矩陣乘積行列式公式的代數證法 - 線代啟示錄

階行列式計算公式直接乘開等號兩邊，再逐項比對即可確認等式成立。

為了減少計算量，我們可用行列式性質化簡左式。

依序使用(P1) 行列式對於任一行或任 ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←答zonelin──關於特徵方程與矩陣基本子空間的關係 每週問題June11, 2012→ 矩陣乘積行列式公式的代數證法 Postedon06/08/2012byccjou 本文的閱讀等級：初級 令和為階矩陣。

矩陣乘積的行列式定理，或稱「可乘公式」，如下所示： 。

過去我們曾經討論了三種證明方法：第一種方式最常見於教科書，將表示成基本矩陣乘積，透過得證，其中是任意基本矩陣。

第二種方式是基於分塊矩陣運算的簡明證法(以上兩種證法請見“利用分塊矩陣證明det(AB)=(detA)(detB)”)。

第三種方式則建立於函數之上(見“行列式的運算公式與性質”)。

本文再介紹一個直接計算矩陣乘積的代數證法，包含三個步驟：先乘開，再化簡，最後整理成行列式的乘積。

從表面上看，直接計算矩陣乘積及其行列式似乎涉及一定程度的蠻力，至於是否果真如此，請讀者閱畢全文後再自行評斷。

  我們先考慮階矩陣。

令，。

矩陣乘積的行列式公式如下： 。

運用階行列式計算公式直接乘開等號兩邊，再逐項比對即可確認等式成立。

為了減少計算量，我們可用行列式性質化簡左式。

依序使用(P1)行列式對於任一行或任一列都是線性函數(固定其餘的行列)，(P2)任兩行或兩列相同時，行列式等於零，(P3)置換兩行或兩列改變行列式正負號。

下面是推導過程： 直至化簡完成後，我們才使用二階行列式計算公式。

  接著考慮階矩陣。

仿造前面作法，可令 。

然而，一想到乘開後的繁複矩陣恐怕會讓很多人落荒而逃。

天下無難事，只怕有心人。

我們不要被表象所蒙蔽了，關鍵其實在怎麼乘而已。

行列式的英文是determinant，意為「判定」，它的主要的功用之一在於判定矩陣是否可逆。

大家有沒有想過：為甚麼determinant要譯成「行列式」呢？矩陣的日文是「行列」，「行列式」可能源自日文，意為「矩陣式」。

行列式這個名詞提示了它所具備的上述三個性質(P1-3)全都建立於矩陣的行或列之上。

計算行列式時，我們應該儘量以行或列為單位，而非中學時習慣使用的元。

下面我採用以「行(column)」作為運算單元的矩陣乘法(見“矩陣乘法的現代觀點”)。

寫出和的行向量表達式： ， 乘開，即得 ， 其中 。

利用前述三個行列式性質，詳細計算過程如下： 上式中，代表數字所能組成的六種可能序列(因為必須互異，方使行列式不為零)，是對應列排序為的排列矩陣，即有，代表從至所執行的置換運算次數。

最後一個步驟使用了行列式計算公式──「排列公式」(見“行列式的運算公式與性質”)。

  欲將上述階矩陣證明方式推廣至階矩陣，只須把數字改為，並在標記和標記的各項之間加入「」，最後再以長度等於的序列替換即可。

  後記 一日課畢，二生趨前問道：「如何算得兩三階方陣之積其行列式同乎兩方陣行列式之積？望師示之。

」聞罷，無語良久，余道：「此事非同小可，恐傷筋勞骨。

他法義理分明，俯首拾得，爾等何以顧此失彼，存三階方陣乘法演算證行列式定理之念？」一生據實以答：「此乃日前吾輩之小考題也。

本非所願，吾亦莫可奈何。

」余問：「既然這般，汝等如何回答？」二生露愧色，齊曰：「無方，是以蠻力猛算耳。

」生去，余自忖：「蠻力固可證之，惟不雅，莫道普天之下無良策乎？」遂枯索搜腸，思化繁為簡之術，越日終得此法，亦幸矣哉。

Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin線性代數專欄,行列式andtagged行列式,排列矩陣.Bookmarkthepermalink. ←答zonelin──關於特徵方程與矩陣基本子空間的關係 每週問題June11, 2012→ 3Responsesto矩陣乘積行列式公式的代數證法 WattLinsays: 06/08/2012at10:11am 看到這篇文章，以及先前的多篇，深深感覺到： 老師您是線代領域中，傳道、授業、解惑的優良典範！ 如果其他學術領域，將來陸續有人建立類似的blog，會使學生們得到更好的學習效果！ Reply ccjousays: 06/08/2012at11:19am 謝謝你的鼓勵。

每每當我快撐不住時，想起許多讀者的支持，才又打起精神沖杯咖啡，繼續寫下去。

Reply suehangsays: 06/07/2015at1:26pm 数学论证,也要信达雅,老师是做到这一点了,学生呢?早年读过陕西师范大学罗增儒教授的,对此事略知一二,该书对数学解题的的长度,美感都做了分析,看了老师的后记.不禁想到此事. Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式奇異值分解(SVD)旋轉與鏡射分塊矩陣的行列式內積的定義行列式的運算公式與性質線性代數基本定理(一)線性獨立向量集的判定與算法利用行列式計算多邊形面積LU分解分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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