齊次函數- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

在數學中，齊次函數是一個有倍數性質的函數：如果變數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

目次. 1 正式定義; 2 例子; 3 基本定理; 4 用於解微分 ... 齊次函數 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 在數學中，齊次函數是一個有倍數性質的函數：如果變數乘以一個係數，則新函數會是原函數再乘上係數的某次方倍。

目次 1正式定義 2例子 3基本定理 4用於解微分方程 5參考文獻 6外部連結 正式定義[編輯] 假設 f : V → W {\displaystylef:V\rightarrowW} 是域 F {\displaystyleF} 內的兩個向量空間之間的函數。

我們說 f {\displaystylef} 是「 k {\displaystylek} 次齊次函數」，如果對於所有非零的 α ∈ F {\displaystyle\alpha\inF} 和 v ∈ V {\displaystyle\mathbf{v}\inV} ，都有： f ( α v ) = α k f ( v ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{v})=\alpha^{k}f(\mathbf{v})} 即是，在歐幾里得空間， f ( α v ) = f ( k )   f ( v ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{v})=f(k)\f(\mathbf{v})} ， 其中 f ( k ) {\displaystylef(k)} 為指數函數。

例子[編輯] 線性函數 f : V → W {\displaystylef:V\rightarrowW} 是一次齊次函數，因為根據線性的定義，對於所有的 α ∈ F {\displaystyle\alpha\inF} 和 v ∈ V {\displaystyle\mathbf{v}\inV} ，都有： f ( α v ) = α f ( v ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{v})=\alphaf(\mathbf{v})} 多線性函數 f : V 1 × … × V n → W {\displaystylef:V_{1}\times\ldots\timesV_{n}\rightarrowW} 是n次齊次函數，因為根據多線性的定義，對於所有的 α ∈ F {\displaystyle\alpha\inF} 和 v 1 ∈ V 1 , … , v n ∈ V n {\displaystyle\mathbf{v}_{1}\inV_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n}\inV_{n}} 都有： f ( α v 1 , … , α v n ) = α n f ( v 1 , … , v n ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{v}_{1},\ldots,\alpha\mathbf{v}_{n})=\alpha^{n}f(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})} 從上一個例子中可以看出，兩個巴拿赫空間 X {\displaystyleX} 和 Y {\displaystyleY} 之間的函數 f : X → Y {\displaystylef:X\rightarrowY} 的 n {\displaystylen} 階弗雷歇導數是 n {\displaystylen} 次齊次函數。

n {\displaystylen} 元單項式定義了齊次函數 f : R n → R {\displaystylef:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}} 。

例如： f ( x , y , z ) = x 5 y 2 z 3 {\displaystylef(x,y,z)=x^{5}y^{2}z^{3}} 是10次齊次函數，因為： ( α x ) 5 ( α y ) 2 ( α z ) 3 = α 10 x 5 y 2 z 3 {\displaystyle(\alphax)^{5}(\alphay)^{2}(\alphaz)^{3}=\alpha^{10}x^{5}y^{2}z^{3}} 。

齊次多項式是由同次數的單項式相加所組成的多項式。

例如： x 5 + 2 x 3 y 2 + 9 x y 4 {\displaystylex^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}} 是5次齊次多項式。

齊次多項式可以用來定義齊次函數。

基本定理[編輯] 歐拉定理：假設函數 f : R n → R {\displaystylef:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}} 是可導的，且是 k {\displaystylek} 次齊次函數。

那麼： x ⋅ ∇ f ( x ) = k f ( x ) {\displaystyle\mathbf{x}\cdot\nablaf(\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})\qquad} 。

這個結果證明如下。

記 f = f ( x 1 , … , x n ) = f ( x ) {\displaystylef=f(x_{1},\ldots,x_{n})=f(\mathbf{x})} ，並把以下等式兩端對 α {\displaystyle\alpha} 求導： f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{x})=\alpha^{k}f(\mathbf{x})} 利用複合函數求導法則，可得： ∂ ∂ α x 1 f ( α x ) d d α ( α x 1 ) + ⋯ + ∂ ∂ α x n f ( α x ) d d α ( α x n ) = k α k − 1 f ( x ) {\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\alphax_{1}}}f(\alpha\mathbf{x}){\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}}(\alphax_{1})+\cdots+{\frac{\partial}{\partial\alpha{x_{n}}}}f(\alpha\mathbf{x}){\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\alpha}}(\alphax_{n})=k\alpha^{k-1}f(\mathbf{x})} ， 因此： x 1 ∂ ∂ α x 1 f ( α x ) + ⋯ + x n ∂ ∂ α x n f ( α x ) = k α k − 1 f ( x ) {\displaystylex_{1}{\frac{\partial}{\partial\alphax_{1}}}f(\alpha\mathbf{x})+\cdots+x_{n}{\frac{\partial}{\partial\alphax_{n}}}f(\alpha\mathbf{x})=k\alpha^{k-1}f(\mathbf{x})} 。

以上的方程可以用劈形算符寫為： x ⋅ ∇ f ( α x ) = k α k f ( x ) , ∇ = ( ∂ ∂ x 1 , … , ∂ ∂ x n ) {\displaystyle\mathbf{x}\cdot\nablaf(\alpha\mathbf{x})=k\alpha^{k}f(\mathbf{x}),\qquad\nabla=({\frac{\partial}{\partialx_{1}}},\ldots,{\frac{\partial}{\partialx_{n}}})} ， 當 α = 1 {\displaystyle\alpha=1} ，定理即得證。

假設 f : R n → R {\displaystylef:\mathbb{R}^{n}\rightarrow\mathbb{R}} 是可導的，且是 k {\displaystylek} 階齊次函數。

則它的一階偏導數 ∂ f / ∂ x i {\displaystyle\partialf/\partialx_{i}} 是 k − 1 {\displaystylek-1} 階齊次函數。

這個結果可以用類似歐拉定理的方法來證明。

記 f = f ( x 1 , … , x n ) = f ( x ) {\displaystylef=f(x_{1},\ldots,x_{n})=f(\mathbf{x})} ，並把以下等式兩端對 x i {\displaystylex_{i}} 求導： f ( α x ) = α k f ( x ) {\displaystylef(\alpha\mathbf{x})=\alpha^{k}f(\mathbf{x})} 利用複合函數求導法則，可得： ∂ ∂ α x i f ( α x ) d d x i ( α x i ) = α k ∂ ∂ x i f ( x ) d d x i ( x i ) {\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\alphax_{i}}}f(\alpha\mathbf{x}){\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_{i}}}(\alphax_{i})=\alpha^{k}{\frac{\partial}{\partialx_{i}}}f(\mathbf{x}){\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x_{i}}}(x_{i})} ， 因此： α ∂ ∂ α x i f ( α x ) = α k ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle\alpha{\frac{\partial}{\partial\alphax_{i}}}f(\alpha\mathbf{x})=\alpha^{k}{\frac{\partial}{\partialx_{i}}}f(\mathbf{x})} 所以 ∂ ∂ α x i f ( α x ) = α k − 1 ∂ ∂ x i f ( x ) {\displaystyle{\frac{\partial}{\partial\alphax_{i}}}f(\alpha\mathbf{x})=\alpha^{k-1}{\frac{\partial}{\partialx_{i}}}f(\mathbf{x})} . 用於解微分方程[編輯] 對於以下的微分方程 I ( x , y ) d y d x + J ( x , y ) = 0 , {\displaystyleI(x,y){\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}+J(x,y)=0,} 其中 I {\displaystyleI} 和 J {\displaystyleJ} 是同次數的齊次函數，利用變量代換 v = y / x {\displaystylev=y/x} ，可以把它化為可分離變量的微分方程： x d v d x = − J ( 1 , v ) I ( 1 , v ) − v {\displaystylex{\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}}=-{\frac{J(1,v)}{I(1,v)}}-v} 。

參考文獻[編輯] Blatter,Christian.20.MehrdimensionaleDifferentialrechnung,Aufgaben,1..AnalysisII(2nded.).SpringerVerlag.1979:p.188.ISBN 3-540-09484-9（德語）. 引文格式1維護：冗餘文本(link) 外部連結[編輯] Hazewinkel,Michiel(編),Homogeneousfunction,数学百科全书,Springer,2001,ISBN 978-1-55608-010-4  PlanetMath上Homogeneousfunction的資料。

取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=齐次函数&oldid=71318730」 分類：​線性代數微分算子函數隱藏分類：​引文格式1維護：冗餘文本CS1德語來源(de) 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةБеларускаяБеларуская(тарашкевіца)CatalàČeštinaЧӑвашлаDeutschEnglishEsperantoEspañolEuskaraفارسیFrançaisעבריתMagyarItaliano日本語한국어NederlandsPolskiPortuguêsРусскийSimpleEnglishSvenskaУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結