandre-ThéophileVandermonde）则在1771年的论著中第一个将行列式和解方程理论分离，对行列式单独作出阐述。

这是数学家们开始对行列式本身进行研究的开端[63]。

1772年，皮埃尔-西蒙·拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中推广了范德蒙德著作裡面将行列式展开为若干个较小的行列式之和的方法，发展出子式的概念。

一年后，约瑟夫·拉格朗日发现了 3 × 3 {\displaystyle3\times3} 的行列式与空间中体积的联系。

他发现：原点和空间中三个点所构成的四面体的体积，是它们的坐标所组成的行列式的六分之一[64][54]。

行列式在大部分欧洲语言中被称为“determinant”（某些语言中词尾加e或o，或变成s），这个称呼最早是由卡爾·弗里德里希·高斯在他的《算术研究》中引入的。

这个称呼的词根有“决定”意思，因为在高斯的使用中，行列式能够决定二次曲线的性质。

在同一本著作中，高斯还叙述了一种通过系数之间加减来求解多元一次方程组的方法，也就是现在的高斯消元法[54]。

行列式的现代概念[编辑] 詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特 进入十九世纪后，行列式理论进一步得到发展和完善。

奧古斯丁·路易·柯西在1812年首先将“determinant”一词用来表示十八世纪出现的行列式，此前高斯只不过将这个词限定在二次曲线所对应的系数行列式中。

柯西也是最早将行列式排成方阵并将其元素用双重下标表示的数学家（垂直线记法是阿瑟·凯莱在1841年率先使用的）[65]。

柯西还证明了行列式的乘法定理（实际上是矩阵乘法），这个定理曾经在雅克·菲利普·玛利·比内（JacquePhilippeMarieBinet）的书中出现过，但没有证明[66][54][65]。

十九世纪五十年代，凯莱和詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特将矩阵的概念引入数学研究中[67]。

行列式和矩阵之间的密切关系使得矩阵论蓬勃发展的同时也带来了许多关于行列式的新结果，例如阿达马不等式、正交行列式、对称行列式等等[68]。

与此同时，行列式也被应用于各种领域中。

高斯在二次曲线和二次型的研究中使用行列式作为二次曲线和二次型划归为标准型时的判别依据。

之后，卡尔·魏尔斯特拉斯和西尔维斯特又完善了二次型理论，研究了 λ {\displaystyle\lambda} -矩阵的行列式以及初等因子[69][70]。

行列式被用于多重函数的积分大约始于十九世纪三十年代。

1832年至1833年间卡尔·雅可比发现了一些特殊结果，1839年，欧仁·查尔·卡塔兰（EugèneCharlesCatalan）发现了所谓的雅可比行列式[71][72]。

1841年，雅可比发表了一篇关于函数行列式的论文，讨论函数的线性相关性与雅可比行列式的关系[73]。

应用[编辑] 行列式与线性方程组[编辑] 主条目：线性方程组 行列式的一个主要应用是解线性方程组。

当线性方程组的方程个数与未知数个数相等时，方程组不一定总是有唯一解。

对一个有n个方程和n个未知数的线性方程组，我们研究未知数系数所对应的行列式。

这个线性方程组有唯一解当且仅当它对应的行列式不为零。

这也是行列式概念出现的根源[74]。

当线性方程组对应的行列式不为零时，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式写出方程组的解。

但用克萊姆法則求解计算量巨大，因此并没有实际应用价值，一般用于理论上的推导[75]。

行列式与矩阵[编辑] 主条目：矩阵 矩阵的概念出现得比行列式晚，直到十九世纪中期才被引入，然而两者在本质上仍然有密切关系。

通过矩阵，线性方程组可以表示为 A x = b {\displaystyle\mathbf{A}x=b} 其中 A {\displaystyle\mathbf{A}} 是由方程组中未知数的系数构成的方块矩阵， x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) T {\displaystylex=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^{\mathbf{T}}} 是未知数，而 b = ( b 1 , b 2 , ⋯ , b n ) T {\displaystyleb=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})^{\mathbf{T}}} 。

在矩阵理论中，行列式也有各种用途。

多項式 p ( x ) = det ( x I − A ) {\displaystylep(x)=\det(xI-A)} 称为方块矩陣 A {\displaystyleA} 的特徵值多項式。

这是一个由行列式定义的多项式，它的解是矩阵所有的特征值。

换句话说， x {\displaystylex} 是矩阵 A {\displaystyleA} 的特征值当且仅当 x I − A {\displaystylexI-A} 不是可逆矩阵。

特征值多项式在矩阵理论中有重要的应用[76]。

行列式与多项式[编辑] 早在高斯的时代，行列式就和多项式的研究联系在一起。

行列式的一个应用是在所谓的“结式”上。

结式是两个多项式 p {\displaystyle\displaystylep} 和 q {\displaystyle\displaystyleq} 的西尔维斯特矩阵的行列式。

两个多项式的结式等于0当且仅当它们有高于或等于一次的公因子多项式。

结式还可以判断多项式是否有重根：如果多项式 p {\displaystyle\displaystylep} 和它的微分多项式 p ′ {\displaystyle\displaystylep^{\prime}} 的结式不为零，那么这个多项式没有重根，否则有重根[77]。

行列式在多项式逼近理论中也有出现。

给定一组插值点，判别插值多项式的存在性需要看所谓的范德蒙矩阵，而由于范德蒙矩阵的行列式不为零，因此根据克莱姆法则，插值多项式唯一存在（次数小于插值点个数）[78]。

朗斯基行列式[编辑] 主条目：朗斯基行列式 朗斯基行列式是函数矩阵的行列式，因此本身也是一个函数。

给定n个n-1次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式W(f1,...,fn)为： W ( f 1 , … , f n ) ( t ) = | f 1 ( t ) f 2 ( t ) ⋯ f n ( t ) f 1 ′ ( t ) f 2 ′ ( t ) ⋯ f n ′ ( t ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) ( t ) f 2 ( n − 1 ) ( t ) ⋯ f n ( n − 1 ) ( t ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})(t)={\begin{vmatrix}f_{1}(t)&f_{2}(t)&\cdots&f_{n}(t)\\f_{1}'(t)&f_{2}'(t)&\cdots&f_{n}'(t)\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}(t)&f_{2}^{(n-1)}(t)&\cdots&f_{n}^{(n-1)}(t)\end{vmatrix}}} [79] 可以证明，如果f1、...、fn线性相关，那么它们的朗斯基行列式恒等于零[79]。

在线性微分动力系统理论中，朗斯基行列式用来判别若干个解的线性相关性。

如果n个解f1、...、fn线性无关，那么它们的朗斯基行列式将总不为零[80]。

根据刘维尔定理，n维空间上的线性微分方程： Y ′ = A ( t ) Y {\displaystyleY^{\prime}=A(t)Y} 的基础解系所构成的朗斯基行列式 W ( t ) {\displaystyleW(t)} 满足： W ′ ( t ) = t r A ( t ) W ( t ) {\displaystyleW'(t)={\rm{tr}}\,A(t)W(t)} ，[79] 同样地，线性微分方程： y ( n ) = a 0 ( t ) y + a 1 ( t ) y ′ + a 2 ( t ) y ″ + . . . + a n − 1 ( t ) y ( n − 1 ) {\displaystyley^{(n)}=a_{0}(t)y+a_{1}(t)y'+a_{2}(t)y''+...+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}\,} 的基础解系所构成的朗斯基行列式 W ( t ) {\displaystyleW(t)} 满足： W ′ ( t ) = a n − 1 ( t ) W ( t ) {\displaystyleW'(t)=a_{n-1}(t)W(t)} [79] 行列式与多重积分[编辑] 主条目：雅可比矩阵 雅可比行列式是把一个体积元（蓝色）变换成另一个（红色）时两者的体积之比 行列式体现了线性变换对于空间体积的作用，对于非线性的函数，其对体积的影响更为复杂，但对于足够“良好”的函数，在一个微小的范围内，比如说在空间中一点的附近，可以将函数的效果近似地用线性的变换来代替。

由此，对于某些函数，也可以将它在某一点附近的作用效果用它在这一点上的偏导数构成的矩阵（称为雅可比矩阵）来表示。

这类行列式被称为“雅可比行列式”，即是雅可比矩阵的行列式，只对连续可微的函数有定义[81]。

在计算“体积”的多重积分中，雅可比行列式应用于换元积分的时候。

积分的思想是将空间割成许多个微小的体积元，称为积分元素，再将每个体积元上的函数值乘以体积元的体积后相加。

将一个积分元素换为另一个积分元素时，实际上作了一次对空间中体积的度量方式的改变：分划体积元的方式不同了。

譬如在二维空间中，将直角坐标积分换为极坐标积分时，面积元素由方块区域变成扇形区域。

因此，要测量这种体积度量方式的改变，可以将这种变换看成一个非线性的变换函数（实际上是一个微分同胚）： φ : R n ⟶ R n {\displaystyle\varphi:\mathbb{R}^{n}\longrightarrow\mathbb{R}^{n}} 。

而它在每一点的影响可以通过雅可比行列式来体现[82]。

行列式与非线性方程组及分枝理论[编辑] 主条目：牛顿法和分枝理论 运用雅可比行列式的还有非线性方程组的数值求解。

对于一般的非线性方程组，不存在求解公式，只能够用数值分析的方法求近似解。

求近似解的基本思想也是将非线性问题在局部的地方逐步线性化，化归为线性方程组来求解。

设有方程组： { f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 ⋮ ⋮ f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0\\\quad\vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\quad\\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})=0\end{cases}}} 其中 f = ( f 1 , ⋯ , f n ) {\displaystylef=(f_{1},\cdots,f_{n})} 是连续可微函数，并在解的附近雅可比行列式不为零，那么可以用牛顿法迭代求得近似解。

迭代程序为： f ( x ( k + 1 ) ) = x ( k ) − det ( J f ( x ( k ) ) ) − 1 f ( x ( k ) ) ( k = 0 , 1 , ⋯ ) {\displaystylef(x^{(k+1)})=x^{(k)}-\det(\mathbf{J}_{f}(x^{(k)}))^{-1}f(x^{(k)})\qquad(k=0,1,\cdots)} 其中的 x ( k ) = ( x 1 ( k ) , x 2 ( k ) , ⋯ , x n ( k ) ) {\displaystylex^{(k)}=(x_{1}^{(k)},x_{2}^{(k)},\cdots,x_{n}^{(k)})} 是第k次迭代时的解的近似数值。

每次迭代时先求解关于线性方程组 J f ( x ( k ) ) Δ x ( k ) = f ( x ( k ) ) {\displaystyle\mathbf{J}_{f}(x^{(k)})\Deltax^{(k)}=f(x^{(k)})} 然后计算新的近似值 x ( k + 1 ) = x ( k ) − Δ x ( k ) {\displaystylex^{(k+1)}=x^{(k)}-\Deltax^{(k)}} [83] 在实际应用中，还需要考虑带有参数的非线性方程组： { f 1 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , λ ) = 0 ⋮ ⋮ f n ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n , λ ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda)=0\\\quad\vdots\qquad\qquad\qquad\vdots\quad\\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\lambda)=0\end{cases}}} 其中的 λ {\displaystyle\lambda} 可以代表温度、外力等环境因素。

当环境改变时，方程解上的雅可比行列式可能从非零变为零。

雅可比行列式为零的点称为临界点或分支点，是方程的解改变性质的地方。

和线性方程组类似，当雅可比行列式的值为零时，方程组会出现局部多值的情况。

寻找分支点和分支方向的研究是非线性方程求解的一大问题。

[84] 参见[编辑] 数学主题 多重线性映射 矩阵论 伴随矩阵 结式 子式和余子式 不变因子 黑塞矩阵 格拉姆矩阵 体积形式 空间定向 混合积 积和式 斯莱特行列式 阿达马不等式 廣義克羅內克函數 量子行列式 萨吕法则 参考文献[编辑] 引用[编辑] ^项武义，《基础代数学》，第92页 ^居余马，《线性代数》第2-5页 ^张贤科，《高等代数学》，第38页 ^（英文）M.R.Adhikari.Textbookoflinearalgebra:anintroductiontomodernalgebra.AlliedPublishersPvtLtd.2004.ISBN 978-8-177-64591-0. ，第461页 ^张贤科，《高等代数学》，第33页 ^6.06.1Harold，頁34 ^7.07.1Harold，頁35 ^8.08.18.2张贤科，《高等代数学》，第40页 ^9.09.19.29.39.4（中文）項武義.基礎代數學.人民教育出版社.2004.ISBN 7-107-17679-X. ，第92页。

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另一方面，若干个复数乘积或和的共轭等于其共轭的乘积或和。

从而当每个系数都取共轭后，行列式这个多项式的值也变成原来的共轭。

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分类：​線性代數矩陣論行列式隐藏分类：​自2020年3月带有失效链接的条目条目有永久失效的外部链接含有缺少标题的引用的页面自2018年4月带有失效链接的条目典范条目含有英語的條目含有俄語的條目含有立陶宛語的條目含有法語的條目包含BNF标识符的维基百科条目包含LCCN标识符的维基百科条目包含NDL标识符的维基百科条目 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 在其他项目中 维基共享资源 其他语言 العربيةAzərbaycancaБеларускаяБългарскиবাংলাBosanskiCatalàکوردیČeštinaЧӑвашлаDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisNordfriiskGaeilgeGalegoעבריתहिन्दीHrvatskiMagyarՀայերենBahasaIndonesiaÍslenskaItaliano日本語ქართულიҚазақшаಕನ್ನಡ한국어КыргызчаLatinaLombardLietuviųLatviešuМакедонскиമലയാളംNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiپنجابیPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaShqipСрпски/srpskiSvenskaதமிழ்ไทยTürkçeУкраїнськаاردوOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语Bân-lâm-gú粵語 编辑链接