Chiò 演算法──另類行列式計算法 - 線代啟示錄

高斯消去法也常應用於行列式的計算：將矩陣化簡為上三角矩陣，行列式值即為該矩陣的主對角元乘積。

基本列運算的取代運算(將某一列的倍數加進另一列) ... 線代啟示錄 Iseeknottoknowtheanswers,buttounderstandthequestions. Skiptocontent ←每週問題November23, 2009 再談克拉瑪公式的證明→ Chiò演算法──另類行列式計算法 Postedon11/24/2009byccjou 本文的閱讀等級：初級 傳統的行列式手算方法多數採用餘因子(cofactor)展開，也稱為Laplace展開，作法是將高階行列式逐步降階至二階行列式，再以熟知的公式算出(見“行列式的運算公式與性質”)。

如下例，對第二列(row)執行餘因子的展開式為 對於尺寸較大的行列式，餘因子展開式的麻煩是必須經過多次降階，寫出的展開式因此相當繁複。

  高斯消去法也常應用於行列式的計算：將矩陣化簡為上三角矩陣，行列式值即為該矩陣的主對角元乘積。

基本列運算的取代運算(將某一列的倍數加進另一列)並不會改變行列式值，列交換運算(交換兩列)反轉行列式正負號，而伸縮運算(將一列乘以非零常數)則使行列式伸縮倍。

如下例，先將第一列和第二列交換，再執行消去運算：   本文介紹一種幾乎失傳的另類行列式計算法，由義大利數學家奇奧(FeliceChiò)於公元1853年提出[1]。

Chiò演算法將給定的階行列式降為一個階行列式，繼續再降為階行列式，重複此過程直到得出一個低階(三階或二階)行列式。

整個過程僅涉及二階行列式計算，因此運算操作非常簡易。

下面先介紹Chiò演算法的計算程序，再詳述此法的證明。

  令為階矩陣，且，稱為軸元(pivotelement)，稍後會說明如何將此限制排除。

令為階矩陣，各元定義為 。

矩陣和的行列式具有下列關係： ， Chiò行列式計算法即由上式給出， 。

  考慮下面的四階行列式： 。

設軸元，將此四階行列式化簡為一個三階行列式， 。

接著令軸元為，對三階行列式化簡，可得 。

為相互參照，附註[2]列出Laplace展開的計算過程。

  Chiò演算法的證明過程只需運用幾個行列式基本性質，比較奇特的是起頭的第一步，將矩陣的前列的每個元都乘以，稱此階矩陣為： 。

利用行列式對於任一列為線性函數此性質，就有 。

下一個步驟是執行基本列運算，將矩陣的第列取代為第列減去與第列的乘積，我們對都做相同的列運算，得到的矩陣稱為，如下： 。

因為基本列運算的取代運算不改變行列式值，故。

將寫成下面的分塊矩陣形式： ， 其中是維零向量，是維列向量。

上式中，階分塊正是我們想要得到的降階矩陣，對的第行以餘因子展開計算行列式，推知。

綜合以上結果，證得 。

  Chiò演算法還有一個問題要解決：萬一該怎麼辦？事實上，矩陣裡的任何非零元都可以當作軸元，我們僅需將第列和第列交換，再將第行和第行交換即可，每交換一次列或行就改變行列式的正負號。

以上面的行列式為例，將第三行與第四行交換， 。

軸元為，上面的行列式等於 。

  最後我們討論Chiò法使用的計算量，對於階行列式，此法逐次求得一個階行列式，階行列式，直到二階行列式為止。

考慮由階行列式計算階行列式此步驟，總共必須計算個二階行列式，每個二階行列式又使用次乘法運算，所以乘法運算總量為 。

這比高斯消去法使用的乘法運算量稍多。

Chiò演算法不像餘因子展開需要使用冗長的簿記抄寫，並且很容易熟悉駕馭，手算時較不容易出錯。

但Chiò演算法產生的降階行列式可能包含一些數值較大的元，這和高斯消去法碰到的問題相同，縱使我們選擇不同的軸元也不能保證得到包含數值小的降階矩陣。

  註解 [1]L.E.FullerandJ.D.Logan,OntheEvaluationofDeterminantsbyChiò’sMethod,CollegeMathematicsJournal,vol.6,pp8-10,1975. [2]採用Laplace展開(餘因子展開)，以第一列展開計算所有的行列式， Sharethis:EmailPrintFacebookTwitterLikethis:LikeLoading... Thisentrywaspostedin線性代數專欄,行列式andtaggedChiò行列式算法,行列式,餘因子,高斯消去法.Bookmarkthepermalink. ←每週問題November23, 2009 再談克拉瑪公式的證明→ 4ResponsestoChiò演算法──另類行列式計算法 蒋sirsays: 06/10/2016at5:53pm 但是，其实上这个方法并没有给问题带来化简的作用。

就上面那个4X4的矩阵而言，Lapalace展开需要计算12个二阶行列式，而这个算法也一样要计算这么多。

Lapalace只设计加减乘，而这个方法还具有除与乘方。

这或许是他失传的一个很重要的原因吧。

Reply 蔡金龍says: 06/20/2016at4:45pm 很有用感謝 Reply 蔡金龍says: 06/20/2016at4:46pm 感謝大大的文章轉C++就可行了 Reply 游舜爲says: 08/22/2019at12:03pm 矩陣C的(n-1)*(n-1)那個位置是不是寫錯了 是否是=an-1,n-1ann-an,n-1an-1,n Reply LeaveaReplyCancelreply Enteryourcommenthere... Fillinyourdetailsbeloworclickanicontologin: Email(required)(Addressnevermadepublic) Name(required) Website YouarecommentingusingyourWordPress.comaccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourTwitteraccount. ( Log Out /  Change ) YouarecommentingusingyourFacebookaccount. ( Log Out /  Change ) Cancel Connectingto%s Notifymeofnewcommentsviaemail.Notifymeofnewpostsviaemail. Δ 搜尋(繁體中文或英文) Searchfor: 訊息看板 近期文章 每週問題June26, 2017 每週問題June19, 2017 每週問題June12, 2017 每週問題June5, 2017 每週問題May29, 2017 線性代數專欄其他主題專欄每週問題數據充分性問題其他分類RecentComments ZhuoyuHeon分塊矩陣的行列式ungaon奇異值分解的幾何意義tobinwangon特殊矩陣(6)：正定矩陣TerminologyofRecom…on內積的定義陳宗為on動差生成函數(上)陳宗為on動差生成函數(上) 近期最多人點閱三階逆矩陣公式奇異值分解(SVD)內積的定義旋轉與鏡射分塊矩陣的行列式行列式的運算公式與性質線性代數基本定理(一)線性獨立向量集的判定與算法利用行列式計算多邊形面積LU分解分類分類 SelectCategory 無關線代  (23) 特別主題  (20) 答讀者問  (49) 網友分享  (2) 線性代數專欄  (426)    特徵分析  (76)    特殊矩陣  (23)    線性變換  (33)    線性方程  (30)    行列式  (32)    證明細解  (4)    內積空間  (28)    典型形式  (27)    向量空間  (47)    應用之道  (42)    數值線性代數  (29)    二次型  (42)    仿射幾何  (11) 隨筆雜談  (18) 試閱  (2) 周老師時間  (16) 問題回報  (24) 圖論  (12) 布告欄  (22) 希爾伯特空間  (4) 數據充分性問題  (3)    DSQ特徵分析  (1)    DSQ向量空間  (2) 機率統計  (21) 機器學習  (8) 每週問題  (435)    pow特徵分析  (87)    pow線性變換  (23)    pow線性方程與矩陣代數  (56)    pow行列式  (55)    pow內積空間  (57)    pow典型形式  (9)    pow向量空間  (75)    pow二次型  (73) Archives Archives SelectMonth June2017 (4) May2017 (5) April2017 (4) March2017 (4) February2017 (6) January2017 (11) December2016 (5) November2016 (5) October2016 (5) September2016 (4) August2016 (5) July2016 (4) June2016 (4) May2016 (10) April2016 (6) March2016 (10) February2016 (11) January2016 (7) December2015 (11) November2015 (9) October2015 (8) September2015 (11) August2015 (14) July2015 (8) June2015 (11) May2015 (5) April2015 (5) March2015 (6) February2015 (4) January2015 (7) December2014 (9) November2014 (5) October2014 (4) September2014 (5) August2014 (5) July2014 (5) June2014 (11) May2014 (10) April2014 (12) March2014 (14) February2014 (15) January2014 (10) December2013 (16) November2013 (14) October2013 (19) September2013 (15) August2013 (13) July2013 (13) June2013 (18) May2013 (16) April2013 (14) March2013 (6) February2013 (8) January2013 (13) December2012 (16) November2012 (18) October2012 (17) September2012 (10) August2012 (8) July2012 (10) June2012 (15) May2012 (12) April2012 (12) March2012 (11) February2012 (10) January2012 (7) December2011 (5) November2011 (4) October2011 (6) September2011 (5) August2011 (5) July2011 (8) June2011 (13) May2011 (14) April2011 (11) March2011 (11) February2011 (10) January2011 (12) December2010 (12) November2010 (13) October2010 (8) September2010 (11) August2010 (15) July2010 (7) June2010 (13) May2010 (12) April2010 (12) March2010 (14) February2010 (14) January2010 (12) December2009 (12) November2009 (14) October2009 (10) September2009 (13) August2009 (14) July2009 (12) June2009 (12) May2009 (12) April2009 (15) March2009 (39) 標籤雲 Cayley-Hamilton定理 Frobenius範數 Gram-Schmidt正交化 Gramian矩陣 Hermitian矩陣 Householder矩陣 Jordan典型形式 LU分解 QR分解 Schur定理 SVD Vandermonde矩陣 三角不等式 不變子空間 么正矩陣 二次型 代數重數 伴隨矩陣 內積 冪矩陣 冪等矩陣 冪零矩陣 分塊矩陣 列空間 半正定矩陣 反對稱矩陣 可交換矩陣 可逆矩陣 向量空間 圖論 基底 基本列運算 奇異值 奇異值分解 實對稱矩陣 對角化 座標變換 微分方程 投影矩陣 排列矩陣 旋轉矩陣 最小多項式 最小平方法 正交性 正交投影 正交矩陣 正交補餘 正定矩陣 正規矩陣 特徵值 特徵向量 特徵多項式 特殊矩陣 相伴矩陣 相似 矩陣乘法 矩陣多項式 矩陣指數 矩陣範數 矩陣譜 秩 秩─零度定理 簡約列梯形式 組合數學 線性獨立 線性變換 線性變換表示矩陣 行列式 行空間 譜分解 跡數 逆矩陣 通解 零空間 高斯消去法 線代線上影音課程 Essenceoflinearalgebra(3Blue1Brown) KhanAcademy(SalmanKhan) MITOCW(GilbertStrang) 國立台灣大學OCW(蘇柏青) 國立清華大學OCW(趙啟超) 國立交通大學OCW(莊重) 國立交通大學OCW(巫木誠) 線代學習網站 用maxima學數值分析─特徵值和特徵向量 FreeOnlineBooks MathInsight MITOCW Wikibooks:LinearAlgebra WolframDemonstrationProject 線代電子書 AFirstCourseinLinearAlgebra(RobertA.Beezer) FundamentalsofLinearAlgebra(JamesB.Carrell) LinearAlgebra(JimHefferon) LinearAlgebraDoneWrong(SergeiTreil) LinearAlgebraProblems(JerryL.Kazdan) LinearAlgebraviaExteriorProducts(SergeiWinitzki) LinearAlgebra,TheoryandApplications(KennethKuttler) MatrixAnalysisandAppliedLinearAlgebra(CarlD.Meyer) NotesonLinearAlgebra(PeterJ.Cameron) 矩陣計算器 JordanFormCalculator MatrixCalculator OnlineMatrixCalculator LaTeX OnlineLaTeXEquationEditor Wikibooks:LaTeX Blogroll 陰暗的小角落 MarkChang'sBlog 尼斯的靈魂 微積分福音 訂閱 請輸入您的email，當有新文章發表時，您將會收到通知。

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