朗斯基行列式 - 维基百科

在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基（英语：Józef Maria Hoene-Wroński），是用于计算微分方程的解空间的函数。

朗斯基行列式 维基百科，自由的百科全书 跳到导航 跳到搜索 在数学中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波兰数学家约瑟夫·侯恩·朗斯基（英语：JózefMariaHoene-Wroński），是用于计算微分方程的解空间的函数。

对于给定的n个n-1次连续可微函数，f1、...、fn，它们的朗斯基行列式W(f1,...,fn)为： W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ′ f 2 ′ ⋯ f n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) f 2 ( n − 1 ) ⋯ f n ( n − 1 ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots&f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots&f_{n}'\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots&f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}} 行列式的第i行是f1、...、fn各函数的i-1次导数。

组成这个行列式的n阶方阵也称作这n个函数的基本矩阵。

在解线性微分方程时，朗斯基行列式可以用阿贝尔恒等式来计算。

目录 1朗斯基行列式与线性无关解 2齐次线性微分方程 2.1定理的证明 3例子 4参考 5外部链接 朗斯基行列式与线性无关解[编辑] 朗斯基行列式可以用来确定一组函数在给定区间上的线性相关性。

对于n个n-1次连续可微函数f1、...、fn，它们的朗斯基行列式W(f1,...,fn) : W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ′ f 2 ′ ⋯ f n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) f 2 ( n − 1 ) ⋯ f n ( n − 1 ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots&f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots&f_{n}'\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots&f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}} 定理： 如果f1、...、fn在一個區間[a,b]上線性相關，則W(f1,...,fn)在區間[a,b]上恆等於零。

也就是说，如果在某些点上W(f1,...,fn)不等于零，则f1、...、fn线性无关 注意，若W(f1,...,fn)在区间[a,b]上恒等于零，函数组不一定线性相关。

齐次线性微分方程[编辑] 考虑n阶线性微分方程： d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = f ( t ) ( 1 ) {\displaystyle{\frac{d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots+a_{n-1}(t){\frac{dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad\qquad\qquad(1)} 其中 a 1 ( t ) ,   a 2 ( t ) ,   ⋯ ,   a n ( t ) ,   f ( t ) {\displaystylea_{1}(t),\a_{2}(t),\\cdots,\a_{n}(t),\f(t)} 是区间[a,b]上的连续函数。

并考虑 f ( t ) = 0 {\displaystylef(t)=0} ，即n阶齐次线性微分方程的情形： d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 ( 2 ) {\displaystyle{\frac{d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots+a_{n-1}(t){\frac{dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad\qquad\qquad\quad(2)} 对于一组给定的初始值： x ( 0 ) = x 0 ,   d x d t ( 0 ) = x 1 ,   ⋯ ,   d n − 1 x d t n − 1 ( 0 ) = x n − 1 {\displaystylex(0)=x_{0},\{\frac{dx}{dt}}(0)=x_{1},\\cdots,\{\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}} 方程(1)有唯一解 x = ϕ ( t ) {\displaystylex=\phi(t)} 。

如果初始值不定的话，(2)的任一解加上 x = ϕ ( t ) {\displaystylex=\phi(t)} 仍然是(1)的解。

而对于(2)，任意k个(2)的解的和仍然是(2)的解，因此(2)的解集构成一个线性空间，称为(2)的解空间。

定理的证明[编辑] 如果f1、...、fn在一个区间[a,b]上线性相关，则存在不全为零的系数 c 1 ,   c 2   ⋯ ,   c n {\displaystylec_{1},\c_{2}\\cdots,\c_{n}} 使得对区间[a,b]上的任意t， c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) + ⋯ c n f n ( t ) = 0 {\displaystylec_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}(t)=0} 因为“微分”是线性算子，所以这个等式可以“延伸”到n-1阶导数。

故有以下方程组： { c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) + ⋯ c n f n ( t ) = 0 c 1 f 1 ′ ( t ) + c 2 f 2 ′ ( t ) + ⋯ c n f n ′ ( t ) = 0 … c 1 f 1 ( n − 1 ) ( t ) + c 2 f 2 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ c n f n ( n − 1 ) ( t ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdotsc_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots\\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}} 将 c 1 ,   c 2   ⋯ ,   c n {\displaystylec_{1},\c_{2}\\cdots,\c_{n}} 看作变量，则上式变为一个n元齐次线性方程组，由于这个方程有非零解，系数矩阵的行列式W(f1,...,fn)=0。

进一步可以证明，W(f1,...,fn)要么在区间[a,b]上恒等于零，要么处处不为零（没有零根）。

于是可以证明(2)有n个线性无关的解，并且它们线性张成的空间就是(2)的解空间。

所以，(2)的解空间是一个n维线性空间。

(2)一组n个线性无关的解称作它的一个基本解组。

例子[编辑] 1.考虑三个函数：1、x和x2，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是： W = | x 2 x 1 2 x 1 0 2 0 0 | = − 2. {\displaystyleW={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.} 不等于零，因此，这三个函数在任一个区间上都是线性无关的。

2.考虑另三个函数：1、x2和2x2+3，在任意一个区间上，他们的朗斯基行列式是： W = | 2 x 2 + 3 x 2 1 4 x 2 x 0 4 2 0 | = 8 x − 8 x = 0. {\displaystyleW={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.} 事实上三者线性相关。

3.上面已经提到，朗斯基行列式等于零的函数组不一定线性相关。

下面是一个反例：考虑两个函数，x3和|x3|，即x3的绝对值。

计算两者的朗斯基行列式 W = { | x 3 − x 3 3 x 2 − 3 x 2 | = − 3 x 5 + 3 x 5 = 0 , x < 0 | x 3 x 3 3 x 2 3 x 2 | = 3 x 5 − 3 x 5 = 0 , x ≥ 0 {\displaystyleW=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq0\end{matrix}}\right.} 他们的朗斯基行列式恒等于零，但两者显然线性无关。

参考[编辑] 微分方程 行列式 线性方程组 外部链接[编辑] Paul'sOnlineMathNotes，更多的例子。

（英文）（页面存档备份，存于互联网档案馆） 取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=朗斯基行列式&oldid=70671500” 分类：​微分方程行列式波兰科技 导航菜单 个人工具 没有登录讨论贡献创建账号登录 命名空间 条目讨论 不转换 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 阅读编辑查看历史 更多 搜索 导航 首页分类索引特色内容新闻动态最近更改随机条目资助维基百科 帮助 帮助维基社群方针与指引互助客栈知识问答字词转换IRC即时聊天联络我们关于维基百科 工具 链入页面相关更改上传文件特殊页面固定链接页面信息引用本页维基数据项目 打印/导出 下载为PDF打印页面 其他语言 Беларуская(тарашкевіца)CatalàČeštinaDanskDeutschEnglishEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתItaliano日本語한국어NederlandsPolskiPortuguêsРусскийSlovenčinaSvenskaTürkçeУкраїнська 编辑链接