朗斯基行列式- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

在數學中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波蘭數學家約瑟夫·侯恩·朗斯基（英語：Józef Maria Hoene-Wroński），是用於計算微分方程的解空間的函數。

朗斯基行列式 語言 監視 編輯 在數學中，朗斯基行列式（Wronskian）名自波蘭數學家約瑟夫·侯恩·朗斯基（英語：JózefMariaHoene-Wroński），是用於計算微分方程的解空間的函數。

對於給定的n個n-1次連續可微函數，f1、...、fn，它們的朗斯基行列式W(f1,...,fn)為： W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ′ f 2 ′ ⋯ f n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) f 2 ( n − 1 ) ⋯ f n ( n − 1 ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots&f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots&f_{n}'\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots&f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}} 行列式的第i行是f1、...、fn各函數的i-1次導數。

組成這個行列式的n階方陣也稱作這n個函數的基本矩陣。

在解線性微分方程時，朗斯基行列式可以用阿貝爾恆等式來計算。

目次 1朗斯基行列式與線性無關解 2齊次線性微分方程 2.1定理的證明 3例子 4參考 5外部連結 朗斯基行列式與線性無關解編輯 朗斯基行列式可以用來確定一組函數在給定區間上的線性相關性。

對於n個n-1次連續可微函數f1、...、fn，它們的朗斯基行列式W(f1,...,fn) : W ( f 1 , … , f n ) = | f 1 f 2 ⋯ f n f 1 ′ f 2 ′ ⋯ f n ′ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ f 1 ( n − 1 ) f 2 ( n − 1 ) ⋯ f n ( n − 1 ) | {\displaystyleW(f_{1},\ldots,f_{n})={\begin{vmatrix}f_{1}&f_{2}&\cdots&f_{n}\\f_{1}'&f_{2}'&\cdots&f_{n}'\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\f_{1}^{(n-1)}&f_{2}^{(n-1)}&\cdots&f_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}}}  定理： 如果f1、...、fn在一個區間[a,b]上線性相關，則W(f1,...,fn)在區間[a,b]上恆等於零。

也就是說，如果在某些點上W(f1,...,fn)不等於零，則f1、...、fn線性無關 注意，若W(f1,...,fn)在區間[a,b]上恆等於零，函數組不一定線性相關。

齊次線性微分方程編輯 考慮n階線性微分方程： d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = f ( t ) ( 1 ) {\displaystyle{\frac{d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots+a_{n-1}(t){\frac{dx}{dt}}+a_{n}(t)x=f(t)\qquad\qquad\qquad(1)}  其中 a 1 ( t ) ,   a 2 ( t ) ,   ⋯ ,   a n ( t ) ,   f ( t ) {\displaystylea_{1}(t),\a_{2}(t),\\cdots,\a_{n}(t),\f(t)}  是區間[a,b]上的連續函數。

並考慮 f ( t ) = 0 {\displaystylef(t)=0}  ，即n階齊次線性微分方程的情形： d n x d t n + a 1 ( t ) d n − 1 x d t n − 1 + ⋯ + a n − 1 ( t ) d x d t + a n ( t ) x = 0 ( 2 ) {\displaystyle{\frac{d^{n}x}{dt^{n}}}+a_{1}(t){\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}+\cdots+a_{n-1}(t){\frac{dx}{dt}}+a_{n}(t)x=0\qquad\qquad\qquad\quad(2)}  對於一組給定的初始值： x ( 0 ) = x 0 ,   d x d t ( 0 ) = x 1 ,   ⋯ ,   d n − 1 x d t n − 1 ( 0 ) = x n − 1 {\displaystylex(0)=x_{0},\{\frac{dx}{dt}}(0)=x_{1},\\cdots,\{\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}}(0)=x_{n-1}}  方程(1)有唯一解 x = ϕ ( t ) {\displaystylex=\phi(t)}  。

如果初始值不定的話，(2)的任一解加上 x = ϕ ( t ) {\displaystylex=\phi(t)}  仍然是(1)的解。

而對於(2)，任意k個(2)的解的和仍然是(2)的解，因此(2)的解集構成一個線性空間，稱為(2)的解空間。

定理的證明編輯 如果f1、...、fn在一個區間[a,b]上線性相關，則存在不全為零的係數 c 1 ,   c 2   ⋯ ,   c n {\displaystylec_{1},\c_{2}\\cdots,\c_{n}}  使得對區間[a,b]上的任意t， c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) + ⋯ c n f n ( t ) = 0 {\displaystylec_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}(t)=0}  因為「微分」是線性算子，所以這個等式可以「延伸」到n-1階導數。

故有以下方程組： { c 1 f 1 ( t ) + c 2 f 2 ( t ) + ⋯ c n f n ( t ) = 0 c 1 f 1 ′ ( t ) + c 2 f 2 ′ ( t ) + ⋯ c n f n ′ ( t ) = 0 … c 1 f 1 ( n − 1 ) ( t ) + c 2 f 2 ( n − 1 ) ( t ) + ⋯ c n f n ( n − 1 ) ( t ) = 0 {\displaystyle{\begin{cases}c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}(t)=0\\c_{1}f_{1}'(t)+c_{2}f_{2}'(t)+\cdotsc_{n}f_{n}'(t)=0\\\ldots\\c_{1}f_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}f_{2}^{(n-1)}(t)+\cdotsc_{n}f_{n}^{(n-1)}(t)=0\end{cases}}}  將 c 1 ,   c 2   ⋯ ,   c n {\displaystylec_{1},\c_{2}\\cdots,\c_{n}}  看作變量，則上式變為一個n元齊次線性方程組，由於這個方程有非零解，係數矩陣的行列式W(f1,...,fn)=0。

進一步可以證明，W(f1,...,fn)要麼在區間[a,b]上恆等於零，要麼處處不為零（沒有零根）。

於是可以證明(2)有n個線性無關的解，並且它們線性張成的空間就是(2)的解空間。

所以，(2)的解空間是一個n維線性空間。

(2)一組n個線性無關的解稱作它的一個基本解組。

例子編輯 1.考慮三個函數：1、x和x2，在任意一個區間上，他們的朗斯基行列式是： W = | x 2 x 1 2 x 1 0 2 0 0 | = − 2. {\displaystyleW={\begin{vmatrix}x^{2}&x&1\\2x&1&0\\2&0&0\end{vmatrix}}=-2.}  不等於零，因此，這三個函數在任一個區間上都是線性無關的。

2.考慮另三個函數：1、x2和2x2+3，在任意一個區間上，他們的朗斯基行列式是： W = | 2 x 2 + 3 x 2 1 4 x 2 x 0 4 2 0 | = 8 x − 8 x = 0. {\displaystyleW={\begin{vmatrix}2x^{2}+3&x^{2}&1\\4x&2x&0\\4&2&0\end{vmatrix}}=8x-8x=0.}  事實上三者線性相關。

3.上面已經提到，朗斯基行列式等於零的函數組不一定線性相關。

下面是一個反例：考慮兩個函數，x3和|x3|，即x3的絕對值。

計算兩者的朗斯基行列式 W = { | x 3 − x 3 3 x 2 − 3 x 2 | = − 3 x 5 + 3 x 5 = 0 , x < 0 | x 3 x 3 3 x 2 3 x 2 | = 3 x 5 − 3 x 5 = 0 , x ≥ 0 {\displaystyleW=\left\{{\begin{matrix}{\begin{vmatrix}x^{3}&-x^{3}\\3x^{2}&-3x^{2}\end{vmatrix}}=-3x^{5}+3x^{5}=0,x<0\\{\begin{vmatrix}x^{3}&x^{3}\\3x^{2}&3x^{2}\end{vmatrix}}=3x^{5}-3x^{5}=0,x\geq0\end{matrix}}\right.}  他們的朗斯基行列式恆等於零，但兩者顯然線性無關。

參考編輯 微分方程 行列式 線性方程組外部連結編輯 Paul'sOnlineMathNotes，更多的例子。

（英文）（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=朗斯基行列式&oldid=70671500」