11.3二階線性微分方程式

稱為此方程式之係數。

雖然對(3.1) 式亦有一對應的存在且唯一性的定理, 但除了一些特例外, 對一般的二階線性微分方程式, 我們並無法明確地給出其所有解。

¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡  a ¡@¡@¦b¤W¤@¸`¹ï¤@¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡ §Ú­Ì¤£¦ýÃÒ¥X¤F¸Ñªº¦s¦b¤Î°ß¤@©Ê,¨Ã¯à±N¸Ñ©ú½T¦aµ¹¥X¡C¥»¸`§Ú­Ì¨Ó°Q½×¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡,§Y (3.1) ¨ä¤¤¤ÎºÙ¬°¦¹¤èµ{¦¡¤§«Y¼Æ¡CÁöµM¹ï(3.1) ¦¡¥ç¦³¤@¹ïÀ³ªº¦s¦b¥B°ß¤@©Êªº©w²z,¦ý°£¤F¤@¨Ç¯S¨Ò¥~, ¹ï¤@¯ëªº¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡,§Ú­Ì¨ÃµLªk©ú½T¦aµ¹¥X¨ä©Ò¦³¸Ñ¡C¦b¦¹§Ú­Ì¨Ã¤£ÀÀ°Q½×¤@¯ë§Î¦¡ªº¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡ªº¸Ñ,¦Ó¥u°Q½×³Ì²³æ ªº±`«Y¼Æªº·L¤À¤èµ{¦¡,§Y»P¬Ò¬°±`¼Æ¡C­º¥ý§Ú­Ì¬Ý»ô©Êªº±¡ªp,§Y¡C ¡@¡@±`«Y¼Æªº»ô©Ê½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡,§Y (3.2) ¬°²Ä¤@ºØ§¹¥þ³Q¸Ñ¥X¤§·L¤À¤èµ{¦¡¡C¼Ú©Ô¦b¦è¤¸1743 ¦~­º¥ý´£¥X¤F¸Ñªk¡C³oºØ·L¤À¤èµ{¦¡²£¥Í¦Û³\¦hÀ³¥Îªº°ÝÃD, ¤£¹L¦b¦¹§Ú­Ì¥u¬Ýªº±¡ªp¡C ¡@¡@³]¦³¤@±`«Y¼Æªº¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡ (3.3) §Ú­Ì·Q§ä¤@¦b¾ã­Ó¹ê¼Æ¤Wªº¸Ñ¡CÅãµM¬°¤@¸Ñ, ³oºØ¸ÑºÙ¬°µL²á¸Ñ ¡C§Ú­Ì¦³¿³½ìªº·íµM¬O§ä«DµL²á¸Ñ¡C­º¥ý¬Ý ªº±¡ªp,¦¹®É¤èµ{¦¡¦¨¬°¡C©³¤U§Ú­Ì¨Ó¬Ý¦b¦¹±¡ªp¤U, ¤£¦ý¥i«Ü®e©ö¦a§ä¥X¨ä¸Ñ,¨Ã¥iÂǦ¹¥ß§Y±o¨ì(3.3)ªº¸Ñ¡C ¨Ò1.³],§Y¦³¤@¤èµ{¦¡¡C§Ú­Ì·Q§ä¥X¦b ¤W¤§¸Ñ¡C¥Ñ©ó¬°¤@±`¼Æ,³](¦p¦¹¤§¾É¼Æ¤~·|¬° 0),¦]¦¹¥²¦³¤U­z§Î¦¡: ¨ä¤¤ ¤Î ¬°±`¼Æ¡C¤Ï¤§,¹ï¥ô¤Gµ¹©w¤§±`¼Æ ¤Î ,¤@¦¸¦h¶µ¦¡¥²º¡¨¬¡C ¬G§Ú­Ì§ä¥X¤F¦¹®É¤§©Ò¦³¸Ñ¡C ¡@¡@¨ä¦¸³],§Ú­Ì¤À¬°¤Î¤G±¡ªp¡C ¨Ò2.¦Ò¼{,¨ä¤¤¡C¦],±N¼g¦¨, ¨ä¤¤,«h·L¤À¤èµ{¦¡¦¨¬° ¤£Ãø¬Ý¥X¤Î¬Ò¬°¸Ñ¡C ¥Ñ¦¹¥i±o¦¹¤G¨ç¼Æ¤§½u©Ê²Õ¦X ¬Ò¬°¸Ñ,¨ä¤¤ ¤Î ¬°¥ô·N¤G±`¼Æ¡Cµy«á§Ú­Ì·|ÃÒ©ú, ¤W¦¡«K¥]§t©Ò¦³ªº¸Ñ¡C ¨Ò3.¦Ò¼{,¨ä¤¤¡C±N¼g¦¨,¨ä¤¤ ¡C«h·L¤À¤èµ{¦¡¦¨¬° ¦A«×¥ÑÆ[¹îªk±oª¾¤Î¬Ò¬°¸Ñ¡C¥Ñ¦¹¤S±o¨ä½u©Ê²Õ¦X ¨ä¤¤ ¤Î ¬°¥ô¤G±`¼Æ,¥ç¬°¸Ñ¡Cµy«á§Ú­Ì¤]·|ÃÒ©ú, ¤W¦¡«K¥]§t¤F©Ò¦³ªº¸Ñ¡C ¡@¡@¹ï¤@±`«Y¼Æªº¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡,§Ú­Ì¨Ó¬Ý¦p¦ó¤Æ¬°ªº§Î¦¡, ¦]¦Ó¥iÂǤW¤G¨Ò¦Ó¸Ñ¥X¡C¡@¡@§Ú­Ìªº·Qªk¬O³o¼Ëªº¡C³],¨ä¤¤,¬°¤G¨ç¼Æ¡C«h ¥B ¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@¡@ (3.4)     ²{¿ï¨ú,¨Ï±o¤§«Y¼Æ¬°0,§Y­nº¡¨¬ ¬G¥i¨ú¡C¹ï¦¹, ,¥B(3.4) ¤¤¤§ªº«Y¼Æ¦¨¬° ¦]¦¹(3.4)¦¡¦¨¬° ¦]¥²¤£¬°0,¬G­Yº¡¨¬ «hº¡¨¬ §YÃÒ¥X¤U­z©w²z¡C   a ©w²z1.³]¤Î¬°¤G¨ç¼Æ,¥B¡C«h¦b ¤W,º¡¨¬ ­Y¥B°ß­Yº¡¨¬   a ¡@¡@¤W­z©w²z§Y±N¸Ñ¤§°ÝÃD,Âର¸Ñªº°ÝÃD¡C¦Ó¨Ò2¤Î3¤wµ¹¥X¦¹ºØ¤èµ{¦¡¤§«DµL²á¸Ñ¡C¦ý°£¤F ªº±¡ªp¥~(¨£¨Ò1),§Ú­Ì¨ä¹ê©|¥¼ÃÒ©ú¤w§ä¥X©Ò¦³¸Ñ¡C¥ýµ¹¤U­z°ß¤@©Êªº©w²z¡C  a ©w²z2.³]¤Î¤G¨ç¼Æ¦b ¤Wº¡¨¬,¥B³]»P º¡¨¬¤U­z°_©l±ø¥ó «h, ¡C                                                    a µù.¤W©w²z«ü¥X­Y¦³¤G¸Ñ,¥B¦¹¤G¸Ñ¦b0¤§­È¤Î¾É¼Æ¬Ò¬Û¦P, «h¦¹¤G¸Ñ¥²§¹¥þ¬Ûµ¥¡C¨Æ¹ê¤W,¤£Ãø¬Ý¥X¿ï¨ú ¡§0¡¨¨Ã¤£¯S§O­«­n¡C­Y±N0´«¬°¥ô¤@¹ê¼Æ,§Y³]¤G¸Ñ¦b¤§­È¤Î¾É¼Æ¬Ò¬Û¦P, «h¦¹¤G¸Ñ¤´¥²§¹¥þ¬Ûµ¥¡CÃÒ©ú¤´Ãþ¦ü,¥u­n±N¹ï0¤§®õ°Ç®i¦¡§ï¬°¹ï ¤§®õ°Ç®i¦¡§Y¥i¡C ¡@¡@§Q¥Î«e­z°ß¤@©Ê©w²z,§Ú­Ì«K¥i¨M©w¤§©Ò¦³¸Ñ¡C ©w²z3.¹ï¥ô¤@,,¦b ¤§¸Ñ ¦³¤U­z§Î¦¡: (3.6) ¨ä¤¤ ¤Î ¬°¤G±`¼Æ,¦Ó (i)­Y,«h,; (ii)­Y,«h, ; (iii)­Y,«h , ¡C           ¡@¡@ºî¦X¥H¤Wªºµ²ªG,§Ú­Ì«K¥i¨M©w¤@¯ëªº¤§¸Ñ¡C¡@¡@­º¥ý©w²z 1«ü¥X¬°¤§¤@¸Ñ,­Y¥B°ß­Y ,¨ä¤¤¬° ¤§¤@¸Ñ¡C¦Ó¥Ñ©w²z 3ª¾,¤§¸Ñ¤S»P¤§²Å¸¹¦³Ãö¡C§Ú­Ì«K±N ºÙ¬°¤§§P§O¦¡,¨Ã¥H ªí¦¹­È¡C§Ú­Ì³¯­zµ²ªG¦p¤U¡C   a ©w²z4.¥O¡C«h¦b , ¤§¸Ñ¦³¤U­z§Î¦¡: (3.8) ¨ä¤¤ ¤Î ¬°¤G±`¼Æ,¦Ó (i)­Y,«h,; (ii)­Y,«h, ,¨ä¤¤ ; (iii)­Y,«h , ,¨ä¤¤ ¡C   a ¡@¡@¦b¤W©w²z¤¤,­Y,«h(3.8)¥i§ï¼g¬° ¨ä¤¤ (3.9) «ê¬°¤èµ{¦¡ (3.10) ¤§¤G®Ú¡C(3.10)¦¡«KºÙ¬°·L¤À¤èµ{¦¡¤§¯S¼x¤èµ{¦¡¡C¡@¡@­Y,«h(3.9)¤¤¤§¤Î¬°(3.10)¤§¤G½Æ¼Æ®Ú¡C¥Ñ«ü¼Æªº©Ê½èª¾,(3.8)¤¤¤§¤´¥i¼g¦¨ ,¥u¬O ¤Î ´N¤£¤@©w¬°¹ê¼Æ¤F¡C¡@¡@(3.8)©Òµ¹ªº«K¬O¤§¤@¯ë¸Ñ,¥ôµ¹¤G±`¼Æ¤Î ,©Ò±oªº«K¬°¤@¯S§O¸Ñ¡C¨Ò¦p, ¬Ò¬°¯S§O¸Ñ¡C¦Ó»P¤§½u©Ê²Õ¦X,«Kµ¹¥X©Ò¦³ªº¸Ñ¡C¥ô¤G¸Ñ­Y¨ã¦³¦¹©Ê½è,«KºÙ¬°¸Ñ¶°¦X¤§¤@°ò©³¡C¤@·L¤À¤èµ{¦¡¤§°ò©³¨Ã¤£°ß¤@¡C¨Ò¦p,³],«h »P¬°¤@²Õ°ò©³,¦Ó»P ¥ç¬°¤@²Õ°ò©³¡C¨Æ¹ê¤W,¦] ¬G¨C¤@»P¤§½u©Ê²Õ¦X¥ç¬°»P¤§½u©Ê²Õ¦X¡C¬G»P½T¬°¤@²Õ°ò©³¡C¬Æ¦Ü¥iÃÒ©ú ,¥ô¤@¹ï ¤§¸Ñ»P,¥u­n¤£¬°±`¼Æ, «K§Î¦¨¤@²Õ°ò©³¡C¡@¡@¨ä¦¸,§Ú­Ì¨Ó¬Ý«D»ô©Ê¤§¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¤§¸Ñ¡C³]¦³¤@¤èµ{¦¡ (3.11) ¨ä¤¤,¬°±`¼Æ,¬°¤@©w¸q¦b ¤§¨ç¼Æ¡C­Y »P¬Ò¬°(3.11)¤§¸Ñ,«h¦] ¬G ¦]¦¹¬°¤èµ{¦¡¤§¤@¸Ñ¡C¬G ¨ä¤¤¬°»ô©Ê¤èµ{¦¡(ºÙ¬°(3.11) ¤§»²§U¤èµ{¦¡)¤§¤@¯ë¸Ñ¡C¬G¥ô¤G(3.11) ¤§¸Ñ¤Î,º¡¨¬ ¬G­Y¯à§ä¨ì(3.11)¤§¤@¯S§O¸Ñ,«h (3.12) ¥iªí¥Ü¥X©Ò¦³¸Ñ,¨ä¤¤¤Î¬°±`¼Æ¡C¦Ó(3.12)¤¤¤§ ¤]´N¬O(3.11)¤§¤@¯ë¸Ñ¡C§Ú­Ì§YÃÒ¥X¤U­z©w²z¡C   a ©w²z5.­Y¬°(3.11)¤§¤@¯S§O¸Ñ,¬°¹ïÀ³ªº»ô©Ê¤èµ{¦¡¤§¤@¯ë¸Ñ, «h«K¬°(3.11)¤§¤@¯ë¸Ñ¡C   a ¨Ò 4.¨D¤U­z¤èµ{¦¡¤§¸Ñ¡C     ¸Ñ.¥ÑÆ[¹îªk±o,¦Ó»²§U¤èµ{¦¡ ¤§¤@¯ë¸Ñ¬° ¬G¤§¤@¯ë¸Ñ¬° ¡C ¡@¡@©³¤U§Ú­Ìµ¹¤@±o¨ì¯S§O¸Ñªº¤èªk,¦¹ªkºÙ¬°°Ñ¼ÆÅܤÀªk,¬°JohannBernoulli¦b¦è¤¸1679 ¦~­º¥ý¥Î¨Ó¸Ñ¤@¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡,¦ÓLagrange¦b¦è¤¸1774 ¦~¥Î¨Ó¸Ñ¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¡C   a ©w²z6.³] ¬°(3.8)¦¡©Òµ¹¤§¸Ñ¡C¥O (3.13) ¥B³]«í¤£¬°0¡C«h¬° ¤§¤@¯S§O¸Ñ, ¨ä¤¤ (3.14) ¦Ó                                                                                                                       (3.15)   a ¡@¡@(3.13)¤§«KºÙ¬°»P¤§Wronskian¡C¤S¤W­z©w²z¤¤¤§¤Î¬O¥H¤£©w¿n¤À¨Óªí¥Ü, ¤£©w¿n¤À¤¤¦³¿n¤À±`¼Æ¡C¦ý¥i¬Ý¥X¹ï¥ô¤G¤Î, ,¨ä¤¤¤Î ¬°¤G±`¼Æ,¤´¬°¤@¯S§O¸Ñ¡C ¨Ò5.¨D¤U­z¤èµ{¦¡¤§¸Ñ¡C(i);(ii)¡C¡@¡@¡@ ¡@¡@ÁöµM©w²z6´£¨Ñ¤@§ä¯S§O¸Ñªº¤èªk,¦ý·í¦³¤@¨Ç¯S§Oªº§Î¦¡®É, ¦³®É·|¦³¤@¨Ç¯S§O¦ý«o¸û®e©öªº¤èªk¡C§Ú­Ì¥H©³¤U¤@¨Ç¨Ò¤l¨Ó»¡©ú¡C ¨Ò6.³]¬°¤@¦¸¦h¶µ¦¡,¥B,«h¥i¸Õ¤@ ¦¸¦h¶µ¦¡ ¬°¯S§O¸Ñ,±N ¥N¤J,¦A¤ñ¸û¦P¤@­¼¾­ªº«Y¼Æ,«K¥i¸Ñ¥X, ¡C¡@¡@¨Ò¦p,¸Ñ¡C  ¡@¡@­Y,«h¤@¦¸¦h¶µ¦¡¨ÃµLªkº¡¨¬,¨ä¤¤ ¬°¤@¦¸¦h¶µ¦¡¡C¦ý¤@¦¸¦h¶µ¦¡«K¥i¯à·|º¡¨¬ ,¥u­n¡C­Y,¦¹®É¤èµ{¦¡¦¨¬° ,ÅãµM¤@¯ë¸Ñ¬°¤@¦¸¦h¶µ¦¡¡C ¨Ò7.³] ,¨ä¤¤¬°¤@¦¸¦h¶µ¦¡, ¬°¤@±`¼Æ¡C¦¹®É­Y¥O,«h±N Âà¤Æ¬° ¦¨¬°¤@¤W¨Ò¤¤ªº§Î¦¡¡C¦]¦¹¥i§ä¨ì¤@¦h¶µ¦¡ªº¸Ñ¡C¬G ¬°­ì¦¡¤§¤@¯S§O¸Ñ¡C­Y , ¤§¦¸¼Æ»P¬Û¦P¡C­Y¥B,«h ¤§¦¸¼Æ¸û¦h1¡C­Y ,«h¤§¦¸¼Æ¸û ¦h2¡C ¡@¡@¨Ò¦p,¨D¤§¸Ñ¡C ¨Ò8.³] ©Î , ¨ä¤¤¬°¤@¦h¶µ¦¡,»P¬Ò¬°±`¼Æ¡C¦¹¤GºØ±¡ªp¬Ò¥i¸Õ¯S§O¸Ñ ¨ä¤¤¡B¬Ò¬°¦h¶µ¦¡¡C                          a ¶i¤@¨B¾\Ū¸ê®Æ¡G¶À¤å¼ý(2002). ¤G¶¥½u©Ê·L¤À¤èµ{¦¡¡C·L¿n¤ÀÁ¿¸q²Ä¤Q¤@³¹¡A°ê¥ß°ª¶¯¤j¾ÇÀ³¥Î¼Æ¾Ç¨t¡C ¡@