[微分方程] 變動參數法求解二階常係數非齊次微分方程

但除此之外其他形式的f，待定係數法並無法協助我們求解特解，故我們在此介紹一種更泛用的解法稱作變動參數法(Variation of Parameter Method)來求解二階常 ... 跳到主要內容 [微分方程]變動參數法求解二階常係數非齊次微分方程 4月19,2016 考慮二階線性非齊次微分方程 \[ L(y):=a_0y''+a_1y'+a_2y=f \]其中$a_0,a_1,a_2$為常數且$f$為在某區間$I$上有定義的任意函數，且$L$為linearoperator。

一般而言，求解二階線性非齊次微分方程可透過待定係數法(UndeterminedCoefficientMethod)求解，然而此法僅適用於特定(常見)的外力函數$f$，比如$f=ct^ke^{mt}$其中$c$為常數，$k$為非負整數，$m$為實數或者複數。

但除此之外其他形式的$f$，待定係數法並無法協助我們求解特解，故我們在此介紹一種更泛用的解法稱作變動參數法(VariationofParameterMethod)來求解二階常係數非齊次微分方程。

Comment: 此法事實上觀賞價值大於實用價值。

因為對於任意高階ODE此法失效，但若讀者熟悉系統理論，可知道我們有更強大的工具來幫助我們求解高階ODE問題：亦即所謂狀態空間表示法(StateSpaceRepresentation)，可以將任意高階ODE降為一階ODE系統方程，再透過線性系統理論進行直接求解。

以下我們直接進入主題，考慮二階線性非齊次微分方程 \[ L(y):=a_0y''+a_1y'+a_2y=f \] 現在令$\phi_1$與$\phi_2$為對$L(y)=0$的一組解基底，且令 \[ \psi:=u_1\phi_1+u_2\phi_2 \]其中$u_1,u_2$為待定函數。

(注意，上式中的$u_1,u_2$不為常數而是以$t$為變數的函數！) 現在觀察 \[\begin{array}{l} \psi ={u_1}{\phi_1}+{u_2}{\phi_2}\\ \psi'={u_1}'{\phi_1}+{u_1}{\phi_1}'+{u_2}'{\phi_2}+{u_2}{\phi_2}'\\ \psi''={u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+2{u_1}'{\phi_1}'+2{u_2}'{\phi_2}'+{u_1}{\phi_1}''+{u_2}{\phi_2}'' \end{array}\]由於$L(\phi_1)=0$且$L(\phi_2)=0$，透過一連串代數整理，我們有 \[\begin{array}{l} L(\psi)={a_0}\psi''+{a_1}\psi'+{a_2}\psi\\  ={a_0}\left({{u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+2{u_1}'{\phi_1}'+2{u_2}'{\phi_2}'+{u_1}{\phi_1}''+{u_2}{\phi_2}''}\right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}+{a_1}\left({{u_1}'{\phi_1}+{u_1}{\phi_1}'+{u_2}'{\phi_2}+{u_2}{\phi_2}'}\right)+{a_2}\left({{u_1}{\phi_1}+{u_2}{\phi_2}}\right)\\  ={a_0}\left({{u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+2{u_1}'{\phi_1}'+2{u_2}'{\phi_2}'}\right)+{a_1}\left({{u_1}'{\phi_1}+{u_2}'{\phi_2}}\right)\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}+{u_1}\underbrace{L\left({{\phi_1}}\right)}_{=0}+{u_2}\underbrace{L\left({{\phi_2}}\right)}_{=0}\\  ={a_0}\left({{u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+2{u_1}'{\phi_1}'+2{u_2}'{\phi_2}'}\right)+{a_1}\left({{u_1}'{\phi_1}+{u_2}'{\phi_2}}\right) \end{array} \]注意到由於我們要求$L(\psi)=f$故我們得到條件： \[{a_0}\left({{u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+2{u_1}'{\phi_1}'+2{u_2}'{\phi_2}'}\right)+{a_1}\left({{u_1}'{\phi_1}+{u_2}'{\phi_2}}\right)=f\;\;\;\;\;(\star) \]由於$u_1,u_2$待定，故我們需要兩條方程來解之，現在觀察上述條件，若我們假設 \[{{u_1}'{\phi_1}+{u_2}'{\phi_2}}=0\;\;\;\;(*) \]則 \[{{u_1}''{\phi_1}+{u_2}''{\phi_2}+{u_1}'{\phi_1}'+{u_2}'{\phi_2}'}=0 \]故現在讓$(*)$成立，則條件$(\star)$可被大幅簡化為 \[{a_0}\left({{u_1}'{\phi_1}'+{u_2}'{\phi_2}'}\right)=f\]至此我們獲得了兩條方程來解我們的$u_1,u_2$，亦即 \[\left\{\begin{array}{l} {u_1}'{\phi_1}+{u_2}'{\phi_2}=0\;\\ {u_1}'{\phi_1}'+{u_2}'{\phi_2}'=\frac{f}{{{a_0}}} \end{array}\right.\]由上述可解得 \[\begin{array}{l} u_1'=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{\phi_2}}\\ {f/{a_0}}&{{\phi_2}'} \end{array}}\right|}}{{\underbrace{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi_1}}&{{\phi_2}}\\ {{\phi_1}'}&{{\phi_2}'} \end{array}}\right|}_{=W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)}}};{u_2}'=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi_1}}&0\\ {{\phi_1}'}&{f/{a_0}} \end{array}}\right|}}{{\underbrace{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{\phi_1}}&{{\phi_2}}\\ {{\phi_1}'}&{{\phi_2}'} \end{array}}\right|}_{=W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)}}}\\  \Rightarrow{u_1}'=\frac{{-f{\phi_2}}}{{{a_0}W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)}};{u_2}'=\frac{{{\phi_1}f}}{{{a_0}W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)}} \end{array}\]由$u_1',u_2'$可透過積分求得$u_1,u_2$，亦即 \[{{u_1}= -\int{\frac{{f\left(s\right){\phi_2}\left(s\right)}}{{{a_0}W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)\left(s\right)}}ds};\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}{u_2}^\prime =\int{\frac{{{\phi_1}\left(s\right)f\left(s\right)}}{{{a_0}W\left({{\phi_1},{\phi_2}}\right)\left(s\right)}}}ds}\] 以下我們看個例子： Example: 試利用variationofparameter法求解 \[ y''(t)+y(t)=t \] Proof: 首先求解nullsolution$y_n(t)$：令$\phi(t)=e^{st}$代入ODE中可得 \[ (s^2+1)e^{st}=0 \]故$s_{1,2}=\pmi$故可得 \[ \phi_1(t)=e^{s_1t};\;\;\;\phi_2(t)=e^{s_2t} \]讀者可驗證上述$\phi_1,\phi_2$彼此線性獨立(驗證Wronksian)故nullsolution \[\begin{array}{l} {y_n}(t)={c_1}{\phi_1}(t)+{c_2}{\phi_2}(t)\\  \;\;\;\;\;\;={c_1}{e^{it}}+{c_2}{e^{-it}} \end{array}\]一旦我們得到$y_n$則可利用variationofparameter法求particularsolution $y_p(t)$令 \[ \psi(t):=c_1(t)\phi_1(t)+c_2(t)\phi_2(t)=c_1(t)e^{it}+c_2(t)e^{-it} \]則我們可計算 \[\begin{array}{l} \psi(t)={c_1}\left(t\right){e^{it}}+{c_2}\left(t\right){e^{-it}}\\ \psi'(t)=\underbrace{\left({{c_1}'\left(t\right){e^{it}}+{c_2}'\left(t\right){e^{-it}}}\right)}_{:=0}+\left({{c_1}\left(t\right)i{e^{it}}-{c_2}\left(t\right)i{e^{-it}}}\right)\\ \psi''(t)={c_1}'\left(t\right)i{e^{it}}-{c_1}\left(t\right){e^{it}}-{c_2}'\left(t\right)i{e^{-it}}-{c_2}\left(t\right){e^{-it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}={c_1}'\left(t\right)i{e^{it}}-{c_2}'\left(t\right)i{e^{-it}}-{c_1}\left(t\right){e^{it}}-{c_2}\left(t\right){e^{-it}} \end{array}\]注意到上述推倒中我們強制讓 \[{{c_1}'\left(t\right){e^{it}}+{c_2}'\left(t\right){e^{-it}}}:=0\;\;\;(*) \]現在將上述$\psi,\psi',\psi''$代入ODE中可得 \[\begin{array}{l} \psi''(t)+\psi(t)=t\\  \Rightarrow\left({{c_1}'\left(t\right)i{e^{it}}-{c_2}'\left(t\right)i{e^{-it}}-{c_1}\left(t\right){e^{it}}-{c_2}\left(t\right){e^{-it}}}\right)+{c_1}\left(t\right){e^{it}}+{c_2}\left(t\right){e^{-it}}=t\\  \Rightarrow{c_1}'\left(t\right)i{e^{it}}-{c_2}'\left(t\right)i{e^{-it}}=t\;\;\;\;\;(**) \end{array}\]現在觀察$(*)$與$(**)$我們得到一組聯立方程 \[\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} {c_1}'\left(t\right){e^{it}}+{c_2}'\left(t\right){e^{-it}}=0\\ {c_1}'\left(t\right)i{e^{it}}-{c_2}'\left(t\right)i{e^{-it}}=t \end{array}\right.\\  \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} {c_1}'\left(t\right)=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{e^{-it}}}\\ t&{-i{e^{-it}}} \end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&{{e^{-it}}}\\ {i{e^{it}}}&{-i{e^{-it}}} \end{array}}\right|}}=\frac{t}{{2i}}{e^{-it}};\\ {c_2}'\left(t\right)=\frac{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&0\\ {i{e^{it}}}&t \end{array}}\right|}}{{\left|{\begin{array}{*{20}{c}} {{e^{it}}}&{{e^{-it}}}\\ {i{e^{it}}}&{-i{e^{-it}}} \end{array}}\right|}}= -\frac{t}{{2i}}{e^{it}} \end{array}\right. \end{array}\]對$c_1'(t)$與$c_2'(t)$取積分，可解得$c_1,c_2$如下 \[\left\{\begin{array}{l} {c_1}\left(t\right)=\frac{1}{{2i}}\int{t{e^{-it}}dt} =\frac{1}{2}{e^{-it}}(t-i);\\ {c_2}\left(t\right)= -\frac{1}{{2i}}\int{t{e^{it}}dt} =\frac{1}{2}{e^{it}}(t+i) \end{array}\right.\]故特解 \[\begin{array}{l} {y_p}(t)={c_1}(t){e^{it}}+{c_2}(t){e^{-it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}=\frac{1}{2}{e^{-it}}(t-i){e^{it}}+\frac{1}{2}{e^{it}}(t+i){e^{-it}}\\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}=t \end{array}\]最後完整解 \[ y(t)=y_n(t)+y_p(t)=(c_1e^{it}+c_2e^{-it})+t \] Comment: 事實上，上述例子可透過待定係數求解特解，亦即令 \[ y_p(t):=At+B \]其中$A,B$為待定常數，現在觀察$y_p'=A$且 \[ y_p''(t)=0 \]故代入$y''+y=t$可得 \[ 0+(At+B)=t \]亦即$A=1,B=0$亦即我們可直接解得特解 \[ y_p(t)=t \]而無需如前述變動餐數法繁複的手段來進行求解。

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事實上想法是這樣的：比如說現在想要比較兩個數字$3$,$5$之間的大小，則我們可以馬上知道$3<5$；同樣的，如果再考慮小數與無理數如$1.8753$與$\pi$，我們仍然可以比較大小$1.8753