線性代數

線性系統的矩陣形式(Matrix Form of a Linear System). The matrix A is called the ... 1.4 反矩陣;矩陣的代數性質 Inverse; Algebraic Properties of Matrices. 線性代數 wrttenbyWildsky 1.1線性方程式系統的介紹   IntroductiontoSystemsofLinearEquations 線性方程式(LinearEquations) 任何在xy平面上的直線都可被表示為a1x+a2y=b 通式:定義一個線性方程式: a1x1+a2x2+···+anxn=b 其中a1,a2.....,an,和b都是實數 Thevariablesinalinearequatio為naresometimescalledunknowns. x+3y=7,y=(1/2)x+3z+1和x1-2x2-3x3+x4=7 都是線性 線性方程式中,變數不會"相乘"或是"開根號" 所有的變數只會以一次方的形式出現,不會有"三角函數"或"指數對數"的形式 方程式的解(solution)會使方程式滿足等式 有個詞叫通解(generalsolution) 線性系統(LinearSystems) Afinitesetoflinearequationsinthevariablesx1,x2,…,xniscalleda systemoflinearequationsoralinearsystem(線性系統). 一串數字s1,s2,…,sn為該系統的唯一解 一個系統沒有解為矛盾方程組 (inconsistent) 一個系統有無限多組解為相容方程組 (consistent) 每個線性系統只會有這三種可能:單一解,無解,無限多組解 兩個線性方程式常見的系統(Generalsystem): a1x+b1y=c1(a1,b1均非零) a2x+b2y=c2(a2,b2 均非零) 兩條線平行(parallel)–無解(nosolution) 兩條線交於一點(intersectatonlyonepoint)–唯一組解(onesolution) 兩條線重合(coincide)–無限多組解(infinitelymanysolutions) 有三個變數的線性系統即為平面方程組(如下圖) 增廣矩陣(AugmentedMatrices) 將原本的+,x,=等符號省略,只留係數在方陣中 必須以相同的順序放置常數 列運算(RowOperation) 解決一個線性方程組最基本的方法是用"有相同解但更單純"的式子取代原式 因為一個增廣矩陣的列correspondtotheequations intheassociatedsystem,anewsystemisgenerallyobtainedina seriesofstepsbyapplyingthefollowingthreetypesofoperationsto eliminateunknownssystematically. 這些被稱為元素列運算 將等式乘以某個非零常數 將兩個等式互換 加上某個等式的倍數 1.2高斯消去法GaussianElimination 梯形(EchelonForms) 有下列性質的矩陣為簡約列-梯型(reducedrow-echelon form) 若該列並非完全為零,則首項為1(leading1) 若有任一列都是零,則統一擺至矩陣的最底下 在連續兩個非零列,下方的leading1必比上方列更右邊 每一行除了leading1,其他都是零(垂直的來看) 滿足前三項則為列-梯型(row-echelon form) P.s:一個簡約列-梯型矩陣必有列-梯形矩陣的性質,但反之則無 簡約列-梯形(Reducedrow-echelonform) 列-梯形(Row-echelonform) 消去法(EliminationMethods) (略) 步驟1~5會形成一個列-梯形矩陣,稱作高斯消去法(推進階段) (Gaussianelimination(forwardphase))  步驟1~6 會形成一個簡約列-梯形矩陣,稱作高斯-喬丹消去法(推進逆向階段) (Gaussian-Jordanelimination(forward+backwardphases)) 每個矩陣都有獨特的簡約列-梯形矩陣,但其列梯形矩陣卻可能不唯一 逆向帶入or反向帶回法(Back-Substitution) 有時會偏好以高斯消去法來解一個線性方程系統以便得到一個tobring 增廣矩陣 into列-梯形矩陣withoutcontinuingallthewaytothe簡約列-梯形矩陣. 這件事發生時,對應的方程式系統即可以用逆向帶入法得解 齊次方程系統(HomogeneousLinearSystems) 常數項都是零        所有其次方程組都是相容的(consistent),因為他們都有(0,0,0,...,0)這組解 稱作明顯解(trivialsolution) 若有其他的解的話稱作, 不明顯解(nontrivialsolutions) 這種系統的解只有兩種可能 只有明顯解 有無限多組解(包括明顯解) 定理 定理1.2.1: 若一齊次方程組有n個未知數,且其增廣矩陣的簡約列-梯形矩陣有r非零行,那這個系統有n-r個自由變數(freevariables) 定理1.2.2:一個"未知數數目比方程式多"的齊次方稱組有無限多組解 P.S: 每個矩陣都有其獨特的簡約列-梯形矩陣 列-梯形矩陣不獨特 雖然列-梯形矩陣並不獨特,但所有的矩陣的列-梯形A都有同樣多的零行,andtheleading1’salwaysoccurinthesamepositionsinA的列-梯形. 1.3矩陣&矩陣運算 MatricesandMatrixOperations 定義&表示法(DefinitionandNotation) 一個矩陣是一堆數字的矩形陣列.這些數字被稱為元素(entries) 一個m*n的矩陣表示為 在i列j行的元素會表示成aijorij.如果aij是實數,通常會被稱為純量(scalars) 前述的矩陣可被寫成[aij]m*n或[aij] 一個n*n的矩陣A被稱作ordern的方陣 Amatrixwithonlyonerowiscalledarowmatrix(orarowvector). Amatrixwithonlyonecolumniscalledacolumnmatrix(oracolumnvector). 和,差,積Sum,Difference,andProduct (略) partitioned submatrices (略) 不需知道完整的矩陣就可以求到某行或某列的元素 矩陣AB 的 第j行=A[矩陣B的第j行] 矩陣AB 的 第i列= [矩陣A的第i列]B MatrixProductsasLinearCombinations TheproductAxofamatrixAwithacolumnmatrixxisalinear combinationofthecolumnmatricesofAwiththecoefficients comingfromthematrixx 線性系統的矩陣形式(MatrixFormofaLinearSystem) ThematrixAiscalledthecoefficientmatrixofthesystem Theaugmentedmatrixofthesystemisgivenby  MatricesDefiningFunctions (暫略) 轉置矩陣(Transpose) 若A是任意的m*n矩陣,則A的轉置矩陣(記做AT),被定義成行列互換的n*m矩陣 也就是說,AT的第一行是A的第一列,AT的第二行是A的第二列,依此類推 若A是方陣(squarematrix),則A的跡數(trace)記做tr(A),其定義為A主對角線(maindiagonal)元素的和,若A不是方陣則A的基數沒有意義 1.4 反矩陣;矩陣的代數性質 Inverse;AlgebraicPropertiesofMatrices 矩陣運算的性質(PropertiesofMatrixOperations) 對實數a和b,我們知道ab=ba,而這被稱作乘法的交換律(commutativelawformultiplication).但對矩陣而言AB和BA並不相等 有三個理由會讓等式不成立: 乘積AB有意義,但BA沒有意義 AB和BA都有意義但大小不同 即使AB和BA都有意義且大小相等,但他們仍可能不相等 定理1.4.1(矩陣運算的性質) 先假設矩陣的大小可以執行下列運算,則下列運算是有效的: A+B=B+A(加法交換律commutativelawforaddition) A+(B+C)=(A+B)+C(加法結合律 associativelawforaddition) A(BC)=(AB)C(乘法結合律associativelawformultiplication) A(B ± C)=AB ± AC(左分配律leftdistributivelaw) (B ± C)A=BA ± CA(右分配律rightdistributivelaw) a(B+C)=aB+aC,a(B–C)=aB–aC  (a+b)C=aC+bC,(a-b)C=aC–bC a(bC)=(ab)C,a(BC)=(aB)C=B(aC) 零矩陣(ZeroMatrices) 一個元素都是0的矩陣即為零矩陣 一個零矩陣可被表示為0 若其大小是重要的,我們將會以0m*n表示m*n的零矩陣 為了與"使用粗體字表示只有一行矩陣"的方便性一致,我們會以0表示只有一行的零矩陣 定理1.4.2(零矩陣的性質) 假設矩陣的大小可以執行下列運算,則下列的運算是可行的 A+0=0+A=A A–A=0 0–A=-A A0=0;0A=0 消去律(CancellationLaw) 對所有的實數: 若ab=ac且a不為0,則b=c 若ab=0,則至少其中一個為0 但這在矩陣運算中不成立 單位矩陣(單位矩陣) 一個"對角線都是1,其餘元素為0"的方陣即是單位矩陣 記做I,或者使用In來表示n*n的單位矩陣 若A為m*n的矩陣,則AIn=A,ImA=A 一個單位矩陣可以當作矩陣運算中的1 定理1.4.3  若R是n*n矩陣A的簡約列梯形,則R有一行為零,或,R為單位矩陣 逆矩陣(Inverse) 若A為方陣,B為相同大小的矩陣,且AB=BA=I成立,則 A為可逆的(invertible)or非奇異矩陣(nonsingular) B為A的逆矩陣(inverse) P.S A的逆矩陣記做A^-1 不是每個方陣都有逆矩陣 一個逆矩陣都有逆矩陣 定理 定理1.4.4:若B和C均為A的反矩陣,則B=C 定理1.4.5: ,在ad-bc不為0時,A可逆,且 定理1.4.6:若A和B為大小相同的可逆矩陣,則(AB)^-1=B^-1*A^-1 矩陣的指數 PowersofAMatrix 若A為方陣,則我們可以定義A的非負整數次方為 若A為可逆,則我們可以定義A的負整數次方為 定理 若A為一個方陣,r和s為整數,則A^rA^s=A^(r+s),(A^r)^s=A^(rs) 定理1.4.7(指數定律LawsofExponents) 若A為可逆,且n為非負整數,則: A^(-1)為可逆,且(A-1)^(-1)=A A^n為可逆,n為非負整數,則(An)^(-1)=(A-1)^(n) 對任意非零的純量k,矩陣kA為可逆且(kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)=[A^(-1)]/k 矩陣的多項式(PolynomialExpressionsInvolvingMatrices) 若A為m*m的方陣且若 p(x)=a0+a1x+…+anx^n 為任意的多項式,則有 p(A)=a0I+a1A+…+anAn,而I為m*m的矩陣 也就是說,當A取代上述等式中的x,a0I取代a0時,會有p(A)是"m*m矩陣"的結果 定理 定理1.4.8(轉置矩陣的性質) 若矩陣的大小可以執行下列運算,則 (A^T)^T=A (A±B)^T=A^T±B^T (kA)T=kAT,wherekisanyscalar (AB)T=BTAT 定理1.4.9(轉置矩陣的逆矩陣) A是可逆矩陣,則A^T亦為可逆(AT)-1=(A-1)T 1.5基本矩陣     ElementaryMatricesandaMethodforFindingA^(-1) 基本矩陣 一個n*n的基本矩陣(elementarymatrix)是由一個單位矩陣In做一次列運算而得的矩陣 Eij是一個In的第i列和j列互換的基本矩陣 Ei(c) 是一個In的第i行乘上c(c不為0)的基本矩陣 Eij(c) 是一個將In的第j行加到第i行c次的基本矩陣(i不等於j) 定理1.5.1(基本矩陣和列運算): 假設E是一個對Im做特定列運算的m*m基本矩陣,且A是一個m*n矩陣.則EA是矩陣thatresultsfromapplyingthatsameelementaryrowoperationtoA PS:當一個矩陣的左邊呈上一個基本矩陣E,其效果等同於做一次基本列運算 逆運算 若一個基本列運算用於一個單位矩陣I已形成一個基本矩陣E,再把他們從E換回來就會得到I 定理 定理1.5.2基本矩陣和非奇異矩陣(ElementaryMatricesandNonsingularity) 每個基本矩陣均可逆,且他的anditsinverseisitselfanelementarymatrix.Moreprecisely, Eij^(-1)=Eji(=Eij) Ei(c)^(-1)=Ei(1/c) ,且c不為0 Eij(c)^(-1)=Eij(-c) ,且i不等於j 定理1.5.3等效陳述式(EquivalentStatements) 若A是一個n*n矩陣,則下列陳述維等效,也就是"均真"或"均假" (a)A為可逆 (b)Ax=0只有明顯解 (c)矩陣A的簡約列-梯形矩陣是In (d)矩陣A可以基本矩陣表示(express) 一個對矩陣做逆運算的方法(AMethodforInvertingMatrices)   在兩邊等式的右側乘上一個A^(-1) ThesequenceofrowoperationsthatreducesAtoInwill reduceIntoA-1 TofindtheinverseofaninvertiblematrixA,wemustfindasequenceofelementaryrowoperationsthatreducesAtotheidentityandthenperformthissamesequenceofoperationsonIntoobtainA-1 PS:假設我們有基本矩陣E1,E2,...,En,則 ,  使用列運算來找到A^(-1) (略) 並非每個陣列均可逆 判斷齊次矩陣是否有非明顯解 1.6關於線性系統和可逆矩陣的其他內容     MoreonLinearSystemsandInvertibleMatrices 定理 定理1.6.1 每個線性系統方程組都只可能無解,單一解或無限多組解 定理1.6.2 若A為n*n的可逆矩陣,則對任意的n*1矩陣b,線性系統Ax=b只會有一組解 稱作x=A^(-1)b 線性系統的共同係數矩陣    LinearSystemswithaCommonCoefficientMatrix 以共同係數矩陣A解一串線性系統Ax=b1,Ax=b2,…,Ax=bk 若A為可逆,則解為x1=A^(-1)b1,x2=A^(-1)b2,…,xk=A^(-1)bk 解更多係數的方法是直接形成一個矩陣[A|b1|b2|…|bk] 藉著簡化它到簡約列-梯形矩陣,我們可以藉由高斯喬丹消去法一次得到所有的k  定理 定理1.6.3, 令A為方陣 若B為滿足BA=I的方陣,則B=A^(-1) 若B為滿足AB=I的方陣,則B=A^(-1) 定理1.6.4(等效敘述式) 若A為n*n矩陣,則下列陳述為等效 A為可逆 Ax=0只有明顯解 矩陣A的簡約列-梯形矩陣是In 矩陣A可以基本矩陣表示(express) 對任何n*1的矩陣b,Ax=b是相容的 對任何n*1的矩陣b,Ax=b只有一組解 定理1.6.5 令A和B為相同大小的方陣.若AB是可逆的,則A和B必為可逆 一個基本的問題:令A為m*n的矩陣,請找出所有m*1的矩陣b,使得方程式Ax=b是相容的 若A為可逆,定理1.6.2:Ax=b有獨特的解 若A非方陣,或若A是不可逆方陣 矩陣b必須滿足特定的情況使得Ax=b相容 [講義113~115!] 1.7對角矩陣,三角矩陣,對稱矩陣    Diagonal,Triangular,andSymmetricMatrices 對角矩陣和三角矩陣DiagonalandTriangular 一個m*m的方陣A;元素(i,i)為A的主對角線(maindiagonal) 一個對角矩陣(diagonalmatrix)是一個"主對角線外的元素為零"的方陣.Bydiag(d1,…,dm)ismeantthemmdiagonalmatrixwhose(i,i)-entryequalsdifor1 ≤ i≤ m 在1 ≤ i ≤ m且 1 ≤ j ≤ n, 一個n*n的下三角矩陣 L (lower-triangularmatrix)滿足(L)ij=0(ij ) 對角矩陣的性質PropertiesofDiagonalMatrices 一個典型的對角矩陣可寫為   一個對角矩陣是可逆的,iff其對角線上的元素均非零 對角矩陣的指數很好計算 其他矩陣與對角矩陣的乘法非常easy! 定理1.7.1 下三角矩陣的轉置矩陣世上三角矩陣,反之則反 下三角矩陣相乘的積依然是下三角矩陣,上三角矩陣亦然 Iff對角線的元素均非零時,該三角矩陣為可逆 可逆的下三角矩陣的逆矩陣為下三角矩陣,上三角矩陣亦然 對稱矩陣 定義 一個A^T=A的方/矩陣A(即ij= ji),稱作對稱 定理1.7.2 若A和B為相同大小的對稱矩陣,而k為純量,則 A^T為對稱 A± B為對稱 kA為對稱 定理1.7.3 Iff矩陣為可交換的(commute,即AB=BA),兩個對稱矩陣的乘積為對稱 定理1.7.4 若A為可逆的對稱矩陣,則A^(-1)亦對稱 P.s:  通常對稱矩陣不必可逆 乘積AA^T和A^TA恆對稱 定理1.7.5 若A為可逆矩陣,則 AA^T和A^TA亦為可逆 第二章行列式(Determinants) 2.1由餘因子展開得行列式     DeterminantsbyCofactorExpansion 定義 定理1.4.5中,在ad-bc不為零時,  為可逆 其中ad-bc為其行列式(determinant),記做det(A)或|A| 子行列式和餘因子MinorandCofactor 定義 令A為n*n A的子行列式(i,j),記做Mij,是(n-1)*(n-1)矩陣(刪去第i列和第j行) A的餘因子(i,j)記做Cij,是(-1)^(i+j)Mij P.S: Cij= ±Mij且符號如圖  餘因子展開 CofactorExpansion 定理2.1.1(餘因子展開) 給圖,不解釋 下面是神奇算式 上三角矩陣的行列式 DeterminantofanUpperTriangular Matrix 所以其行列式為 對角線相乘的積!!!  ------> 定理2.1.2 小技巧:  2.2由簡化列求行列式     EvaluatingDeterminantsbyRowReduction 定理2.2.1: 令A為方陣,若A有一行或一列均為零,則det(A)=0 定理2.2.2:令A為方陣,則det(A)=det(A^T) 定理2.2.3(基本列運算): 令A為n*n矩陣,k為純量 若B為A的某一行or列乘k倍的矩陣,則  det(B)=kdet(A) 若B為A的其中兩行/列互換的矩陣,則 det(B)=-det(A) 若B為A的某行/列倍數被加到另一行/列的矩陣: det(B)=det(A) 定理2.2.4(基本矩陣) 令E為一個n*n的基本矩陣 若E由In的某列乘以k而得,則det(E)=k 若E由In的任兩列互換而得,則det(E)=-1 若E由In的某列加另一列的倍數而得,則det(E)=1 定理2.2.5(列/行成比例的矩陣) 這種矩陣的行列式為零! 2.3行列式的性質; 克拉馬公式    PropertiesofDeterminants;Cramer’sRule 行列式的基本性質 若矩陣A為n列,k為純量,則det(kA)=k^ndet(A) det(A),det(B)和 det(A+B) 之間沒有特殊關聯 我們特別會強調det(A+B)通常不等於det(A)+det(B) 定理2.3.1 令A,B,C為"只有一列不同"的n*n矩陣,...算了不解釋 定理論點2.3.2 若B為n*n的矩陣,且E為n*n的基本矩陣,則  det(EB)=det(E)det(B) PS: 若B為n*n的矩陣,且E1,E2,...En為n*n的基本矩陣,則 det(E1E2...ErB)=det(E1)det(E2)...det(Er)det(B) 定理2.3.3(DeterminantTestforInvertibility) Iffdet(A)不為零,方陣A為可逆 定理2.3.4 若A和B為相同大小的方陣,則 det(AB)=det(A)det(B) 定理2.3.5 若A為可逆,則 det(A^-1)=1/det(A) [講義39,40] 餘因子矩陣(matrixofcofactors) 定義 令A為任意n*n的矩陣,且Cij為aij的餘因子,則該矩陣即為A的餘因子矩陣 該矩陣的轉至矩陣稱作A的伴隨矩陣(adjoint),記做adj(A) 定理2.3.6(使用自身伴隨矩陣得到逆矩陣) 若A為可逆,則  定理2.3.7(克拉馬公式) 其中,Aj為"第j行被b=[b1b2...bn]^T取代"的矩陣 如圖 定理2.3.8 (等效敘述式) 若A為n*n矩陣,則下列陳述為等效 A為可逆 Ax=0只有明顯解 矩陣A的簡約列-梯形矩陣是In 矩陣A可以基本矩陣表示(express) 對任何n*1的矩陣b,Ax=b是相容的 對任何n*1的矩陣b,Ax=b只有一組解 det(A)不為0 第三章 歐幾里得向量空間     EuclideanVectorSpaces 3.1在二維,三維,N維空間的向量     Vectorsin2-Space,3-Space,andn-Space     向量幾何(GeometricVectors)  則,向量 v 的起點為A,終點為B 長度和方向相同的兩個向量為相等(equivalent) 起點和終點為同一點的向量,其長度為零,稱為零向量,記為0 定義 若有兩向量v和w,則 v +w的和為下方形成的向量: 移動 w向量使其起點與v的終點重合,向量 v +w的方向是由 v 的起點指向w的終點 令v和w為任意兩個向量,則v–w=v+(-w). 若v為非零向量,且k 為非零實數(純量) 若k<0則向量的方向相反 若k或v任一為零,則kv為零向量 kv這種形式的向量稱為純量倍數 (scalarmultiple) 座標(Coordinate)中的向量 三維座標中的向量 若起點為P1(x1,y1,z1),終點為P2(x2,y2,z2) 則  定理3.1.1(向量算數的性質) 若u,v,w都是向量,且k,l為純量,則有下列的關係 u+v=v+u (u+v)+w=u+(v+w) u+0=0+u=u u+(-u)=0 k(lu)=(kl)u k(u+v)=ku+kv (k+l)u=ku+lu lu=u 定理3.1.2 若 v 是向量,k是純量,則 0v=0 k0=0 (-1)v=-v 若w是一個向量,則它可被說是一個由v1,v2,v3,...,vr的線性混合 若他符合w=k1v1+k2v2+k3v3+...+krvr 且k1,k2,k3,k4,k5,...為純量 向量的替代記法 Comma-delimitedform:v=(v1,v2,...,vn) row-matrixform  v=[v1v2...vn] Oracolumn-matrixform  3.2 範數,內積,和距離    Norm,DotProduct,andDistanceinRn 向量的範數(norm) 向量u的長度被稱為範數(norm)或u的絕對值,記做||u|| 由畢氏定理,若在三維空間u=(u1,u2,u3)  若不只三維,則依此類推 定理3.2.1 若 v 為一個向量,且k為任意純量,則  ||v||>0 只有在v=0時,||v||=0 ||kv||=|k|*|v| 單位向量(Unitvector) 範數為1的向量即為單位向量 一個向量除以它的長度即可得單位向量,  上述的動作稱為正規化v(該向量的名稱) 標準單位向量(StandardUnitVectors) 在一個矩形座標系統中,方向為正,且方向洽為軸的單位向量稱為標準單位向量(standardunitvectors) InR2 i=(1,0),j=(0,1);  InR3,i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1) 二維座標中的每個向量v=(v1,v2)都可被標準單位向量表示為線性混合(linearcombination) 歐幾里德距離(Euclideandistance) 兩點之間的距離即為該向量的範數 若P1( x1,y1,z1 )和P2( x2,y2,y2 )均為在三維空間中的兩點,則兩點之間的距離 d ,為向量  的範數  (略) 內積(InnerProduct),點積(DotProduct) 點積(DotProduct) 若u和v均非零,且θ為該夾角,則 只有在u‧v>0時,θ為銳角(acute) 只有在u‧v<0時, θ 為鈍角(obtuse) 只有在u‧v=0時, θ 為直角(π/2) 內積的分量式(ComponentForm) 定理3.2.2 令u,v,w為向量(二維或三維),k為純量 u‧v=v‧u   對稱性  (symmetryproperty) u‧(v+w)=u‧v+u‧w    分配律 (distributive property) k(u‧v)=(ku)‧v=u‧(kv)    同質性 (homogeneity property) v‧v≧0; (若v=0)v‧v=0  正向性 (positive property) 定理3.2.3 令u,v,w為向量(二維或三維),k為純量 0‧v=v‧0=0 (u+v)‧w=u‧w+v‧w u‧(v-w)=u‧v-u‧w (u-v)‧w=u‧w-v‧w k(u‧v)=u‧(kv) 定理3.2.5柯西不等式(Cauchy-SchwarzInequality) 若u=(u1,u2,u3,....un), v =(v1,v2,v3,....,vn),則 |u‧v|≦||u||‧||v|| 定理3.2.6向量的平行四邊形恆等式 ParallelogramEquation forVectors 令u, v 為向量,則  定理3.2.7  若u和 v 為向量 withtheEuclideaninner product 則u‧v =(1/4)||u+v||^2-(1/4)||u-v||^2 矩陣乘法的內積(DotProductsasMatrixMultiplication) u‧v =u^Tv = v^Tu EX:  若A為n*n矩陣, u和 v 為n*1矩陣 Au‧v =u‧A^Tv 3.3正交 Orthogonality IFF  u‧v=0 時, θ= π/2 定義:兩個非零向量u,v 為正交(orthogonal)或稱垂直(perpendicular) 零向量對任意向量均為正交 若一個集合中所有相異的向量均正交,則被稱作正交集合(orthogonal set)  一個單位向量的正交集合稱作正交規範集(orthonormalset) 法向量(normal) 要指定斜率和斜角可以利用非零向量n 法向量(normal) --->垂直於一條線或一個平面 定理3.3.1 若a和b為notallzero的常數,則 ax+by+c=0這個方程式代表"法向量 n=(a,b)"的直線 若a,b,和c 為notallzero的常數,則 ax+by+cz+d=0 這個方程式代表"法向量 n=(a,b,c)"的直線 定理3.3.2投影定理(ProjectionTheorem) 若有向量u,a,且a不為0,則u可以u=w1+w2來表示之,其中w1是a的純量倍數,w2垂直於a 向量w1稱作u在a上的垂直投影,或是u對a的一個分量 向量w2被稱作u對a的垂直分量 垂直投影的長度LengthofOrthogonalProjection ||proj(a)u||=|u‧a|/|a|=||u|||cosθ| -----> θ為u和a之間的夾角 定理3.3.3畢達哥拉斯定理TheoremofPythagoras 若 u, v 為互相垂直的兩個向量withtheEuclideaninnerproduct,則 ||u+v||^2=||u||^2+||v||^2 定理3.3.4  (a)(x0,y0)到ax+by+c=0的距離   (b) (x0,y0,z0)到ax+by+cz+d=0的距離 兩平行平面間的距離只要求其中一平面上的某點至另一平面的距離即可得 3.4線性系統的幾何TheGeometryofLinearSystems 向量和參數方程式VectorandParametricEquations 一個二維或三維空間中的線可由一個點x0和平行於該線的非零向量決定 一個三維空間中的平面可由平面中的一個點 x0 和兩個不共線且平行該平面的向量(noncollinearvectors)v1和v2決定 若x為線上的一點,則向量x-x0會是v的純量倍數 以x-x0=tv或x=x0+tv表示 變數t(參數)距離從-∞到∞,點x即可描繪出直線 L 定理3.4.1 令L為包含了點x0且平行於非零向量v的直線,則直線方程式為  x=x0+tv 若x0=0,則該條線通過原點,方程式表示為  x=tv 藉由x0可從原點來平移(translation) 若x為平面上任意點,則藉由 v1和v2適當的純量倍數,我們可以得到一個"對角線為x-x0,且鄰邊為t1v1和t2v2"的平行四邊形,因此,我們可以 x–x0=t1v1+t2v2或x=x0+t1v1+t2v2來表示 隨變數t1和t2分別從 –∞到∞變化,點x即在整個平面 W上跑(?) 定理3.4.2 令W為一個在三維空間中"包含點x0且平行於不共線兩向量v1,v2"的平面,則該方程式表示為  x=x0+t1v1+t2v2 令x0=0,則平面通過原點的方程式表示為 x=t1v1+t2v2 定義 若x0和v為向量,而v非零,則方程式 x=x0+tv定義了一條"通過x0,且平行於v"的直線,當x0=0時,該直線過原點 若x0,v1和v2為向量,且v1和v2不共線,則方程式x=x0+t1v1+t2v2定義了"通過x0且平行於v1,v2"的平面, 當x0=0時,該平面過原點 向量式 前述的方程式稱作一條直線或平面的向量式(vectorforms) 若在這些方程式中的向量areexpressedintermsof theircomponentsandthecorrespondingcomponentson eachsideareequated,thentheresultingequationsare called參數式(parametricequations) ofthelineandplane. Example1 : x=(x,y,z), x0=(1,2,-3),則: 向量式(vectorforms)為 (x,y,z)=(1,2,-3)+t(4,-5,1) 參數式(parametricequations)為 x=1+4t,y=2-5t,z=-3+t Example2:有一平面x-y+2z=5,則: 向量式為(x,y,z)=(5,0,0)+t1(1,1,0)+t2(-2,0,1) 參數式為 x=5+t1-2t2,y=t1,z=t2 過兩點的直線 若x0,x1為相異兩點,則直線由這些平行於向量v=x1-x0的點決定 直線可以被表示為x=x0+t(x1-x0)或 x=(1-t)x0+tx1 這些被稱作一條線的兩點向量方程式(two-pointvectorequations)  定義 若x0,x1為向量,則方程式 x=x0+t(x1-x0)(0≦t≦1)定義了線段(x0到x1) 為了方便,會記做 x=(1-t)x0+tx1(0≦t≦1) Example:從x0=(1,-3)到x1=(5,6)的線段可以表示為  x=(1,-3)+t(4,9)(0≦t≦1)   x=(1-t)(1,-3)+t(5,6)(0≦t≦1) 線性系統的點積型式 回想線性方程式的一個形式 a1x1+a2x2+…+anxn=b(a1,a2,…,annotallzero) 而相對應的齊次矩陣方程式為  a1x1+a2x2+…+anxn=0(a1,a2,…,annotallzero) 這些方程式可以用 letting a=(a1,a2,…,an)和x=(x1,x2,…,xn) 重寫 兩個等式可被寫作 a‧x=b,a‧x=0 這表示每一個齊次方程式的解向量x均垂直於係數向量a 若我們以r1,r2,...rm表示係數矩陣的連續列向量 則我們會以 r1‧x=0 r2‧x=0 r3‧x=0... r3‧x=0表示這個系統 定理3.4.3 _________ 定理3.4.4 相容線性系統 Ax=b 的通解可用其任意的解加上 Ax=0的通解而得 幾何解釋:  3.5外積CrossProduct 定義 若u=(u1,u2,u3)和v=(v1,v2,v3)式三維空間的向量,則外積 u×v是個向量,u×v=(u2v3–u3v2,u3v1–u1v3,u1v2–u2v1) 或者以行列式表示法表示之 定理3.5.1(外積和內積的關係) 若u,v和w是三維空間中的向量,則 u‧(uxv)=0( u x v 垂直於u) v‧(u x v)=0(u x v 垂直於 v) ||u x v||^2=||u||^2||v||^2–(u·v)^2(Lagrange’sidentity) u x (v x w)=(u·w)v–(u·v)w(外積和內積的關係) (u x v) x w=(u·w)v–(v·w)u(外積和內積的關係) 定理3.5.2(外積的性質) Ifu,vandwareanyvectorsin3-spaceandkisanyscalar, then  u x v=-(v x u)  u x (v+w)=u x v+u x w  (u+v) x w=u x w+v x w  k(u x v)=(ku) x v=u x (kv)  u x 0=0 x u=0  u x u=0 兩個向量的外積可以3*3的行列式表示: u x (v x w)= (u x v ) x w 通常不會是正確的 #右手定律XD 外積的幾何意義 由Lagrange’sidentity,我們得到    ||u x v||^2 =||u||^2 ||v||^2 –(u·v)^2     ||u x v||^2 =||u||^2 ||v||^2 – ||u||^2 ||v||^2(cosθ)^2    =||u||^2 ||v||^2(1 – (cosθ)^2)    =||u||^2 ||v||^2(sinθ)^2 因為0 ≦ θ ≦ π( 因為0 ≦ sinθ ) 由Lagrange’sidentity, ||u x v||^2 =||u||^2 ||v||^2 –(u·v)^2  若 θ 表示 u和 v 之間的角度,u‧v= ||u||||v||cosθ