齊性非齊性@ LIFE DIARY :: 隨意窩Xuite日誌

所以f(x,y) 為齊次函數例：f(x,y) = x3 + x y + y2 ，則f(λx,λy) ≠ λ3 x3 + λ2 x2 + λ2 y2 ... 當f(λx,λy,λz) = λk f(x,y,z) = 0 ，即謂非齊次方程式。

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其中λ、k為常數。

例：f(x,y)=x2+xy+y2，則f(λx,λy)=λ2f(x,y)　　所以f(x,y)為齊次函數例：f(x,y)=x3+xy+y2，則f(λx,λy) ≠λ3x3+λ2 x2+λ2y2　　不存在一數k使得f(λx,λy)=λkf(x,y)。

所以f(x,y)為非齊次函數當f(λx,λy,λz)=λkf(x,y,z)=0，即謂非齊次方程式。

若方程式為聯立式f(λx,λy,λz)=0、g(λx,λy,λz)=0 、……，即聯立非齊次方程式。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－同理，齊次微分方程式定義：f(λy(x),λy'(x),λy''(x),……)=λkf(y(x),y'(x),y''(x))=0則f(y(x),y'(x),y''(x),……)=0為齊次微分方程式。

例如：y''(x)+y'(x)+y(x)=0，齊次　　　 y'(x)+y(x)=3，非齊次。

{令f(y'(x),y(x))=y'(x)+y(x)-3，　　　 f(λy'(x),λy(x))=λy'(x)+λy(x)-3≠λkf(y'(x),y(x))}　　　y''(x)+y'(x)．y(x)=0，非齊次。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－y．y''+(3y')²=0是否為齊次方程式？令f(y,y',y'') =y．y''+(3y')²f(λy,λy',λy'')=λy．λy''+(3．λy')²=λ²f(y,y',y'')所以為齊次微分方程式。

－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－是否為齊次函數或是否為齊次方程式，並非看是否存在常數項。

而是要看"自變數"或"自變函數"和"應變數"及"應變函數"的關係。

一般來說，若有常數項的存在，應為非齊次；但沒有常數項並不一定為齊次！若是不清楚如何判別，就把定義記清楚，數學都有嚴格的定義和推論，循著定義推理答案就不容易出錯。

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